一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．x2+2x﹣1=（x﹣1）2 B．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 C．x2+4x+4=（x+2）2 D．ax2﹣a=a（x2﹣1）
3．（3分）要使分式有意义，x应满足的条件是（ ）
A．x＞3 B．x=3 C．x＜3 D．x≠3
4．（3分）计算x3•x2的结果是（ ）
A．x6 B．x5 C． x2 D．x
5．（3分）已知点P（a，3）、Q（﹣2，b）关于y轴对称，则=（ ）
A．﹣5 B．5 C．﹣ D．
6．（3分）下列各式：①，②，③，④，其中是分式的有（ ）
A．①②③④ B．①④ C．①②④ D．②④
7．（3分）小朱要到距家1500米的学校上学，一天，小朱出发10分钟后，小朱的爸爸立即去追小朱，且在距离学校60米的地方追上了他．已知爸爸比小朱的速度快100米/分，求小朱的速度．若设小朱速度是x米/分，则根据题意所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，将答案填在题中横线上）
9．（3分）当x= 时，分式的值为零．
10．（3分）一种病毒的直径为0.000023m，这个数用科学记数法表示为 ．
11．（3分）已知xm=6，xn=3，则x2m﹣n的值为 ．
12．（3分）分解因式：27x2+18x+3= ．
13．（3分）若关于x的分式方程无解，则m的值是 ．
14．（3分）如图，在等腰△ABC的两腰AB、BC上分别取点D和E，使DB=DE，此时恰有∠ADE=∠ACB，则∠B的度数是 ．
15．（3分）如图，∠ABC=50°，BD平分∠ABC，过D作DE∥AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF=DE，则∠DFB的度数为 ．
16．（3分）如图，△ADB、△BCD都是等边三角形，点E，F分别是AB，AD上两个动点，满足AE=DF．连接BF与DE相交于点G，CH⊥BF，垂足为H，连接CG．若DG=a，BG=b，且a、b满足下列关系：a2+b2=5，ab=2，则GH= ．
三、解答题（17、18、19、20题各8分，21、22题10分，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）（1）（﹣2a）3﹣（﹣a）•（3a）2
（2）（2a﹣3b）2﹣4a（a﹣2b）
18．（8分）先化简再求值：（1﹣）÷，其中x=（）﹣1+30
19．（8分）解分式方程： +=1．
20．（8分）已知，如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，求证：PQ=BP．
21．（10分）某文具店老板第一次用1000元购进一批文具，很快销售完毕；第二次购进时发现每件文具进价比第一次上涨了2.5元．老板用2500元购进了第二批文具，所购进文具的数量是第一次购进数量的2倍，同样很快销售完毕，两批文具的售价为每件15元．
（1）问第二次购进了多少件文具？
（2）文具店老板第一次购进的文具有30元的损耗，第二次购进的文具有125元的损耗，问文具店老板在这两笔生意中是盈利还是亏本？请说明理由．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第四象限内作等边三角形AOB，点C为x正半轴上一动点（OC＞1），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD，连接DA并延长，交y轴于点E．
①△OBC与△ABD全等吗？判断并证明你的结论；
②当点C运动到什么位置时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形？
2017-2018学年天津市河北区八年级（上）期末数学试卷
参与试题解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确．
故选：D．
2．（3分）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．x2+2x﹣1=（x﹣1）2 B．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 C．x2+4x+4=（x+2）2 D．ax2﹣a=a（x2﹣1）
【解答】解：（A）x2+2x﹣1≠（x﹣1）2，故A不是因式分解，
（B）a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），故B不是因式分解，
（D）ax2﹣a=a（x2﹣1）=a（x+1）（x﹣1），故D分解不完全，
故选：C．
3．（3分）要使分式有意义，x应满足的条件是（ ）
A．x＞3 B．x=3 C．x＜3 D．x≠3
【解答】解：当x﹣3≠0时，分式有意义，
即当x≠3时，分式有意义，
故选：D．
4．（3分）计算x3•x2的结果是（ ）
A．x6 B．x5 C．x2 D．x
【解答】解：x3•x2=x3+2=x5．
故选：B．
5．（3分）已知点P（a，3）、Q（﹣2，b）关于y轴对称，则=（ ）
A．﹣5 B．5 C．﹣ D．
【解答】解：∵点P（a，3）、Q（﹣2，b）关于y轴对称，
∴a=2，b=3，
则==﹣．
故选：C．
6．（3分）下列各式：①，②，③，④，其中是分式的有（ ）
A．①②③④ B．①④ C．①②④ D．②④
【解答】解：式子：①，②，③，④，其中是分式的有：①，④．
故选：B．
7．（3分）小朱要到距家1500米的学校上学，一天，小朱出发10分钟后，小朱的爸爸立即去追小朱，且在距离学校60米的地方追上了他．已知爸爸比小朱的速度快100米/分，求小朱的速度．若设小朱速度是x米/分，则根据题意所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：设小朱速度是x米/分，则爸爸的速度是（x+100）米/分，由题意得：
=+10，
即： =+10，
故选：B．
8．（3分）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【解答】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC=BC•AD=×4×AD=16，解得AD=8，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短=（CM+MD）+CD=AD+BC=8+×4=8+2=10．
故选：C．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，将答案填在题中横线上）
9．（3分）当x= ﹣3 时，分式的值为零．
【解答】解：要使分式由分子x2﹣9=0解得：x=±3．
而x=﹣3时，分母x﹣3=﹣6≠0．
x=3时分母x﹣3=0，分式没有意义．
所以x的值为﹣3．
故答案为：﹣3．
10．（3分）一种病毒的直径为0.000023m，这个数用科学记数法表示为 2.3×10﹣5． ．
【解答】解：0.000023=2.3×10﹣5，
故答案为：2.3×10﹣5．
11．（3分）已知xm=6，xn=3，则x2m﹣n的值为 12 ．
【解答】解：x2m﹣n=（xm）2÷xn=36÷3=12．
故答案为：12．
12．（3分）分解因式：27x2+18x+3= 3（3x+1）2 ．
【解答】解：27x2+18x+3，
=3（9x2+6x+1），
=3（3x+1）2．
13．（3分）若关于x的分式方程无解，则m的值是 3 ．
【解答】解：去分母，得m﹣3=x﹣1，
x=m﹣2．
∵关于x的分式方程无解，
∴最简公分母x﹣1=0，
∴x=1，
当x=1时，得m=3，
即m的值为3．
故答案为3．
14．（3分）如图，在等腰△ABC的两腰AB、BC上分别取点D和E，使DB=DE，此时恰有∠ADE=∠ACB，则∠B的度数是 20° ．
【解答】解：设∠B=x．
∵DB=DE，
∴∠DEB=∠B=x，
∴∠ADE=∠DEB+∠B=2x，
∴∠ACB=2∠ADE=4x．
∵AB=BC，
∴∠ACB=∠A=4x．
在△ABC中，∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴4x+x+4x=180°，
∴x=20°．
即∠B的度数是20°．
故答案为20°．
15．（3分）如图，∠ABC=50°，BD平分∠ABC，过D作DE∥AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF=DE，则∠DFB的度数为 50°或130° ．
【解答】解：如图，DF=DF′=DE；
∵BD平分∠ABC，由图形的对称性可知：
△BDE≌△BDF，
∴∠DFB=∠DEB；
∵DE∥AB，∠ABC=50°，
∴∠DEB=180°﹣50°=130°；
∴∠DFB=130°；
当点F位于点F′处时，
∵DF=DF′，
∴∠DF′B=∠DFF′=50°，
故答案是：50°或130°．
16．（3分）如图，△ADB、△BCD都是等边三角形，点E，F分别是AB，AD上两个动点，满足AE=DF．连接BF与DE相交于点G，CH⊥BF，垂足为H，连接CG．若DG=a，BG=b，且a、b满足下列关系：a2+b2=5，ab=2，则GH= ．
【解答】证明：延长FB到点M，使BM=DG，连接CM
∵△ABD是等边三角形，
∴AD=BD，∠A=∠ABD=60°，
在△AED与△DFB中，，
∴△AED≌△DFB（SAS），
∴∠ADE=∠DBF，
∵∠CDG=∠ADC﹣∠ADE=120°﹣∠ADE，∠CBM=120°﹣∠DBF，
∴∠CBM=∠CDG，
∵△DBC是等边三角形，
∴CD=CB，
在△CDG和△CBM中，
∴△CDG≌△CBM，
∴∠DCG=∠BCM，CG=CM，
∴∠GCM=∠DCB=60°，
∴△CGM是等边三角形，
∴CG=GM=BG+BM=BG+DG，
∵（a+b）2=a2+b2+2ab=9，
∴a+b=3，
∴CG=3，
∴GH=CG=．
故答案为：．
三、解答题（17、18、19、20题各8分，21、22题10分，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）（1）（﹣2a）3﹣（﹣a）•（3a）2
（2）（2a﹣3b）2﹣4a（a﹣2b）
【解答】解：（1）（﹣2a）3﹣（﹣a）•（3a）2
=﹣8a3﹣（﹣a）•9a2
=﹣8a3+9a3
=a3；
（2）（2a﹣3b）2﹣4a（a﹣2b）
=4a2﹣12ab+9b2﹣4a2+8ab
=﹣4ab+9b2．
18．（8分）先化简再求值：（1﹣）÷，其中x=（）﹣1+30
【解答】解：原式=•
=，
当x=（）﹣1+30=3+1=4时，
原式==2．
19．（8分）解分式方程： +=1．
【解答】解：去分母得：x2﹣x﹣2=x2﹣3x，
解得：x=1，
经检验x=1是分式方程的解．
20．（8分）已知，如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，求证：PQ=BP．
【解答】解：AE=CD，AC=BC，
∴EC=BD；
∵△ABC为等边三角形，
∴∠C=∠ABC=60°，AB=BC，
在△BEC与△ADB中，
，
∴△BEC≌△ADB（SAS），
∴∠EBC=∠BAD；
∵∠ABE+∠EBC=60°，
∴∠ABE+∠BAD=60°，
∵∠BPQ是△ABP外角，
∴∠ABP+∠BAP=60°=∠BPQ，
又∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ=30°，
∴PQ=BP．
21．（10分）某文具店老板第一次用1000元购进一批文具，很快销售完毕；第二次购进时发现每件文具进价比第一次上涨了2.5元．老板用2500元购进了第二批文具，所购进文具的数量是第一次购进数量的2倍，同样很快销售完毕，两批文具的售价为每件15元．
（1）问第二次购进了多少件文具？
（2）文具店老板第一次购进的文具有30元的损耗，第二次购进的文具有125元的损耗，问文具店老板在这两笔生意中是盈利还是亏本？请说明理由．
【解答】解：（1）设第一次购进x件文具，第二次就购进2x件文具，
由题意得， =﹣2.5，
解得：x=100，
经检验，x=100是原方程的解，且符合题意，
则2x=2×100=200．
答：第二次购进200件文具；
（2）第一次购进100件文具，利润为：（15﹣10）×100﹣30=470（元）；
第二次购进200件文具，利润为：（15﹣12.5）×200﹣125=375（元），
两笔生意是盈利：利润为470+375=845元．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第四象限内作等边三角形AOB，点C为x正半轴上一动点（OC＞1），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD，连接DA并延长，交y轴于点E．
①△OBC与△ABD全等吗？判断并证明你的结论；
②当点C运动到什么位置时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形？
【解答】解：（1）△OBC≌△ABD．
证明：∵△AOB，△CBD都是等边三角形，
∴OB=AB，CB=DB，∠ABO=∠DBC，
∴∠OBC=∠ABC，
在△OBC和△ABD中，
，
∴△OBC≌△ABD（SAS）；
（2）∵△OBC≌△ABD，
∴∠BOC=∠BAD=60°，
又∵∠OAB=60°，
∴∠OAE=180°﹣60°﹣60°=60°，
∴∠EAC=120°，∠OEA=30°，
∴以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，AE和AC是腰，
∵在Rt△AOE中，OA=1，∠OEA=30°，
∴AE=2，
∴AC=AE=2，
∴OC=1+2=3，
∴当点C的坐标为（3，0）时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形．
