一、前言：法国数学家傅里叶发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示，后世称为傅里叶级数。一种特殊的三角级数。法国数学家傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出。从而极大地推动了偏微分方程理论的发展。傅里叶级数曾极大地推动了偏微分方程理论的发展。在数学物理以及工程中都具有重要的应用。
二、 问题描述：设f ( x) 是周期为2π的周期函数, 它在[ - π,π) 上的表达式为 将f ( x) 展开成傅里叶级数。
三、 问题分析：我们学过的《数学分析》书中,关于函数的傅里叶级数展开式主要有下面两个基本定理。
定理1 ：若以2 l 为周期的函数f 在[-L,L] 上按段光滑,则f 的傅里叶级数在每一点x 处收敛于1/2[f(x-0)+f(x+0)]
定理2 :若以2L为周期的函数f 在[-L,L] 内至多有有限多个第一类间断点和至多只有有限个极值点,则对每一点x ∈( - ∞, + ∞) , f ( x) 的傅里叶级数收敛于1/2[f(x-0)+f(x+0)]。
因此用数学方法解得：
四、问题求解：用mathematica编写程序如下
a0 = 1/Pi*(Integrate[x, {x, 0, Pi}]) （*计算a0*）
an = 1/Pi*(Integrate[x*Cos[n*x], {x, 0, Pi}])
（*计算an*）
bn = 1/Pi*(Integrate[x*Sin[n*x], {x, 0, Pi}])
（*计算bn*）
f[x_] := Which[-3 Pi <= x < -2 Pi, 0, -2 Pi <= x < -Pi,
x + 2 Pi, -Pi <= x < 0, 0, 0 <= x < Pi, x, Pi <= x < 2 Pi, 0, 2 Pi <= x <= 3 Pi, x - 2 Pi];
（*分段函数*）
For[i = 1, i < 40, i += 5, fu[x_] := a0/2 + Sum[an*Cos[n*x] + bn*Sin[n*x], {n, 1, i}]]
（*8个不同级富里埃级数*）
程序及运行结果如下截图：
用作图显示富里埃级数逼近f(x)的图形，则用Plot作图法输入：
Plot[{f[x], fu[x]}, {x, -3 Pi, 3 Pi}, PlotStyle -> {RGBColor[1, 0, 0], RGBColor[0, 0, 1]}, PlotRange -> {-0.1, 3.2}]
运行程序及截图：下载本文
