数学与应用数学专业毕业论文
巧用数形结合法解数学题
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学 校： 广播电视大学
学 号： *********
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完稿日期： 2010年3月18日
提纲 1
题目 2
论文摘要 2
关键词 2
正文 2-9
1、以数解形 2
2、以“形”助“数” 4
参考文献 9
提 纲
一、题目：巧用数形结合法解数学题
二、论点：数形结合是研究数学问题的过程中，实现问题的模型转换的一种基本思想和方法。
三、思路
1、以数解形
（1）用代数法解几何问题
（2）用解析法解几何问题
2、以形助数
（1）用几何法解代数问题
（2）用解析法解代数问题
（3）借助函数图象解数学问题
巧用数形结合法解数学题
刘 嘉 杭
【论文摘要】 数形结合是一种重要的数学思想方法，在解题中以形表达数量关系，借数解析形，数形结合，可以达到直观又入微；提高数形结合的灵活性，可有助于思维能力的培养，有利一提高解题能力。
【关键词】 数形结合 以数解形 以形助数
所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，大家都知道数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学，数和形是客观事物不可分离的两个数学表象，它们既是对立的，又是统一的，每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；因此数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，在解决代数问题时，想到它的图形，从而启发思维，找到解题之路；或者在研究图形时，利用代数的性质，解决几何的问题。实现抽象概念与具体形象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观。数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”。充分体现了数形结合的必要性。正由于数形的密切关系，我们常把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述结合起来，从而使代数问题几何化，几何问题代数化，并进而把抽象思维和形象思维结合起来，使许多复杂问题获得简捷解法。
通常数形结合体现为“以形助数”、“以数解形”、“借助函数图像”，通过“以形助数”、“以数解形”、“借助函数图像”，可使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而达到优化解题途径的目的。
1、以数解形
几何问题通过“形向数”的转化更简便，如采用代数方法、解析法、复数方法、向量方法去解决几何问题，解题思路比较明确，规律性强，不象几何证法需要特殊技巧，因此也就容易找到解题途径，下面举例说明。
1.1 用代数方法解几何问题
研究某些度量关系的几何问题时，可将有关线段、角度、面积用未知数表示，根据已知条件建立相应的关系式，然后用代数中的恒等变换或解方程得出。
【例1】如图1,已经⊙O的三条弦PP1、QQ1、RR1两两相交，交点分别为A、B、C，且AP＝BQ＝CR，AR1＝BP1＝CQ1。
求证 △ABC是正三角形
思路分析：此题用代数法解极为简单。设：
BC＝x，CA＝y，AB＝z，AP＝BQ＝CR＝m，AR1＝BP1＝CQ1＝n，
O
A
C
B
Q
R1
P
·
相交弦定理可列出议程组
图1
R
P1
Q1
化简后得
三式相加得m（x＋y＋z）＝n（x＋y＋z），由m＝n可推出x＝y＝z，所以△ABC是等边三角形。
1.2 用解析法解几何问题
解析法是笛卡儿推崇的数学思想方法，是数形结合的典范，它的优势主要在解题的规范化，其解题步骤主要是：通过建立坐标系，设定所给图形上有关点的坐标和曲线的方程后，便可将几何问题转化为代数问题；然后运用代数知识求解，再赋予几何意义，从而获得对几何问题的解答。
【例2】在△ABC中，已经AD是BC边上的高，P是AD上任一点，BP、CP延长线交AC，AB于E、F。求证∠ADE＝∠ADF.
思路分析：此题如用几何法无需较高技巧，我们试用解析法来证明。建立直角坐标系，如图2,则只须证明DE，DF的斜率互为反数就可以了。
P
E
A(0,a)
(D)
C(c,0)
B(b,0)
O
x
y
F
设A、B、C、P四点坐标分别为（0,a），（b,0），（c,0），（0,p），由截距式可求出AB、CP，AC，BP的直线方程为：
AB：……（1）
图2
CP：……（2）
AC：……（3）
BP：……（4）
联立（3）、（4），求出E点坐标为（，）联立（1）、（2），求出F点的坐标为（，）所以直线DE的斜率KDE＝直线DF的斜率KDF＝由此得KDE＝KDF所以∠ADE＝∠ADF。
由上述例子可见，解析法证几何题，思路明确，有规可循，而且可以减少或避免添加辅助线，可以减少“寻求隐含条件”的困难，使用时要注意的是坐标系的选取要适当，这样可以简化计算。
2、以“形”助“数”
以“形”助“数”即以图形或图象之关系反映相应的代数关系，并解决有关代数问题，根据解题的需要，常把数量关系的问题转化为图形的性质问题来讨论，即把抽象为直观，通过对图形的研究，常能发现问题的隐含条件，诱发解题线索，使求解过程变得简捷直观。
2.1 用几何法解代数问题
【例3】已知正数a、b、c、A、B、C满足a＋A＝b＋B＝c＋C＝k 求证：aB＋bC＋cA＜k2
P
思路分析：不等式左边是三个乘积的和，联想到三角形的面积，可以构造以k为边长的正三角形PQR如图3在边上取L、M、N，根据已经条件，使QL=A,LR=a，RM＝B，MP＝b，PN＝C，NQ＝C，则S△LRM＝aBsin60°
A
a
L
R
Q
C
b
c
M
N
S△MPN＝bCsin60°
B
S△NQL＝cAsin60°
图3
S△PQR＝kKsin60°
由图显见即S△LRM＋S△MPN＋S△NQL＜S△PQR 所以， aBsin60°＋bCsin60°＋cAsin60°＜kKsin60°，即aB＋bC＋cA＜k2。
2.2 用解析法解代数问题
【例4】＋＝10解方程。
思路分析：原方程可变形为。＝10联想到解析几何中椭圆定义，令y2＝1则有＝10,这是以F1（－3,0）,F2（3,0）焦点，长轴长为10,短轴长为8的椭圆方程，即。所以当y2＝1时，得x＝±，即为原方程的解。
【例5】若关于方程x2＋2kx＋3k＝0的两根都在－1和3之间，求k的取值范围。
y
x
-1
3
·
·
分析解答：令f(x)＝x2＋2kx＋3k，其图象与x轴交点的横坐标就是方程f（x）＝0的解，由y＝f(x)的图象可知，要使二根都在（－1,3）之间，只需f（－1）＞0,f(3)＞0，f(－)＝f(－k)＜0同时成立，解得－1＜k＜0,故k∈(－1,0)。
2.3 借助函数图象解代数问题
把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。在解题过程中如能巧妙借助函数图象，把抽象的数学问题与函数的图象有机地结合起来，能达到直观形象，出奇制胜的功效。
【例6】 已经方程（1）x2＋px＋q＝0有相异的实根，求证：方程（2）x2＋px＋q＋k(2x＋p)＝0必有相异的实根，并且其中仅有一根在方程（1）的两根之间（其中k,p,q均为实数，且k≠0）。
思路分析：证明方程（2）有相异实根，只须求证此方程根的判别式△2＞0即可，而讨论根的分布情况就不那么简单了。
设x1,x2是方程（1）的两个实根，且x1＜x2，令f(x)＝x2＋px＋q则函数f(x)的图象开口向上，且与x轴交于(x1,0), (x2,0)两点。
设α，β是方程（2）的两个实根，α＜β，令g（x）＝x2＋px＋q＋k(2x＋p)，则函数g（x）的图象开口向上，与x轴交于(α,0)，（β，0）两点，作函数图像，如结论成立，则四个根相互之间的关系有两种情况如图4、图5。
x1经
y
x1经
x
x2
6
o
x2
o
6
0
x
y
g(x1)·g(x2)＝k2(2x1＋p)(2x2＋p)＝k2[4x1x2＋2p(x1＋x2)＋p2]＝k2[4q＋2p(－p)＋p2]＝k2(4q－p2)＜0
0
【例7】 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如下图所示，则下列结论：①c<0；②b<0；③4a+2b+c>0；④（a+c）2 A. 1个 x B. 2个 1 O C. 3个 D. 4个 【分析】 我们观察图象即运用对称轴坐标很容易确定a、b、c三个字母系数的正负；4a+2b+c的符号要看x＝2时y值的正负.而比较（a+c）2与b2的大小有多种方法：①作差法.计算(a＋c)2－b2＝（a+c-b）（a+c+b），只需确定a+c-b与a+c+b的符号即可.②比较a＋c与b.先去绝对值，需判定a+c的符号与b的符号，再比较去掉绝对值符号后的两式的大小. 解：∵ 抛物线开口向下， ∴ a<0，又对称轴为x=1，即=1. ∴ b=-2a<0，即②正确. ∵ 抛物线与y轴负半轴相交， ∵ c<0，即①正确. 当x=2时，y=4a+2b+c，由抛物线对称性可知，此时对应点在x轴下方， ∴ 4a+2b+c<0，∴ ③不正确. ∵ （a+c）2-b2=（a+c-b）（a+c+b）=（a-b+c）（a+b+c）， 由图象可知，当x=1时y=a+b+c>0；当x=-1，y=a-b+c<0 ， ∴ （a+b+c）（a-b+c）<0，即（a+c）2-b2，故④正确. 在说明4a+2b+c>0不正确时，也可用这种方法： ∵ b=-2a，c<0 ，∴ 4a+2b+c=4a+2（-2a）+c=c<0. 所以选C。 【小结】 解题关键是根据抛物线位置与a、b、c的关系，联系实数运算符号法则及函数解析式，将要判断的式子化为当x取某一值时的函数值，从图象上对应点纵坐标的正负得出结论. 【例8】 方程-x2+5x+2=的正根的个数为（ ）. Ａ. 3 Ｂ. 2 Ｃ. 1 Ｄ. 0 【分析】 直接化分式方程为整式方程，确定方程根的个数，是十分困难的事，结合问题特征，要将“数”转达化成“形”去研究. 解：把方程化为抛物线y1=-x2+5x+2与双曲线y2=，分别画出草图，在x>0的范围内，两函数图象有两个交点. 【例9】 已知A（1，y1）、B（－，y2）、C（－2，y3）在函数y＝2（x＋1）2－的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是_________. 【分析】 解此题最直接的思路是将已知点的横坐标分别代入解析式，求出各点的纵坐标再进行比较，但这样做运算复杂，容易出错.更好的方法是根据二次函数的解析式画出函数的大致图象，然后根据抛物线的性质和已知条件确定各点落在抛物线上的位置. 解：因为所给出的函数y＝2（x＋1）2－是顶点式，所以很容易画出函数图象，如图： 观察图象不难得出y1＞y3＞y2 【例10】关于＝x＋k的方程有两个根，求k的范围。 l1 l2 x y 思路分析原方程可看作是求解y＝和y＝x＋k的交点问题，联想到y2＋x2＝1(0≤y)这个半圆与直线y＝x＋k的交点，如图。 O O 当直线L:y＝x＋k在l1、l2之间移动时，直线y＝x＋k与半圆y＝有两个交点，此时1≤k＜,即为问题的解。 【例11】解不等式： 思路分析：直接解此不等式，难度有点大，将原式变形 因为，引入参数，并借助几何意决问题。 令x＝cosQ＝ y＝sinQ＝ 则原不等式化为 抛物线y＝－2x2＋1与半圆x2＋y2＝1(x＞0)的交点A（0,1）,B（），而满足△式的点都在圆弧（不包括端点）上，由此可知： Asin(－)＜Q＜asin1，于是得到y＝-tanQ＞－，这就是不等式的解。 因此，数形结合是研究数学问题并实现问题的模型转换的一种基本思想和基本方法，对于沟通代数三角与几何的联系具有重要的指导意义，它能沟通数与形的内在联系。在解题中学会以形论数，借数解形，数形结合，直观又入微，提高数形联想的灵活性，有助于思维素质的发展，有利于提高解题能力。 参考文献： 1、王银蓬：浅谈数学形结合的方法（J） 中学数学 2004（12） 2、戴桂珍：数形结合思想方法及其运用（J） 广西教育 2004（15） 3、李晋彪：谈谈数形结合的实际应用（J） 太原教育学院学校 2003.103 4、吴雅率：浅谈数形结合的解题思想（J） 山西煤炭管理干部学院学报 2004.101 5、莫红梅：谈数形结合在中学数学中的应用（J） 教育实践与研究下载本文
