二、操作：如图，在正方形ABCD中，P是CD上一动点（与C、D不重合），使三角板的直角顶点与点P重合，并且一条直角边始终经过点B，另一直角边与正方形的某一边所在直线交于点E．

探究：①观察操作结果，哪一个三角形与△BPC相似，写出你的结论，并说明理由；

②当点P位于CD的中点时，你找到的三角形与△BPC的周长比和面积比分别是多少？

三、如图所示，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x．

（1）当x为何值时，PQ∥BC；

（2）△APQ能否与△CQB相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由．

四 、如图，已知在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＜CD，AB=10，BC=3．

（1）如果M为AB上一点，且满足∠DMC=∠A，求AM的长；

（2）如果点M在AB边上移动（点M与A，B不重合），且满足∠DMN=∠A，MN交BC延长线于N，设AM=x，CN=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．

五、如图，在△ABC中，AB=AC=1，点D，E在直线BC上运动．设BD=x，CE=y．

（1）如果∠BAC=30°，∠DAE=105°，试确定y与x之间的函数关系式；

（2）如果∠BAC=α，∠DAE=β，当α，β满足怎样的关系时，（1）中y与x之间的函数关系式还成立？试说明理由．

六、如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，顶点D，C分别在AM，BN上运动（点D不与A重合，点C不与B重合），E是AB上的动点（点E不与A，B重合），在运动过程中始终保持DE⊥CE，且AD+DE=AB=a．

（1）求证：△ADE∽△BEC；    （2）当点E为AB边的中点时（如图2），求证：①AD+BC=CD；②DE，CE分别平分∠ADC，∠BCD；

（3）设AE=m，请探究：△BEC的周长是否与m值有关，若有关请用含m的代数式表示△BEC的周

七、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，E是BC边上的一个动点（不与B，C重合），EF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F，G．

（1）求证：；

（2）FD与DG是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由；

（3）当AB=AC时，△FDG为等腰直角三角形吗？并说明理由．

八、阅读理解：如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，点P在BC边上，当∠APD=90°时，易证△ABP∽△PCD，从而得到BP•PC=AB•CD，解答下列问题．

（1）探究：如图2，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当∠B=∠C=∠APD时，求证：BP•PC=AB•CD；

（2）拓展应用：如图3，在四边形ABCD中，AB=4，BC=10，CD=6，∠B=∠C=60°，AO⊥BC于点O，以O为顶点，以BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，点P为线段OC上一动点（不与端点O、C重合）

（i）当∠APD=60°时，求点P的坐标；

（ii）过点P作PE⊥PD，交y轴于点E，设PO=x，OE=y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

三角形相似之动点问题二

九、如图，四边形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ACB=90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E．

（1）求证：AB•AF=CB•CD；

（2）已知AB=15cm，BC=9cm，P是线段DE上的动点．设DP=x cm，梯形BCDP的面积为ycm2．

①求y关于x的函数关系式．

②y是否存在最大值？若有求出这个最大值，若不存在请说明理由．

十、如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D在边AB上运动，DE平分∠CDB交边BC于点E，EM⊥BD垂足为M，EN⊥CD垂足为N．

（1）当AD=CD时，求证：DE∥AC；

（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？

（3）探究：AD为何值时，四边形MEND与△BDE的面积相等？

十一、如图1在平面直角坐标系中，O是坐标原点，▱ABCD的顶点A的坐标为（-2，0），点D的坐标为（0，2），点B在x轴的正半轴上，点E为线段AD的中点，过点E的直线l与x轴交于点F，与射线DC交于点G．

（1）求∠DCB的度数；

（2）连接OE，以OE所在直线为对称轴，△OEF经轴对称变换后得到△OEF'，记直线EF'与射线DC的交点为H．

①如图2，当点G在点H的左侧时，求证：△DEG∽△DHE；

②若△EHG的面积为3，请直接写出点F的坐标．

十二、如图，已知线段AB∥CD，AD与BC相交于点K，E是线段AD上一动点．

（1）若BK=  KC，求的值；

（2）连接BE，若BE平分∠ABC，则当AE=  AD时，猜想线段AB、BC、CD三者之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明．再探究：当AE=  AD（n＞2），而其余条件不变时，线段AB、BC、CD三者之间又有怎样的等量关系？请直接写出你的结论，不必证明．

十三、如图，Rt△ABC中，∠A=30°，BC=10cm，点Q在线段BC上从B向C运动，点P在线段BA上从B向A运动．Q、P两点同时出发，运动的速度相同，当点Q到达点C时，两点都停止运动．作PM⊥PQ交CA于点M，过点P分别作BC、CA的垂线，垂足分别为E、F．

（1）求证：△PQE∽△PMF；

（2）当点P、Q运动时，请猜想线段PM与MA的大小有怎样的关系？并证明你的猜想；

（3）设BP=x，△PEM的面积为y，求y关于x的函数关系式，当x为何值时，y有最大值，并将这个值求出来．

十四、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．

（1）求AC、BC的长；

（2）设点P的运动时间为x（秒），△PBQ的面积为y（cm2），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC是否相似，请说明理由；

（4）当x=5秒时，在直线PQ上是否存在一点M，使△BCM得周长最小？若存在，求出最小周长；若不存在，请说明理由．                                        

三角形相似之动点问题三

十五、如图，点C为线段AB上任意一点（不与A、B重合），分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，CA=CD，CB=CE，∠ACD与∠BCE都是锐角且∠ACD=∠BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接PC．

（1）求证：△ACE≌△DCB；

（2）请你判断△AMC与△DMP的形状有何关系并说明理由；

（3）求证：∠APC=∠BPC．

十六、如图，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与点A，B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF．

（1）求证：∠ADP=∠EPB；

（2）求∠CBE的度数；

（3）当的值等于多少时，△PFD∽△BFP？并说明理由

十七、已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=90°，E是AD的中点，点P是BC边上的动点（不与点B重合），EP与BD相交于点O．

（1）当P点在BC边上运动时，求证：△BOP∽△DOE；

（2）设（1）中的相似比为k，若AD：BC=2：3．请探究：当k为下列三种情况时，四边形ABPE是什么四边形？①当k=1时，是________平行四边形；②当k=2时，是  ________ ；③当k=3时，是  ________．并证明k=2时的结论．

十八、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=50，AC=30，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点．点P从点D出发沿折线DE-EF-FC-CD以每秒7个单位长的速度匀速运动；点Q从点B出发沿BA方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点Q作射线QK⊥AB，交折线BC-CA于点G．点P，Q同时出发，当点P绕行一周回到点D时停止运动，点Q也随之停止．设点P，Q运动的时间是t秒（t＞0）．

（1）D，F两点间的距离是多少？  

（2）射线QK能否把四边形CDEF分成面积相等的两部分？若能，求出t的值；若不能，说明理由；

（3）当点P运动到折线EF-FC上，且点P又恰好落在射线QK上时，求t的值；

（4）连接PG，当PG∥AB时，请直接写出t的值．

十九、如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC上一个动点（不与B、C重合），在AC上取E点，使∠ADE=45度．

（1）求证：△ABD∽△DCE；

（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式；

（3）当：△ABD∽△DCE是等腰三角形时，求AE的长． 

二十、等腰△ABC，AB=AC=8，∠BAC=120°，P为BC的中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转．

（1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时．求证：△BPE∽△CFP；

（2）操作：将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．

①探究1：△BPE与△CFP还相似吗？（只需写出结论）

②探究2：连接EF，△BPE与△PFE是否相似？请说明理由；

③设EF=m，△EPF的面积为S，试用m的代数式表示S．

二一、三角形纸片ABC，∠C=90°，AB=2BC=12．将纸片折叠使点A总是落在BC边上，记为点D，EF是折痕，如右图．

（1）当△DEF是以∠EDF为顶角的等腰三角形时，求△DCF的面积；

（2）在BC边上是否存在一点D，使以D，E，F为顶点的三角形和以D，E，B为顶点的三角形相似？若存在，求出相似比；若不存在，说明理由． 

二二、在△ABC中，∠BAC=90°，AB＜AC，M是BC边的中点，MN⊥BC交AC于点N．动点P从点B出发沿射线BA以每秒厘米的速度运动．同时，动点Q从点N出发沿射线NC运动，且始终保持MQ丄MP．设运动时间为t秒（t＞0）．

（1）△PBM与△QNM相似吗？以图1为例说明理由：

（2）若∠ABC=60°，AB=4厘米．

①求动点Q的运动速度；

②设△APQ的面积为S（平方厘米），求S与t的函数关系式．下载本文