一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）
1．（3分）（2015•大连）﹣2的绝对值是（ ）
| A． | 2 | B． | ﹣2 | C． | D． |
| A． | 球 | B． | 圆柱 | C． | 圆锥 | D． | 三棱柱 |
| A． | 1，2，3 | B． | 1，，3 | C． | 3，4，8 | D． | 4，5，6 |
| A． | （1，2） | B． | （3，0） | C． | （3，4） | D． | （5，2） |
| A． | x= | B． | x= | C． | x=2 | D． | x=1 |
| A． | 6x2 | B． | ﹣6x2 | C． | 9x2 | D． | ﹣9x2 |
| 年龄（岁） | 13 | 14 | 15 | 16 |
| 人数 | 2 | 4 | 3 | 1 |
| A． | 16 | B． | 14 | C． | 4 | D． | 3 |
| A． | ﹣1 | B． | +1 | C． | ﹣1 | D． | +1 |
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，满分24分）
9．（3分）（2015•大连）比较大小：3 ﹣2．（填“＞”、“＜”或“=”）
10．（3分）（2015•大连）若a=49，b=109，则ab﹣9a的值为 ．
11．（3分）（2015•大连）不等式2x+3＜﹣1的解集为 ．
12．（3分）（2015•大连）如图，AB∥CD，∠A=56°，∠C=27°，则∠E的度数为 ．
13．（3分）（2015•大连）一枚质地均匀的正方体骰子的六个面分别刻有1到6的点数，将这枚骰子掷两次，其点数之和是7的概率为 ．
14．（3分）（2015•大连）如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，AB=10cm，AD=8cm，AC⊥BC，则OB= cm．
15．（3分）（2015•大连）如图，从一个建筑物的A处测得对面楼BC的顶部B的仰角为32°，底部C的俯角为45°，观测点与楼的水平距离AD为31m，则楼BC的高度约为 m（结果取整数）．（参考数据：sin32°≈0.5，cos32°≈0.8，tan32°≈0.6）
16．（3分）（2015•大连）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（m，3），（3m﹣1，3），若线段AB与直线y=2x+1相交，则m的取值范围为 ．
三、解答题（本题共4小题，其中17、18、19题各9分，20题12，共39分）
17．（9分）（2015•大连）计算：（+1）（﹣1）+﹣（）0．
18．（9分）（2015•大连）解方程：x2﹣6x﹣4=0．
19．（9分）（2015•大连）如图，在▱ABCD中，点E，F在AC上，且∠ABE=∠CDF，求证：BE=DF．
20．（12分）（2015•大连）某地区共有1800名初三学生，为了解这些学生的体质健康状况，开学之初随机选取部分学生进行体育测试，以下是根据测试成绩绘制的统计图表的一部分．
| 等级 | 测试成绩（分） | 人数 |
| 优秀 | 45≤x≤50 | 140 |
| 良好 | 37.5≤x＜45 | 36 |
| 及格 | 30≤x＜37.5 | |
| 不及格 | x＜30 | 6 |
（1）本次测试学生体质健康成绩为良好的有 人，达到优秀的人数占本次测试总人数的百分比为 %．
（2）本次测试的学生数为 人，其中，体质健康成绩为及格的有 人，不及格的人数占本次测试总人数的百分比为 %．
（3）试估计该地区初三学生开学之初体质健康成绩达到良好及以上等级的学生数．
四、解答题（本题共3小题，其中21、22题各9分，23题10分，共28分）
21．（9分）（2015•大连）甲、乙两人制作某种机械零件，已知甲每小时比乙多做3个，甲做96个所用的时间与乙做84个所用的时间相等，求甲、乙两人每小时各做多少个零件？
22．（9分）（2015•大连）如图，在平面直角坐标系中，∠AOB=90°，AB∥x轴，OB=2，双曲线y=经过点B，将△AOB绕点B逆时针旋转，使点O的对应点D落在x轴的正半轴上．若AB的对应线段CB恰好经过点O．
（1）求点B的坐标和双曲线的解析式；
（2）判断点C是否在双曲线上，并说明理由．
23．（10分）（2015•大连）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于点E，与AB的延长线相交于点F．
（1）求证：EF与⊙O相切；
（2）若AB=6，AD=4，求EF的长．
五、解答题（本题共3小题，其中24题11分，25、26题各12分，共35分）
24．（11分）（2015•大连）如图1，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，且CD＞DA，DA=2，点P，Q同时从点D出发，以相同的速度分别沿射线DC、射线DA运动，过点Q作AC的垂线段QR，使QR=PQ，连接PR，当点Q到达点A时，点P，Q同时停止运动．设PQ=x，△PQR与△ABC重叠部分的面积为S，S关于x的函数图象如图2所示（其中0＜x≤，＜x≤m时，函数的解析式不同）．
（1）填空：n的值为 ；
（2）求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．
25．（12分）（2015•大连）在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，且∠ADF+∠DEC=180°，∠AFE=∠BDE．
（1）如图1，当DE=DF时，图1中是否存在与AB相等的线段？若存在，请找出，并加以证明；若不存在，说明理由；
（2）如图2，当DE=kDF（其中0＜k＜1）时，若∠A=90°，AF=m，求BD的长（用含k，m的式子表示）．
26．（12分）（2015•大连）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，顶点B的坐标为（2m，m），翻折矩形OABC，使点A与点C重合，得到折痕DE，设点B的对应点为F，折痕DE所在直线与y轴相交于点G，经过点C，F，D的抛物线为y=ax2+bx+c．
（1）求点D的坐标（用含m的式子表示）；
（2）若点G的坐标为（0，﹣3），求该抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，设线段CD的中点为M，在线段CD上方的抛物线上是否存在点P，使PM=EA？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
2015年辽宁省大连市中考数学试卷
参与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）
1．（3分）（2015•大连）﹣2的绝对值是（ ）
| A． | 2 | B． | ﹣2 | C． | D． |
| 考点： | 绝对值．菁优网版权所有 |
| 分析： | 根据负数的绝对值等于它的相反数解答． |
| 解答： | 解：﹣2的绝对值是2， 即|﹣2|=2． 故选：A． |
| 点评： | 本题考查了绝对值的性质：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． |
2．（3分）（2015•大连）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
| A． | 球 | B． | 圆柱 | C． | 圆锥 | D． | 三棱柱 |
| 考点： | 由三视图判断几何体．菁优网版权所有 |
| 分析： | 由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图即可确定具体形状． |
| 解答： | 解：根据主视图和左视图为三角形判断出是锥体，根据俯视图是圆形和圆心可判断出这个几何体应该是圆锥， 故选：C． |
| 点评： | 此题考查了由三视图判断几何体，考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查． |
3．（3分）（2015•大连）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
| A． | 1，2，3 | B． | 1，，3 | C． | 3，4，8 | D． | 4，5，6 |
| 考点： | 三角形三边关系．菁优网版权所有 |
| 分析： | 根据三角形的三边满足任意两边之和大于第三边来进行判断． |
| 解答： | 解：A、1+2=3，不能组成三角形，故本选项错误； B、1+＜3，不能组成三角形，故本选项错误； C、3+4＜8，不能组成三角形，故本选项错误； D、4+5＞6，能组成三角形，故本选项正确． 故选D． |
| 点评： | 本题考查了能够组成三角形三边的条件，简便方法是：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形． |
4．（3分）（2015•大连）在平面直角坐标系中，将点P（3，2）向右平移2个单位，所得的点的坐标是（ ）
| A． | （1，2） | B． | （3，0） | C． | （3，4） | D． | （5，2） |
| 考点： | 坐标与图形变化-平移．菁优网版权所有 |
| 分析： | 将点P（3，2）向右平移2个单位后，纵坐标不变，横坐标加上2即可得到平移后点的坐标． |
| 解答： | 解：将点P（3，2）向右平移2个单位，所得的点的坐标是（3+2，2），即（5，2）． 故选D． |
| 点评： | 本题考查了坐标与图形变化﹣平移，掌握平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键． |
5．（3分）（2015•大连）方程3x+2（1﹣x）=4的解是（ ）
| A． | x= | B． | x= | C． | x=2 | D． | x=1 |
| 考点： | 解一元一次方程．菁优网版权所有 |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． |
| 解答： | 解：去括号得：3x+2﹣2x=4， 解得：x=2， 故选C． |
| 点评： | 此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． |
6．（3分）（2015•大连）计算（﹣3x）2的结果是（ ）
| A． | 6x2 | B． | ﹣6x2 | C． | 9x2 | D． | ﹣9x2 |
| 考点： | 幂的乘方与积的乘方．菁优网版权所有 |
| 分析： | 根据积的乘方进行计算即可． |
| 解答： | 解：（﹣3x）2=9x2， 故选C． |
| 点评： | 此题考查积的乘方，关键是根据法则进行计算． |
7．（3分）（2015•大连）某舞蹈队10名队员的年龄分布如下表所示：
| 年龄（岁） | 13 | 14 | 15 | 16 |
| 人数 | 2 | 4 | 3 | 1 |
| A． | 16 | B． | 14 | C． | 4 | D． | 3 |
| 考点： | 众数．菁优网版权所有 |
| 分析： | 众数可由这组数据中出现频数最大数据写出； |
| 解答： | 解：这组数据中14岁出现频数最大，所以这组数据的众数为14； 故选B． |
| 点评： | 本题考查的是众数的定义．要注意，当所给数据有单位时，所求得的平均数、众数和中位数与原数据的单位相同，不要漏单位． |
8．（3分）（2015•大连）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=，则BC的长为（ ）
| A． | ﹣1 | B． | +1 | C． | ﹣1 | D． | +1 |
| 考点： | 勾股定理；等腰三角形的判定与性质．菁优网版权所有 |
| 分析： | 根据∠ADC=2∠B，∠ADC=∠B+∠BAD判断出DB=DA，根据勾股定理求出DC的长，从而求出BC的长． |
| 解答： | 解：∵∠ADC=2∠B，∠ADC=∠B+∠BAD， ∴∠B=∠DAB， ∴DB=DA=， 在Rt△ADC中， DC===1； ∴BC=+1． 故选D． |
| 点评： | 本题主要考查了勾股定理，同时涉及三角形外角的性质，二者结合，是一道好题． |
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，满分24分）
9．（3分）（2015•大连）比较大小：3 ＞ ﹣2．（填“＞”、“＜”或“=”）
| 考点： | 有理数大小比较．菁优网版权所有 |
| 分析： | 有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． |
| 解答： | 解：根据有理数比较大小的方法，可得 3＞﹣2． 故答案为：＞． |
| 点评： | 此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小． |
10．（3分）（2015•大连）若a=49，b=109，则ab﹣9a的值为 4900 ．
| 考点： | 因式分解-提公因式法．菁优网版权所有 |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 原式提取公因式a后，将a与b的值代入计算即可求出值． |
| 解答： | 解：当a=49，b=109时，原式=a（b﹣9）=49×100=4900， 故答案为：4900． |
| 点评： | 此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键． |
11．（3分）（2015•大连）不等式2x+3＜﹣1的解集为 x＜﹣2 ．
| 考点： | 解一元一次不等式．菁优网版权所有 |
| 分析： | 利用不等式的基本性质，把3移到不等号的右边，合并同类项即可求得原不等式的解集． |
| 解答： | 解：移项得，2x＜﹣1﹣3， 合并同类项得，2x＜﹣4 解得x＜﹣2， 故答案为x＜﹣2． |
| 点评： | 本题考查了解一元一次不等式，以及解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错． 解不等式要依据不等式的基本性质： （1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变； （2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变； （3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变． |
12．（3分）（2015•大连）如图，AB∥CD，∠A=56°，∠C=27°，则∠E的度数为 29° ．
| 考点： | 平行线的性质；三角形的外角性质．菁优网版权所有 |
| 分析： | 根据AB∥CD，求出∠DFE=56°，再根据三角形外角的定义性质求出∠E的度数． |
| 解答： | 解：∵AB∥CD， ∴∠DFE=∠A=56°， 又∵∠C=27°， ∴∠E=56°﹣27°=29°， 故答案为29°． |
| 点评： | 本题考查了平行线的性质、三角形的外角的性质，找到相应的平行线是解题的关键． |
13．（3分）（2015•大连）一枚质地均匀的正方体骰子的六个面分别刻有1到6的点数，将这枚骰子掷两次，其点数之和是7的概率为 ．
| 考点： | 列表法与树状图法．菁优网版权所有 |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 先画树状图展示所有36种等可能的结果数，再找出点数之和是7的结果数，然后根据概率公式求解． |
| 解答： | 解：画树状图为： 共有36种等可能的结果数，其中点数之和是7的结果数为6， 所以点数之和是7的概率==． 故答案为． |
| 点评： | 本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率． |
14．（3分）（2015•大连）如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，AB=10cm，AD=8cm，AC⊥BC，则OB= cm．
| 考点： | 平行四边形的性质；勾股定理．菁优网版权所有 |
| 分析： | 由平行四边形的性质得出BC=AD=8cm，OA=OC=AC，由勾股定理求出AC，得出OC，再由勾股定理求出OB即可． |
| 解答： | 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC=AD=8cm，OA=OC=AC， ∵AC⊥BC， ∴∠ACB=90°， ∴AC===6， ∴OC=3， ∴OB===； 故答案为：． |
| 点评： | 本题考查了平行四边形的性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． |
15．（3分）（2015•大连）如图，从一个建筑物的A处测得对面楼BC的顶部B的仰角为32°，底部C的俯角为45°，观测点与楼的水平距离AD为31m，则楼BC的高度约为 50 m（结果取整数）．（参考数据：sin32°≈0.5，cos32°≈0.8，tan32°≈0.6）
| 考点： | 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．菁优网版权所有 |
| 分析： | 在Rt△ABD中，根据正切函数求得BD=AD•tan32°=31×0.6=18.6，在Rt△ACD中，求得BC=BD+CD=18.6+31=49.6m．结论可求． |
| 解答： | 解：在Rt△ABD中， ∵AD=31，∠BAD=32°， ∴BD=AD•tan32°=31×0.6=18.6， 在Rt△ACD中， ∵∠DAC=45°， ∴CD=AD=31， ∴BC=BD+CD=18.6+31≈50m． 故答案为：50． |
| 点评： | 此题考查了仰角与俯角的知识．此题难度适中，注意能借助仰角或俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键． |
16．（3分）（2015•大连）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（m，3），（3m﹣1，3），若线段AB与直线y=2x+1相交，则m的取值范围为 ≤m≤1 ．
| 考点： | 两条直线相交或平行问题．菁优网版权所有 |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 先求出直线y=3与直线y=2x+1的交点为（1，3），再分类讨论：当点B在点A的右侧，则m≤1≤3m﹣1，当点B在点A的左侧，则3m﹣1≤1≤m，然后分别解关于m的不等式组即可． |
| 解答： | 解：当y=3时，2x+1=3，解得x=1， 所以直线y=3与直线y=2x+1的交点为（1，3）， 当点B在点A的右侧，则m≤1≤3m﹣1，解得≤m≤1； 当点B在点A的左侧，则3m﹣1≤1≤m，无解， 所以m的取值范围为≤m≤1． |
| 点评： | 本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同． |
三、解答题（本题共4小题，其中17、18、19题各9分，20题12，共39分）
17．（9分）（2015•大连）计算：（+1）（﹣1）+﹣（）0．
| 考点： | 二次根式的混合运算；零指数幂．菁优网版权所有 |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 先根据平方差公式和零指数幂的意义得到原式=3﹣1+2﹣1，然后进行加减运算． |
| 解答： | 解：原式=3﹣1+2﹣1 =1+2． |
| 点评： | 本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂． |
18．（9分）（2015•大连）解方程：x2﹣6x﹣4=0．
| 考点： | 解一元二次方程-配方法．菁优网版权所有 |
| 分析： | 此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数． |
| 解答： | 解：移项得x2﹣6x=4， 配方得x2﹣6x+9=4+9， 即（x﹣3）2=13， 开方得x﹣3=±， ∴x1=3+，x2=3﹣． |
| 点评： | 本题考查了用配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程的步骤： （1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可． （2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方． |
19．（9分）（2015•大连）如图，在▱ABCD中，点E，F在AC上，且∠ABE=∠CDF，求证：BE=DF．
| 考点： | 全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．菁优网版权所有 |
| 专题： | 证明题． |
| 分析： | 根据平行四边形的性质，证明AB=CD，AB∥CD，进而证明∠BAC=∠CDF，根据ASA即可证明△ABE≌△CDF，根据全等三角形的对应边相等即可证明． |
| 解答： | 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD， ∴∠BAC=∠CDF， ∴△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF， ∴BE=DF． |
| 点评： | 本题考查的是利用平行四边形的性质结合三角形全等来解决有关线段相等的证明． |
20．（12分）（2015•大连）某地区共有1800名初三学生，为了解这些学生的体质健康状况，开学之初随机选取部分学生进行体育测试，以下是根据测试成绩绘制的统计图表的一部分．
| 等级 | 测试成绩（分） | 人数 |
| 优秀 | 45≤x≤50 | 140 |
| 良好 | 37.5≤x＜45 | 36 |
| 及格 | 30≤x＜37.5 | |
| 不及格 | x＜30 | 6 |
（1）本次测试学生体质健康成绩为良好的有 36 人，达到优秀的人数占本次测试总人数的百分比为 70 %．
（2）本次测试的学生数为 200 人，其中，体质健康成绩为及格的有 18 人，不及格的人数占本次测试总人数的百分比为 3 %．
（3）试估计该地区初三学生开学之初体质健康成绩达到良好及以上等级的学生数．
| 考点： | 扇形统计图；用样本估计总体；统计表．菁优网版权所有 |
| 分析： | （1）根据统计图和统计表即可直接解答； （2）根据优秀的有140人，所占的百分比是70%即可求得总人数，利用总人数减去其它组的人数即可求得及格的人数，然后根据百分比的意义求得不及格的人数所占百分比； （3）利用总人数乘以对应的百分比即可求解． |
| 解答： | 解：（1）本次测试学生体质健康成绩为良好的有36人． 达到优秀的人数占本次测试总人数的百分比为70%． 故答案是：36，70； （2）调查的总人数是：140÷70%=200（人）， 体质健康成绩为及格的有200﹣140﹣36﹣6=18（人）， 不及格的人数占本次测试总人数的百分比是：×100%=3%． 故答案是：200，18，3%； （3）本次测试学生体质健康成绩为良好的有36人，=18%， 估计该地区初三学生开学之初体质健康成绩达到良好及以上等级的学生数是：1800×（70%+18%）=1584（人）． |
| 点评： | 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． |
四、解答题（本题共3小题，其中21、22题各9分，23题10分，共28分）
21．（9分）（2015•大连）甲、乙两人制作某种机械零件，已知甲每小时比乙多做3个，甲做96个所用的时间与乙做84个所用的时间相等，求甲、乙两人每小时各做多少个零件？
| 考点： | 分式方程的应用．菁优网版权所有 |
| 分析： | 由题意可知：设乙每小时做的零件数量为x个，甲每小：时做的零件数量是x+3；根据甲做90个所用的时间=乙做60个所用的时间列出方程求解． |
| 解答： | 解：设乙每小时做的零件数量为x个，甲每小时做的零件数量是x+3，由题意得 = 解得x=21， 经检验x=21是原分式方程的解， 则x+3=24． 答：甲每小时做24个零件，乙每小时做21个零件． |
| 点评： | 此题考查分式方程的应用，利用工作时间相等建立等量关系是解决问题的关键． |
22．（9分）（2015•大连）如图，在平面直角坐标系中，∠AOB=90°，AB∥x轴，OB=2，双曲线y=经过点B，将△AOB绕点B逆时针旋转，使点O的对应点D落在x轴的正半轴上．若AB的对应线段CB恰好经过点O．
（1）求点B的坐标和双曲线的解析式；
（2）判断点C是否在双曲线上，并说明理由．
| 考点： | 反比例函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化-旋转．菁优网版权所有 |
| 分析： | （1）先求得△BOD是等边三角形，即可求得B的坐标，然后根据待定系数法即可求得双曲线的解析式； （2）求得OB=OC，即可求得C的坐标，根据C的坐标即可判定点C是否在双曲线上． |
| 解答： | 解：（1）∵AB∥x轴， ∴∠ABO=∠BOD， ∵∠ABO=∠CBD， ∴∠BOD=∠OBD， ∵OB=BD， ∴∠BOD=∠BDO， ∴△BOD是等边三角形， ∴∠BOD=60°， ∴B（1，）； ∵双曲线y=经过点B， ∴k=1×=． ∴双曲线的解析式为y=． （2）∵∠ABO=60°，∠AOB=90°， ∴∠A=30°， ∴AB=2OB， ∵AB=BC， ∴BC=2OB， ∴OC=OB， ∴C（﹣1，﹣）， ∵﹣1×（﹣）=， ∴点C在双曲线上． |
| 点评： | 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，待定系数法求二次函数的解析式等，求得△BOD是等边三角形是解题的关键． |
23．（10分）（2015•大连）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于点E，与AB的延长线相交于点F．
（1）求证：EF与⊙O相切；
（2）若AB=6，AD=4，求EF的长．
| 考点： | 切线的判定．菁优网版权所有 |
| 分析： | （1）连接OD，由题可知，E已经是圆上一点，欲证CD为切线，只需证明∠OED=90°即可． （2）连接BD，作DG⊥AB于G，根据勾股定理求出BD，进而根据勾股定理求得DG，根据角平分线性质求得DE=DG=，然后根据△ODF∽△AEF，得出比例式，即可求得EF的长． |
| 解答： | （1）证明：连接OD， ∵AD平分∠CAB， ∴∠OAD=∠EAD． ∵OE=OA， ∴∠ODA=∠OAD． ∴∠ODA=∠EAD． ∴OD∥AE． ∵∠ODF=∠AEF=90°且D在⊙O上， ∴EF与⊙O相切． （2）连接BD，作DG⊥AB于G， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∵AB=6，AD=4， ∴BD==2， ∵OD=OB=3， 设OG=x，则BG=3﹣x， ∵OD2﹣OG2=BD2﹣BG2，即32﹣x2=22﹣（3﹣x）2， 解得x=， ∴OG=， ∴DG==， ∵AD平分∠CAB，AE⊥DE，DG⊥AB， ∴DE=DG=， ∴AE==， ∵OD∥AE， ∴△ODF∽△AEF， ∴=，即=， ∴=， ∴EF=． |
| 点评： | 本题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，切线的判定等知识点的应用，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力，两小题题型都很好，都具有一定的代表性． |
五、解答题（本题共3小题，其中24题11分，25、26题各12分，共35分）
24．（11分）（2015•大连）如图1，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，且CD＞DA，DA=2，点P，Q同时从点D出发，以相同的速度分别沿射线DC、射线DA运动，过点Q作AC的垂线段QR，使QR=PQ，连接PR，当点Q到达点A时，点P，Q同时停止运动．设PQ=x，△PQR与△ABC重叠部分的面积为S，S关于x的函数图象如图2所示（其中0＜x≤，＜x≤m时，函数的解析式不同）．
（1）填空：n的值为 ；
（2）求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．
| 考点： | 动点问题的函数图象．菁优网版权所有 |
| 分析： | （1）当x=时，△PQR与△ABC重叠部分的面积就是△PQR的面积，然后根据PQ=，QR=PQ，求出n的值是多少即可． （2）首先根据S关于x的函数图象，可得S关于x的函数表达式有两种情况：当0＜x≤时，S=×PQ×RQ=x2，判断出当点Q点运动到点A时，x=2AD=4，据此求出m=4；然后求出当＜x≤4时，S关于x的函数关系式即可． |
| 解答： | 解：（1）如图1， ， 当x=时，△PQR与△ABC重叠部分的面积就是△PQR的面积， ∵PQ=，QR=PQ， ∴QR=， ∴n=S=×（）2=×=． （2）如图2， ， 根据S关于x的函数图象，可得S关于x的函数表达式有两种情况： 当0＜x≤时， S=×PQ×RQ=x2， 当点Q点运动到点A时， x=2AD=4， ∴m=4． 当＜x≤4时， S=S△APF﹣S△AQF=AP•FG﹣AQ•EQ， AP=2+，AQ=2﹣， ∵△AQE∽△AQ1R1，， ∴QE=， 设FG=PG=m， ∵△AGF△AQ1R1，， ∴AG=2+﹣m， ∴m=， ∴S=S△APF﹣S△AQE =AP•FG﹣AQ•EQ =（2）（2）﹣（2﹣）•（2） =x2+ ∴S=x2+． 综上，可得 S= 故答案为：． |
| 点评： | 此题主要考查了动点问题的函数图象，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图． |
25．（12分）（2015•大连）在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，且∠ADF+∠DEC=180°，∠AFE=∠BDE．
（1）如图1，当DE=DF时，图1中是否存在与AB相等的线段？若存在，请找出，并加以证明；若不存在，说明理由；
（2）如图2，当DE=kDF（其中0＜k＜1）时，若∠A=90°，AF=m，求BD的长（用含k，m的式子表示）．
| 考点： | 相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有 |
| 分析： | （1）如图1，连结AE．先由DE=DF，得出∠DEF=∠DFE，由∠ADF+∠DEC=180°，得出∠ADF=∠DEB．由∠AFE=∠BDE，得出∠AFE+∠ADE=180°，那么A、D、E、F四点共圆，根据圆周角定理得出∠DAE=∠DFE=∠DEF，∠ADF=∠AEF．再由∠ADF=∠DEB=∠AEF，得出∠AEF+∠AED=∠DEB+∠AED，则∠AEB=∠DEF=∠BAE，根据等角对等边得出AB=BE； （2）如图2，连结AE．由A、D、E、F四点共圆，得出∠ADF=∠AEF，由∠DAF=90°，得出∠DEF=90°，再证明∠DEB=∠AEF．又∠AFE=∠BDE，根据两角对应相等的两三角形相似得出△BDE∽△AFE，利用相似三角形对应边成比例得到=．在直角△DEF中，利用勾股定理求出EF==DF，然后将AF=m，DE=kDF代入，计算即可求解． |
| 解答： | 解：（1）如图1，连结AE． ∵DE=DF， ∴∠DEF=∠DFE， ∵∠ADF+∠DEC=180°， ∴∠ADF=∠DEB． ∵∠AFE=∠BDE， ∴∠AFE+∠ADE=180°， ∴A、D、E、F四点共圆， ∴∠DAE=∠DFE=∠DEF，∠ADF=∠AEF． ∵∠ADF=∠DEB=∠AEF， ∴∠AEF+∠AED=∠DEB+∠AED， ∴∠AEB=∠DEF=∠BAE， ∴AB=BE； （2）如图2，连结AE． ∵∠AFE=∠BDE， ∴∠AFE+∠ADE=180°， ∴A、D、E、F四点共圆， ∴∠ADF=∠AEF， ∵∠DAF=90°， ∴∠DEF=90°， ∵∠ADF+∠DEC=180°， ∴∠ADF=∠DEB． ∵∠ADF=∠AEF， ∴∠DEB=∠AEF． 在△BDE与△AFE中， ， ∴△BDE∽△AFE， ∴=． 在直角△DEF中，∵∠DEF=90°，DE=kDF， ∴EF==DF， ∴==， ∴BD=． |
| 点评： | 本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，四点共圆，圆周角定理，勾股定理等知识，有一定难度．连结AE，证明A、D、E、F四点共圆是解题的关键． |
26．（12分）（2015•大连）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，顶点B的坐标为（2m，m），翻折矩形OABC，使点A与点C重合，得到折痕DE，设点B的对应点为F，折痕DE所在直线与y轴相交于点G，经过点C，F，D的抛物线为y=ax2+bx+c．
（1）求点D的坐标（用含m的式子表示）；
（2）若点G的坐标为（0，﹣3），求该抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，设线段CD的中点为M，在线段CD上方的抛物线上是否存在点P，使PM=EA？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
| 考点： | 二次函数综合题．菁优网版权所有 |
| 分析： | （1）由折叠的性质得出CF=AB=m，DF=DB，∠DFC=∠DBA=90°，CE=AE，设CD=x，则DF=DB=2m﹣x，由勾股定理得出方程，解方程即可得出结果； （2）证明△OEG∽△CDG，得出比例式，求出m的值，得出C、D的坐标，作FH⊥CD于H，证明△FCH∽△DCF，得出比例式求出F的坐标，用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （3）由直角三角形斜边上的中线性质得出MF=CD=EA，点P与点F重合，得出点P的坐标；由抛物线的对称性得另一点P的坐标即可． |
| 解答： | 解：（1）根据折叠的性质得：CF=AB=m，DF=DB，∠DFC=∠DBA=90°，CE=AE，∠CED=∠AED， 设CD=x，则DF=DB=2m﹣x， 根据勾股定理得：CF2+DF2=CD2， 即m2+（2m﹣x）2=x2， 解得：x=m， ∴点D的坐标为：（m，m）； （2）∵四边形OABC是矩形， ∴OA=2m，OA∥BC， ∴∠CDE=∠AED， ∴∠CDE=∠CED， ∴CE=CD=m， ∴AE=CE=m， ∴OE=OA﹣AE=m， ∵OA∥BC， ∴△OEG∽△CDG， ∴， 即， 解得：m=2， ∴C（0，2），D（，2）， 作FH⊥CD于H，如图1所示： 则∠FHC=90°=∠DFC， ∵∠FCH=∠FCD， ∴△FCH∽△DCF， ∴==， 即， ∴FH=，CH=，+2=， ∴F（，）， 把点C（0，2），D（，2），F（，）代入y=ax2+bx+c得：， 解得：a=﹣，b=，c=2， ∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2； （3）存在；点P的坐标为：（，），或（，）；理由如下： 如图2所示：∵CD=CE，CE=EA， ∴CD=EA， ∵线段CD的中点为M，∠DFC=90°， ∴MF=CD=EA，点P与点F重合， ∴点P的坐标为：（，）； 由抛物线的对称性得另一点P的坐标为（，）； ∴在线段CD上方的抛物线上存在点P，使PM=EA，点P的坐标为：（，），或（，）． |
| 点评： | 本题是二次函数综合题目，考查了坐标与图形性质、矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、用待定系数法求二次函数的解析式、直角三角形斜边上的中线性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）中，需要作辅助线两次证明三角形相似才能得出相关点的坐标求出抛物线的解析式． |
