1.幂函数的定义
形如(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，a为常数。
它的形式非常严格，只有完全具备这种形式的函数才是幂函数．若函数以根式的形式给出，则要注意先对根式进行化简整理，再对照幂函数的定义进行判断
2.幂函数与指数函数有何不同？
本质区别在于自变量的不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。
3.幂函数的性质：
| y＝x | y＝x2 | y＝x3 | y＝x | y＝x－1 | |
| 定义域 | R | R | R | {x|x∈R且x≠0} | |
| 值域 | R | R | {y|y∈R且y≠0} | ||
| 奇偶性 | 奇 | 偶 | 奇 | 非奇非偶 | 奇 |
| 单调性 | 增 | x∈[0，＋∞)时，增 x∈(－∞，0]时，减 | 增 | 增 | x∈(0，＋∞)时，减 x∈(－∞，0)时，减 |
| 定点 | （0,0），（1,1） | （1,1） | |||
幂函数y＝xα的图象由于α的值不同而不同．
α的正负：α＞0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α＜0，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立；
5.幂函数的性质及其应用
幂函数y＝xα有下列性质：(1)单调性：当α＞0时，函数在(0，＋∞)上单调递增；当α＜0时，函数在(0，＋∞)上单调递减．(2)奇偶性：幂函数中既有奇函数，又有偶函数，也有非奇非偶函数，可以用函数奇偶性的定义进行判断．
6.规律方法
（1）．幂函数y＝xα(α＝0,1)的图象
（2）.幂函数的图象
7.基础练习
(1). 下列函数中不是幂函数的是（ ）
A． B． C． D．
答案：C
(2). 下列函数在上为减函数的是（ ）
A． B． C． D．
答案：B
(3). 下列幂函数中定义域为的是（ ）
A． B． C． D．
答案：D
8.知识梳理
1．概念：一般地，我们把形如 的函数称为幂函数，其中 是自变量， 是常数；
注意：幂函数与指数函数的区别．
2.性质：
（1）幂函数的图象都过点 ；任何幂函数都不过 象限；
（2）当时，幂函数在上 ；当时，幂函数在上 ；
（3）当时，幂函数是 ；当时，幂函数是 ．
9.典型例题分析
幂函数的意义
例1．已知函数，当为何值时，：
（1）是幂函数；（2）是幂函数，且是上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数；
简解：（1）或（2）（3）（4）（5）
变式训练：已知函数，当为何值时，在第一象限内它的图像是上升曲线。
简解：解得：
小结与拓展：要牢记幂函数的定义，列出等式或不等式求解。
例2．比较大小：
（1） （2）（3）（4）
解：（1）∵在上是增函数，，∴
（2）∵在上是增函数，，∴
（3）∵在上是减函数，，∴；
∵是增函数，，∴；
综上，
（4）∵，，，
∴
变式训练：将下列各组数用小于号从小到大排列：
（1） （2） （3）
解：（1）
（2）
（3）
小结与拓展：在解决比较大小的问题时常用到幂函数图像及性质
例3．已知幂函数（）的图象与轴、轴都无交点，且关于原点对称，求的值．
解：∵幂函数（）的图象与轴、轴都无交点，
∴，∴；
∵，∴，又函数图象关于原点对称，
∴是奇数，∴或．
变式训练：已知幂函数的图象关于轴对称，且在上的单调递减，求满足的得取值范围。
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