初三年级  数学试卷

考试时间：90分钟   试卷满分：120分

　说明：1.请考生用黑色钢笔（签字笔）规范作答

2.按要求在答题卷指定区域内作答，超出答题区解答无效。

一．选择题（每小题3分，10小题，共30分）

1．的值为（　　）

A．﹣3       B．3      C．±3        D．9

2．下列四个图形中，轴对称图形有（　　）

A．1个        B．2个           C．3个          D．4个

3．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则的值为（　　）

A．       B．         C．        D．

4．下列命题中，假命题的是（　　）

A．经过两点有且只有一条直线         B．圆的切线垂直于经过切点的半径

C．两腰相等的梯形叫做等腰梯形       D．平行四边形的对角线相等

5．横跨深圳及之间的深圳湾大桥（ShenzhenBayBridge）是中国唯一倾斜的独塔单索面桥，大桥全长4 770米，这个数字用科学记数法表示为（保留两个有效数字）（　　）

A．47×102        B．4.8×103      C．4.7×103        D．5.0×103

6．如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB且相交于点E，则下列结论中不成立的是（　　）

A．∠A=∠D          B．=         C．    ∠COB=3∠D     D．∠ACB=90°

7．矩形ABCD中，AD=8cm，AB=6cm．动点E从点C开始沿边CB向点B以2cm/s的速度运动，动点F从点C同时出发沿边CD向点D以1cm/s的速度运动至点D停止．如图可得到矩形CFHE，设运动时间为x（单位：s），此时矩形ABCD去掉矩形CFHE后剩余部分的面积为y（单位：cm2），则y与x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（　　）

A．    B．    C．    D．

8．关于x的方程x2+2（k+2）x+k2=0的两实根之和大于﹣4，则k的取值范围是（　　）

A．k＞﹣1        B．k＜0          C．﹣1＜k＜0      D．﹣1≤k＜0

9．如图，平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点C（3，4），边OA落在x正半轴上，P为线段AC上一点，过点P分别作DE∥OC，FG∥OA交平行四边形各边如图．若反比例函数的图象经过点D，四边形BCFG的面积为8，则k的值为（　　）

A．28      B．24       C．20       D．16

10．如图①，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图②（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：

①AD=BE=5；②cos∠ABE=；③当0＜t≤5时，y=t2；④当t=秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是（　　）

A．①②③      B．①③④       C．②③④       D．①②④

2．填空题（每小题3分，10小题，共30分）

11．分解因式：2x2﹣8 =              .

12．函数y=中，自变量x的取值范围为　    　．

13．某商品每件标价为150元，若按标价打8折后，再降价10元销售，仍获利10%，则该商品每件的进价为　   　元．

14.计算：          .

15．如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经过平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，BD=13.8米，那么该古城墙的高度是　   　米（平面镜的厚度忽略不计）

16.把抛物线y=﹣x2向左平移3个单位，然后向下平移5个单位，

则平移后抛物线的解析式为　   　．

17．如图，抛物线y=ax2﹣4和y=﹣ax2+4都经过x轴上的A、B两点，

两条抛物线的顶点分别为C、D．当四边形ACBD为正方形时，a的值为　   　．

18.填在下列各图形中的三个数之间都有相同的规律，根据此规律，a的值是　   　．

19.如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长线于点Q，则sin∠BQP=            .

20．对于一个矩形ABCD及⊙M给出如下定义：在同一平面内，如果矩形ABCD的四个顶点到⊙M上一点的距离相等，那么称这个矩形ABCD是⊙M的“伴侣矩形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=x﹣3交x轴于点M，⊙M的半径为2，矩形ABCD沿直线运动（BD在直线l上），BD=2，AB∥y轴，当矩形ABCD是⊙M的“伴侣矩形”时，点C的坐标为　   　．

三．解答题（本题共7小题，其中第21题12分，第22题6分，第23题8分，第24题8分，第25题8分，第26题8分，第27题10分，共60分）

21．（1）计算：  

（2）解分式方程： 

22．先化简，再求值：（+）÷，其中m=﹣1．

23．为响应国家的“节能减排”，某厂家开发了一种新型的电动车，如图，它的大灯A射出的光线AB、AC与地面MN的夹角分别为22°和31°，AT⊥MN，垂足为T，大灯照亮地面的宽度BC的长为m．

（1）求BT的长（不考虑其他因素）．

（2）一般正常人从发现危险到做出刹车动作的反应时间是0.2s，从发现危险到电动车完全停下所行驶的距离叫做最小安全距离．某人以20km/h的速度驾驶该车，从做出刹车动作到电动车停止的刹车距离是m，请判断该车大灯的设计是否能满足最小安全距离的要求（大灯与前轮前端间水平距离忽略不计），并说明理由．（参考数据：sin22°≈，tan22°≈，sin31°≈，tan31°≈）

24．△ABC中，AB=5，AC=4，BC=6．

（1）如图1，若AD是∠BAC的平分线，DE∥AB，求CE的长与的比值；

（2）如图2，将边AC折叠，使得AC在AB边上，折痕为AM，再将边MB折叠，使得MB′与MC′重合，折痕为MN，求AN的长．

25．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连接PF．

（1）若∠POC=60°，AC=12，则劣弧PC的长为             ；（结果保留π）

（2）求证：OD=OE；

（3）求证：PF是⊙O的切线．

26．某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件．已知产销两种产品的有关信息如表：

（1）若生产和销售甲、乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元，直接写出y1、y2与x的函数关系式；

（2）分别求出生产和销售两种产品的最大年利润；

（3）为获得最大年利润，该公司应该选择生产和销售哪种产品？请说明理由．

27．如图（1），抛物线y=﹣x2+x+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣2，0）．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DE⊥x轴于E，连接CD，以OE为直径作⊙M，如图（2），试求当CD与⊙M相切时D点的坐标；

（3）点F是x轴上的动点，在抛物线上是否存在一点G，使A、C、G、F四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

深圳实验学校中学部2018届初三年级

参与试题解析

　一．选择题（共10小题）

1．的值为（　　）

A．﹣3    B．3    C．±3    D．±

【分析】直接利用算术平方根的定义得出答案．

【解答】解：=3．

故选：B．

【点评】此题主要考查了二次根式的化简，正确掌握算术平方根的定义是解题关键．

　2．下列四个图形中，轴对称图形有（　　）

A．1个        B．2个           C．3个          D．4个

【分析】根据轴对称图形定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析．

【解答】解：③不是轴对称图形，①②④是轴对称图形，因此共有3个轴对称图形，

故选：C．

【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是找出图形的对称轴．

3．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则的值为（　　）

A．       B．         C．        D．

【分析】连接AC，根据勾股定理求出AC、BC、AB的长，根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形，根据余弦的定义计算即可．

【解答】解：连接AC，

由网格特点和勾股定理可知，

AC==，AB=2，BC==，

AC2+AB2=10，BC2=10，

∴AC2+AB2=BC2，

∴△ABC是直角三角形，

∴=

故选：D．

【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义、勾股定理及其逆定理的应用，熟记锐角三角函数的定义、掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．

4．下列命题中，假命题的是（　　）

A．经过两点有且只有一条直线

B．圆的切线垂直于经过切点的半径

C．两腰相等的梯形叫做等腰梯形

D．平行四边形的对角线相等

【分析】利用确定直线的条件、切线的性质、等腰梯形的判定及平行四边形的性质分别判断后即可确定正确的选项．

【解答】解：A、经过两点有且只有一条直线正确，是真命题；

B、圆的切线垂直于经过切点的半径，正确，是真命题；

C、两腰相等的梯形叫做等腰梯形正确，是真命题；

D、平行四边形的对角线互相平分但不一定相等，故错误，是假命题，

故选D．

【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解确定直线的条件、切线的性质、等腰梯形的判定及平行四边形的性质等知识，难度一般．

5．横跨深圳及之间的深圳湾大桥（ShenzhenBayBridge）是中国唯一倾斜的独塔单索面桥，大桥全长4 770米，这个数字用科学记数法表示为（保留两个有效数字）（　　）

A．47×102        B．4.8×103      C．4.7×103        D．5.0×103

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式．其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．

有效数字是从左边第一个不是0的数字起后面所有的数字都是有效数字，用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．

【解答】解：4 770≈4.8×103．

故选B．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．

　6．如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB且相交于点E，则下列结论中不成立的是（　　）

A．∠A=∠D      B．=     C．    ∠COB=3∠D     D．∠ACB=90°

【分析】根据垂径定理、圆周角定理，进行判断即可解答．

【解答】解：A、∠A=∠D，正确；

B、，正确；

C、∠COB=2∠CDB，故错误；

D、∠ACB=90°，正确；

故选：C．

【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，也考查了圆周角定理，解集本题的关键是熟记垂径定理和圆周角定理．

7．矩形ABCD中，AD=8cm，AB=6cm．动点E从点C开始沿边CB向点B以2cm/s的速度运动，动点F从点C同时出发沿边CD向点D以1cm/s的速度运动至点D停止．如图可得到矩形CFHE，设运动时间为x（单位：s），此时矩形ABCD去掉矩形CFHE后剩余部分的面积为y（单位：cm2），则y与x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（　　）

A．    B．    C．    D．

【分析】重点考查学生的阅读理解能力、分析研究能力．在解答时要注意先总结出函数的解析式，由解析式结合其取值范围判断，不要只靠感觉．

【解答】解：此题在读懂题意的基础上，分两种情况讨论：

当x≤4时，y=6×8﹣（x•2x）=﹣2x2+48，此时函数的图象为抛物线的一部分，它的最上点抛物线的顶点（0，48），最下点为（4，16）；

当4＜x≤6时，点E停留在B点处，故y=48﹣8x=﹣8x+48，此时函数的图象为直线y=﹣8x+48的一部分，它的最上点可以为（4，16），它的最下点为（6，0）．

结合四个选项的图象知选A项．

故选：A．

【点评】本题考查了二次函数及其图象，一次函数及其图象的知识．

8．关于x的方程x2+2（k+2）x+k2=0的两实根之和大于﹣4，则k的取值范围是（　　）

A．k＞﹣1    B．k＜0        C．﹣1＜k＜0    D．﹣1≤k＜0

【分析】根据根的判别式求出k≥﹣1，根据根与系数的关系求出﹣（2k+4）＞﹣4，求出k＜0，即可求出答案．

【解答】解：设x的方程x2+2（k+2）x+k2=0的两实根是a b，

由根与系数的关系得：a+b=﹣=﹣（2k+4），

∵关于x的方程x2+2（k+2）x+k2=0的两实根之和大于﹣4

∴﹣（2k+4）＞﹣4，

∴k＜0，

b2﹣4ac=[2（k+2）]2﹣4×1×k2=8k+8≥0，

k≥﹣1，

即k的取值范围是﹣1≤k＜0．

故选D．

【点评】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，注意：应用根与系数的关系式的前提条件是b2﹣4ac≥0，a≠0．

9．如图，平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点C（3，4），边OA落在x正半轴上，P为线段AC上一点，过点P分别作DE∥OC，FG∥OA交平行四边形各边如图．若反比例函数的图象经过点D，四边形BCFG的面积为8，则k的值为（　　）

A．28      B．24       C．20       D．16

【分析】根据图形可得，△CPF与△CPD的面积相等，△APE与△APG的面积相等，四边形BCFG的面积为8，点C（3，4），可以求得点D的坐标，从而可以求得k的值．

【解答】解：由图可得，S▱ABCD，

又∵S△FCP=S△DCP且S△AEP=S△AGP，

∴S▱OEPF=S▱BGPD，

∵四边形BCFG的面积为8，

∴S▱CDEO=S▱BCFG=8，

又∵点C的纵坐标是4，则▱CDOE的高是4，

∴OE=CD=，

∴点D的横坐标是5，

即点D的坐标是（5，4），

∴4=，解得k=20，

故选C．

【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义、平行四边形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．

10．如图①，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图②（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD=BE=5；②cos∠ABE=；③当0＜t≤5时，y=t2；④当t=秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是（　　）

A．①②③      B．①③④       C．②③④       D．①②④

【分析】根据图（2）可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点P到达点E时点Q到达点C，从而得到BC、BE的长度，再根据M、N是从5秒到7秒，可得ED的长度，然后表示出AE的长度，根据勾股定理求出AB的长度，然后针对各结论分析解答即可．

【解答】解：根据图（2）可得，当点P到达点E时点Q到达点C，

∵点P、Q的运动的速度都是1cm/秒，

∴BC=BE=5，

∴AD=BE=5，故①正确；

∵从M到N的变化是2，

∴ED=2，

∴AE=AD﹣ED=5﹣2=3，

在Rt△ABE中，AB===4，

∴cos∠ABE==，故②错误；

过点P作PF⊥BC于点F，

∵AD∥BC，

∴∠AEB=∠PBF，

∴sin∠PBF=sin∠AEB==，

∴PF=PBsin∠PBF=t，

∴当0＜t≤5时，y=BQ•PF=t•t=t2，故③正确；

当t=秒时，点P在CD上，此时，PD=﹣BE﹣ED=﹣5﹣2=，

PQ=CD﹣PD=4﹣=，

∵=，==，

∴=，

又∵∠A=∠Q=90°，

∴△ABE∽△QBP，故④正确．

综上所述，正确的有①③④．

故选：B．

【点评】本题考查了动点问题的函数图象，根据图（2）判断出点P到达点E时点Q到达点C是解题的关键，也是本题的突破口．

2．填空题

11.分解因式：2x2﹣8 =         .

【分析】首先提公因式2，然后利用平方差公式即可分解；

【解答】解：原式=2（x2﹣4）=2（x+2）（x﹣2）；

【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，注意分解要彻底．

　12．函数y=中，自变量x的取值范围为　x＜1　．

【分析】根据二次根式有意义的条件就是被开方数大于或等于0，分式有意义的条件是分母不为0；可得关系式1﹣x＞0，解不等式即可．

【解答】解：根据题意得：1﹣x＞0，

解可得x＜1；

故答案为x＜1．

【点评】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：

（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．

　13．某商品每件标价为150元，若按标价打8折后，再降价10元销售，仍获利10%，则该商品每件的进价为　100　元．

【分析】根据题意可知商店按零售价的8折再降价10元销售即销售价=150×80%﹣10，得出等量关系为150×80%﹣10﹣x=x×10%，求出即可．

【解答】解：设该商品每件的进价为x元，则

150×80%﹣10﹣x=x×10%，

解得 x=100．

即该商品每件的进价为100元．

故答案是：100．

【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是得到商品售价的等量关系．

14.计算：          .

【分析】本题考查二次根式化简在计算时，需要针对每个根式分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．

【解答】解：原式=

            =

故答案为．

【点评】本题考查二次根式化简在计算时，需要针对每个根式分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．

15．如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经过平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，BD=13.8米，那么该古城墙的高度是　   　米（平面镜的厚度忽略不计）

【分析】由已知得△ABP∽△CDP，根据相似三角形的性质可得 =，解答即可．

【解答】解：由题意知：光线AP与光线PC，∠APB=∠CPD，

∴Rt△ABP∽Rt△CDP，

∴=，

∵AB=1.2米，BP=1.8米，PD=13.8-1.8=12米，

∴CD==8（米）．

故答案为：8．

【点评】本题综合考查了平面镜反射和相似形的知识，关键是根据相似三角形在测量中的应用分析．

16．把抛物线y=﹣x2向左平移3个单位，然后向下平移5个单位，则平移后抛物线的解析式为

  y=﹣（x+3）2-5　．

【分析】抛物线的平移问题，实质上是顶点的平移，原抛物线y=﹣x2顶点坐标为（0，0），向左平移3个单位，然后向下平移5个单位后，顶点坐标为（﹣3，﹣5），根据抛物线的顶点式可求平移后抛物线的解析式．

【解答】解：根据题意，

原抛物线顶点坐标为（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（﹣3，﹣5），

∴平移后抛物线解析式为：y=﹣（x+3）2-5．

故答案为：y=﹣（x+3）2-5．

【点评】本题考查了抛物线的平移与抛物线解析式的关系．关键是把抛物线的平移转化为顶点的平移，运用顶点式求抛物线的解析式．

17．如图，抛物线y=ax2﹣4和y=﹣ax2+4都经过x轴上的A、B两点，两条抛物线的顶点分别为C、D．当四边形ACBD为正方形时，a的值为　　．

【分析】根据抛物线的解析式求得点A、B、C、D的坐标；然后求得以a表示的AB、CD的距离；最后根据正方形对角线相等，列出关于a的方程，通过解方程求得a值即可．

【解答】解：∵抛物线y=ax2﹣4和y=﹣ax2+4都经过x轴上的A、B两点，

∴点A、B两点的坐标分别是：（，0）、（﹣，0）；

又∵抛物线y=ax2﹣4和y=﹣ax2+4的顶点分别为C、D．

∴点C、D的坐标分别是（0，4）、（0，﹣4）；

∴CD=8，AB=，

又∵CD=AB

∴=8

解得a=

由题意a＞0，

∴a=，

故答案是：．

【点评】本题考查了二次函数的综合题．解得该题时，须牢记：函数与x轴的交点的纵坐标是0，与y轴的交点的横坐标是0．

18.填在下列各图形中的三个数之间都有相同的规律，根据此规律，a的值是　900　．

【分析】根据已知数据即可得出，最下面一行数字变化规律，进而得出答案．

【解答】解：根据下面一行数字变化规律为：

1×4=4，

4×9=36，

9×16=144，

16×25=400，

25×36=a=900，

故答案为：900．

【点评】此题主要考查了数字变化规律，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．

　19.如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长线于点Q，则sin∠BQP=            .

【分析】首先证明△ABE≌△BCF，再利用角的关系求得∠BGE=90°，即可得到AE=BF；AE⊥BF；△BCF沿BF对折，得到△BPF，利用角的关系求出QF=QB，解出BP，QB，根据正弦的定义即可求解；

【解答】解：∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，

∴CF=BE，

在△ABE和△BCF中，

，

∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），

∴∠BAE=∠CBF，AE=BF，

又∵∠BAE+∠BEA=90°，

∴∠CBF+∠BEA=90°，

∴∠BGE=90°，

∴AE⊥BF，

根据题意得，FP=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=90°

∵CD∥AB，

∴∠CFB=∠ABF，

∴∠ABF=∠PFB，

∴QF=QB，

令PF=k（k＞0），则PB=2k

在Rt△BPQ中，设QB=x，

∴x2=（x﹣k）2+4k2，

∴x=，

∴sin=∠BQP==；

故答案为：．

【点评】本题主要考查了四边形的综合题，涉及正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及折叠的性质的知识点，解决的关键是明确三角形翻转后边的大小不变，找准对应边，角的关系求解．

20．对于一个矩形ABCD及⊙M给出如下定义：在同一平面内，如果矩形ABCD的四个顶点到⊙M上一点的距离相等，那么称这个矩形ABCD是⊙M的“伴侣矩形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=x﹣3交x轴于点M，⊙M的半径为2，矩形ABCD沿直线运动（BD在直线l上），BD=2，AB∥y轴，当矩形ABCD是⊙M的“伴侣矩形”时，点C的坐标为　（﹣，﹣）或（，）　．

【分析】根据“伴侣矩形”的定义可知：圆上的点一定在矩形的对角线交点上，因为只有对角线交点到四个顶点的距离相等，由此画出图形，先求出直线与x轴和y轴两交点的坐标，和矩形的长和宽；

有两种情况：①矩形在x轴下方时，作辅助线构建相似三角形得比例式，分别求出DG和DH的长，从而求出CG的长，根据坐标特点写出点C的坐标；②矩形在x轴上方时，也分别过C、B两点向两坐标轴作垂线，利用平行相似得比例式，求出：C（，）．

【解答】解：如图所示，矩形在这两个位置时就是⊙M的“伴侣矩形”，

根据直线l：y=x﹣3得：OM=，ON=3，

由勾股定理得：MN==2，

①矩形在x轴下方时，分别过A、D作两轴的垂线AH、DG，

由cos∠ABD=cos∠ONM==，

∴=，AB=，则AD=1，

∵DG∥y轴，

∴△MDG∽△MNO，

∴，

∴，

∴DG=，

∴CG=+=，

同理可得：，

∴=，

∴DH=，

∴C（﹣，﹣）；

②矩形在x轴上方时，同理可得：C（，）；

故答案为：（﹣，﹣）或（，）．

【点评】此题主要考查了圆的综合应用以及相似三角形的性质和矩形等知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．同时，正确理解题意准确画出符合条件的矩形是本题的关键，这就需要熟练掌握矩形的对角线的交点到四个顶点的距离相等．

　三．解答题

21．（1）计算：    

【分析】本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简、特殊角的三角函数值4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．

【解答】解：原式=

=．

故答案为．

【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、特殊角的三角函数值等考点的运算．

（2）解分式方程： 

【分析】观察可得最简公分母是（2x﹣3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．

【解答】解：原方程可化为： 

方程的两边同乘（2x﹣3），得

，即

解得， 

检验：当时，2x﹣3≠0．时，2x﹣3≠0

∴原方程的解为：， 

【点评】解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．

22．先化简，再求值：（+）÷，其中m=﹣1．

【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把m的值代入计算即可求出值．

【解答】解：（+）÷

=×

=×

=，

当m=﹣1时，原式==．

【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．

23．为响应国家的“节能减排”，某厂家开发了一种新型的电动车，如图，它的大灯A射出的光线AB、AC与地面MN的夹角分别为22°和31°，AT⊥MN，垂足为T，大灯照亮地面的宽度BC的长为m．

（1）求BT的长（不考虑其他因素）．

（2）一般正常人从发现危险到做出刹车动作的反应时间是0.2s，从发现危险到电动车完全停下所行驶的距离叫做最小安全距离．某人以20km/h的速度驾驶该车，从做出刹车动作到电动车停止的刹车距离是米，请判断该车大灯的设计是否能满足最小安全距离的要求（大灯与前轮前端间水平距离忽略不计），并说明理由．

（参考数据：sin22°≈，tan22°≈，sin31°≈，tan31°≈）

【分析】（1）在直角△ACT中，根据三角函数的定义，若AT=3x，则CT=5x，在直角△ABT中利用三角函数即可列方程求解；

（2）求出正常人作出反应过程中电动车行驶的路程，加上刹车距离，然后与BT的长进行比较即可．

【解答】解：（1）根据题意及图知：∠ACT=31°，∠ABT=22°

∵AT⊥MN

∴∠ATC=90°

在Rt△ACT中，∠ACT=31°

∴tan31°=

可设AT=3x，则CT=5x

在Rt△ABT中，∠ABT=22°

∴tan22°=

即：

解得：

∴，

∴；

（2），

米

∴该车大灯的设计不能满足最小安全距离的要求．

【点评】本题考查了解直角三角形，正确利用三角函数列出方程进行求解，正确理解方程思想是关键．

24．△ABC中，AB=5，AC=4，BC=6．

（1）如图1，若AD是∠BAC的平分线，DE∥AB，求CE的长与的比值；

（2）如图2，将边AC折叠，使得AC在AB边上，折痕为AM，再将边MB折叠，使得MB′与MC′重合，折痕为MN，求AN的长．

【分析】（1）先判定三角形ADE是等腰三角形，再根据平行线分线段成比例定理，求得CE的长；

（2）先根据两角对应相等，判定△ABC∽△NB′C′，再根据相似三角形的对应边成比例，求得NC′与B′N的数量关系，最后结合BC′的长为1，求得NC′的长，进而得到AN的长度．

【解答】解：（1）如图1，∵AD是∠BAC的平分线，DE∥AB，

∴∠EAD=∠BAD=∠EDA，

∴ED=EA，即三角形ADE是等腰三角形，

设CE=x，则AE=4﹣x=DE，

由DE∥AB，可得

=，即=，

解得x=，

∴CE=，

由DE∥AB，可得

==，

∴；

（2）由折叠得，∠B=∠B′，∠C=∠MC′A=∠B′C′N，AC=AC′=4，

∴△ABC∽△NB′C′，

∴==，

设NC′=4a，则BN=B′N=5a，

∵BC'=AB﹣AC′=5﹣4=1，

∴NC′+BN=1，即4a+5a=1，

解得a=，

∴NC′=，

∴AN=+4=．

【点评】本题以折叠问题为背景，主要考查了平行线分线段成比例定理以及相似三角形的判定与性质，具有一定的难度．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，解题时应重点把握对应边相等，对应角相等．

25．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连接PF．

（1）若∠POC=60°，AC=12，劣弧PC的长为           ；（结果保留π）

（2）求证：OD=OE；

（3）求证：PF是⊙O的切线．

【分析】（1）根据弧长计算公式l=进行计算即可；

（2）证明△POE≌△ADO可得DO=EO；

（3）方法1、连接AP，PC，证出PC为EF的中垂线，再利用△CEP∽△CAP找出角的关系求解．

方法2、先计算判断出PD=BF，进而判断出四边形PDBF是矩形即可得出结论；

方法3、利用三个内角是90度的四边形是矩形判断出四边形PDBF是矩形即可得出结论．

【解答】（1）解：∵AC=12，

∴CO=6，

∴==2π；

答：劣弧PC的长为：2π．

（2）证明：∵PE⊥AC，OD⊥AB，

∠PEA=90°，∠ADO=90°

在△ADO和△PEO中，

，

∴△POE≌△AOD（AAS），

∴OD=EO；

（3）证明：

法一：

如图，连接AP，PC，

∵OA=OP，

∴∠OAP=∠OPA，

由（2）得OD=EO，

∴∠ODE=∠OED，

又∵∠AOP=∠EOD，

∴∠OPA=∠ODE，

∴AP∥DF，

∵AC是直径，

∴∠APC=90°，

∴∠PQE=90°

∴PC⊥EF，

又∵DP∥BF，

∴∠ODE=∠EFC，

∵∠OED=∠CEF，

∴∠CEF=∠EFC，

∴CE=CF，

∴PC为EF的中垂线，

∴∠EPQ=∠QPF，

∵△CEP∽△CAP

∴∠EPQ=∠EAP，

∴∠QPF=∠EAP，

∴∠QPF=∠OPA，

∵∠OPA+∠OPC=90°，

∴∠QPF+∠OPC=90°，

∴OP⊥PF，

∴PF是⊙O的切线．

法二：

设⊙O的半径为r．

∵OD⊥AB，∠ABC=90°，

∴OD∥BF，

∴△ODE∽△CFE

又∵OD=OE，

∴FC=EC=r﹣OE=r﹣OD=r﹣BC

∴BF=BC+FC=r+BC

∵PD=r+OD=r+BC 

∴PD=BF 

又∵PD∥BF，且∠DBF=90°，

∴四边形DBFP是矩形

∴∠OPF=90°

∴OP⊥PF，

∴PF是⊙O的切线．

方法3、∵AC为直径，

∴∠ABC=90°

又∵∠ADO=90°，

∴PD∥BF

∴∠PCF=∠OPC

∵OP=OC，

∴∠OCP=∠OPC

∴∠OCP=∠PCF，即∠ECP=∠FCP

∵PD∥BF，

∴∠ODE=∠EFC

∵OD=OE，

∴∠ODE=∠OED

又∵∠OED=∠FEC，

∴∠FEC=∠EFC

∴EC=FC

在△PEC与△PFC中

∴△PEC≌△PFC（SAS）

∴∠PFC=∠PEC=90°

∴四边形PDBF为矩形

∠DPF=90°，

 即PF为圆的切线．

【点评】本题主要考查了切线的判定，解题的关键是适当的作出辅助线，准确的找出角的关系．

26．某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件．已知产销两种产品的有关信息如表：

（1）若产销甲、乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元，直接写出y1、y2与x的函数关系式；

（2）分别求出产销两种产品的最大年利润；

（3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由．

【分析】（1）根据利润=销售数量×每件的利润即可解决问题．

（2）根据一次函数的增减性，二次函数的增减性即可解决问题．

（3）根据题意分三种情形分别求解即可：）①（1180﹣200a）=440，②（1180﹣200a）＞440，③（1180﹣200a）＜440．

【解答】解：（1）y1=（6﹣a）x﹣20，（0＜x≤200）

y2=10x﹣40﹣0.05x2=﹣0.05x2+10x﹣40．（0＜x≤80）．

（2）对于y1=（6﹣a）x﹣20，∵6﹣a＞0，

∴x=200时，y1的值最大=（1180﹣200a）万元．

对于y2=﹣0.05（x﹣100）2+460，

∵0＜x≤80，

∴x=80时，y2最大值=440万元．

（3）①（1180﹣200a）=440，解得a=3.7，

②（1180﹣200a）＞440，解得a＜3.7，

③（1180﹣200a）＜440，解得a＞3.7，

∵3≤a≤5，

∴当a=3.7时，生产甲乙两种产品的利润相同．

当3≤a＜3.7时，生产甲产品利润比较高．

当3.7＜a≤5时，生产乙产品利润比较高．

【点评】本题考查二次函数、一次函数的应用，解题的关键是构建函数解决实际问题中的方案问题，属于中考常考题型．

27．如图（1），抛物线y=﹣x2+x+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣2，0）．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）①若点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DE⊥x轴于E，连接CD，以OE为直径作⊙M，如图（2），试求当CD与⊙M相切时D点的坐标；

②点F是x轴上的动点，在抛物线上是否存在一点G，使A、C、G、F四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）把A的坐标代入抛物线的解析式，即可得到关于c的方程，求的c的值，则抛物线的解析式即可求解；

（2）①连接MC、MD，证明△COM∽△MED，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解；

②分四边形是▱ACGF和四边形是▱ACFG两种情况进行讨论，根据平行四边形的性质即可求解．

【解答】方法一：

解：（1）由已知有：﹣（﹣2）2+（﹣2）+c=0，

∴c=3，抛物线的解析式是：y=﹣x2+x+3，

（2）①令D（x，y），（x＞0，y＞0），

则E（x，0），M（，0），由（1）知C（0，3），

连接MC、MD，

∵DE、CD与⊙O相切，

∴∠OCM=∠MCD，∠CDM=∠EDM，

∴∠CMD=90°，

∴△COM∽△MED，

∴=，

∴=，

又∵D点在抛物线上，满足解析式y=﹣x2+x+3，

∴x=（1±），

又∵x＞0，

∴x=（1+），

∴y=（3+），则D点的坐标是：（（1+，（3+））．

②假设存在满足条件的点G（a，b）．

若构成的四边形是▱ACGF，（下图1）则G与C关于直线x=2对称，

∴G点的坐标是：（4，3）；

若构成的四边形是▱ACFG，（下图2）则由平行四边形的性质有b=﹣3，

又∵﹣a2+a+3=﹣3，

∴a=2±2，

此时G点的坐标是：（2±2，﹣3）

方法二：

（1）略．

（2）①连接CM，DM，

∵D为抛物线：y=﹣x2+x+3上的一点，

∴设D（t，﹣t2+t+3），

∴E（t，0），

∵M为OE中点，

∴M（，0），

∵C（0，3），CD与⊙M相切，

∴∠MDC=∠EDM，∠OCM=∠MCD，

∵DE⊥x轴，

∴∠OCD+∠CDE=180°

∴∠MCD+∠MDC=90°

∴CD⊥DM，

∴KCM×KDM=﹣1，

∴=﹣1，∴，

∴D（，）．

②∵F是x轴上的动点，∴设F（t，0），

∵A（﹣2，0），C（0，3），

∴，∴，

同理：或，

∴﹣（t+2）2+t+2+3=3，∴，

∴﹣（﹣t﹣2）2﹣t﹣2+3=3，∴，

∴﹣（t﹣2）2+t﹣2+3=﹣3，t﹣2=2±2，

综上所述，满足题意的点G1（2﹣2，﹣3），G2（2+2，﹣3）．

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，正确求得当CD与⊙M相切时D点的坐标是关键．

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