考试时间：120分钟  满分：150分钟

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母填在答题卡相应的表格中。）

1．设a >0，b>0，则以下不等式中不恒成立的是        （    ）

A．        B．≥

    C．≥    D．≥4

2．已知取最小值为        （    ）

    A．—3    B．2    C．5    D．7

3．如果直线l1，l2的斜率分别为二次方程的夹角为

                    （    ）

    A．    B．    C．    D． 

4．设x，y满足约束条件的最大值是        （    ）

    A．0    B．4    C．5    D．6

5．抛物线的右焦点重合，则p的值为    （    ）

    A．—2    B．2    C．—4    D．4

6．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为        （    ）

    A．    B．3    C．    D． 

7．自二面角内一点，到两个面的距离分别为和4，到棱的距离为，则此二面角的度数为                （    ）

    A．60°    B．75°    C．165°    D．75°和165°

8．已知的解集是

                    （    ）

    A．    B． 

    C．    D． 

9．在△ABC中，∠ACB=90°，点P是平面ABC外一点，PA=PB=PC，AC=12，P到平面ABC的距离为8，则P到BC的距离为            （    ）

    A．6    B．8    C．10    D．12

10．设圆上有且仅有两个点到直线的距离等于1，则圆半径r的取值范围是            （    ）

    A．    B．    C．    D． 

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。将答案写在答题卡相应的横线上。）

11．直线必过一定点，定点的坐标为          。

12．已知直线距离都为4的点的轨迹为是        。

13．已知的解集        。

14．实数的最大值是        。

15．已知点P是抛物线上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是的最小值是         。

三、解答题（本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤。将答案写在答题卡相应处。）

16．（本小题12分）

    设的大小，并证明你的结论。

17．（本小题12分）

    分别求满足下列条件的直线方程。

   （1）过点P（4，1），使它在两坐标轴上截距为正值，且它们的和最小。

   （2）与椭圆交于A，B两点，且AB中点为P（1，—2）。

18．（本小题12分）

        如图，在四棱锥P—ABCD中，底面是矩形且AD=2，AB=PA=，PA⊥底面ABCD，E是AD的中点，F在PC上。

   （1）求F在何处时，EF⊥平面PBC；

   （2）在（1）的条件下，EF是否是PC与AD的公垂线段？若是，求出公垂线段的长度；若不是，说明理由；

   （3）在（1）的条件下，求直线BD与平面BEF所成的角．

19．（本小题12分）

P为椭圆上一点，左、右焦点分别为F1，F2。

   （1）若PF1的中点为M，求证|MO|=|PF1|；

   （2）若∠F1PF2=60°，求|PF1||PF2|之值。

   （3）求|PF1||PF2|的最值。

20．（本小题13分）

已知函数

   （1）若对任意的实数的取值范围；

   （2）当；

   （3）若的充要条件是：

21．（本小题14分）

在平面直线坐标系中，O为坐标原点，点F，T，M，P满足，

   （1）当t变化时，求点P的轨迹C的方程；

   （2）A，B是轨迹C的两动点，分别以A，B为切点作轨迹C的切线l1，l2，当l1，l2的夹角是定值是，求l1，l2的交点S的轨迹方程，并说明轨迹形状。

参

一、选择题

20081229

1—10 ADADD CDDCB

二、填空题

11．（—2，—4）  12．两条平行直线   13．   14．   15． 

三、解答题

16．解：结论是：当

当    …………4分

    …………6分

当

    …………10分

当…………12分

17．（1）设所求直线方程为          …………1分

则                              …………2分

∴       …………4分

当且仅当且，即时取等号  …………5分

故所求直线方程为：          …………6分

   （2）设，，则

                       ……………9分

∴                           …………11分

故所求直线方程为：                  …………12分

18．解：（1）以A为坐标原点，以射线AD，AB，AP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，，    …………1分

∵F在PC上，∴可令，设，，， 

∵EF⊥平面PBC，∴ 且，又，

可得，，．故F为PC的中点．    …………4分

   （2）由（1）可知：EF⊥PC，且EF⊥BC即EF⊥AD，

∴EF是PC与AD的公垂线段，其长为．    …………7分

   （3）由（1）可知，

即为平面BEF的一个法向量，而．

设BD与平面BEF所成角为，则，．

∴，故BD与平面BEF所成角为．    …………12分

19．解： 

   （1）    …………4分

   （2）

得：    …………8分

   （3）设得：

，

所以    …………1分

20．解：（1）对任意的

    …………4分

   （2）证明： 

    …………8分

   （3）证明：由

故对任意的

    …………13分

21．解：（1）因为，所以M为线段FT的中点．

又，所以P在线段FT的垂直平分线上，

所以．又，

所以等于点P到直线的距离，

所以点P的轨迹C是以为焦点，直线为准线的抛物线，

且方程为；    …………5分

   （2）（i）当l1，l2的夹角是90°时，l1⊥l2，设，，

则l1，l2的斜率分别为，．从而×＝－1，即＝．

设，∵，

∴，化简得．

同理有．所以，是  ①

的两个不同的解，，，所以，

此时①有两个不同的解．

   （ii）当l1，l2的夹角不是90°时，设夹角的正切为m（m＞0），

则，即    ②

将，，代入②式化简得

，配方后化简得，

此时①有两个不同的解．

综上可知l1，l2的夹角是90°时，点S的轨迹方程是，

此时轨迹形状是直线，且恰为轨迹C的准线；

当l1，l2的夹角的正切为m（m＞0）时，

点S的轨迹方程是，

此时轨迹形状是以为中心，半实轴长为，

半虚轴长为的双曲线．    …………14分下载本文