1基础知识：

1．直线与圆的方程；    2．椭圆、双曲线、抛物线的定义与标准方程公式；

3．椭圆、双曲线、抛物线的几何性质等相关知识：、、、、、渐近线。

4. 常用结论，特征三角形性质。

2基本方法：

1．待定系数法：求所设直线方程中的系数，求标准方程中的待定系数、、、、等等；

2．齐次方程法：解决求离心率、渐近线、夹角等与比值有关的问题；

3．韦达定理法：直线与曲线方程联立，交点坐标设而不求，用韦达定理写出转化完成。要注意：如果方程的根很容易求出，就不必用韦达定理，而直接计算出两个根；

4．点差法：弦中点问题，端点坐标设而不求。也叫五条等式法：点满足方程两个、中点坐标公式两个、斜率公式一个共五个等式；

5．距离转化法：将斜线上的长度问题、比例问题、向量问题转化水平或竖直方向上的距离问题、比例问题、坐标问题；

3基本思想：

1．“常规求值”问题需要找等式，“求范围”问题需要找不等式；

2．“是否存在”问题当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；

3．证明“过定点”或“定值”，总要设一个或几个参变量，将对象表示出来，再说明与此变量无关；

4．证明不等式，或者求最值时，若不能用几何观察法，则必须用函数思想将对象表示为变量的函数，再解决；

5．有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；

6．大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。

4．专题知识特点

⑴ 用代数的方法研究解决几何问题，重点是用数形结合的思想把几何问题转化为代数问题．

⑵ 解题思路比较简单，概念公式较多，规律性较强，但运算过程往往比较复杂，对运算能力、恒等变形

能力及综合运用各种数学知识和方法的能力要求较高．

5．专题高考地位

    本专题是高中数学的核心内容之一，在历年高考试题中均占有举足轻重的地位，问题总量除包括倒数第1（2）题的压轴题外，还至少包括2~3道小题．

  本专题内容在高考题中所占的分值是20多分，占总分值的15%左右．

⑴ 圆锥曲线中的定义、离心率、焦点三角形、焦半径、通径等知识点是填空题和选择题中的高档试题，难度不高，但方法比较灵活．

⑵ 直线与圆锥曲线的位置关系容易和平面向量、数列、不等式综合，涉及存在性问题、定值问题、定点问题、求参数问题．

⑶ 求曲线的轨迹方程是解析几何一个基本问题，是历年来高考的一大热点．

⑷ 圆锥曲线（包括直线与圆）和函数、数列、不等式、三角、平面向量等知识联系密切．直线与圆锥曲线中的存在性问题、定值问题渐成考试定势．

⑸ 数形结合思想本身就是解析几何的灵魂，在高考解析几何题中的运用更为常见；分类讨论思想主要体现在解答题中对参数问题的讨论；等价转化思想：在解题中常化曲为直．

6实例探究

一、求直线、圆锥曲线方程、离心率、弦长、渐近线等常规问题

例1．已知椭圆.过点（2，—1）且方向向量为的直线L交椭圆与A、B两点。

⑴若线段AB的中点为M，求直线OM的斜率（用表示）；

⑵若椭圆的离心率为，焦距为2，求线段AB的长；

⑶在⑵的条件下，设椭圆的左焦点为，求的面积。

点评：常规求值问题的方法：待定系数法，先设后求，关键在于找等式。

二、“是否存在”问题

例2．已知定点A（-2，-4），过点A作倾斜角为45度的直线L，交抛物线（>0）于B、C两点，且线段BC长为。

（）求抛物线的方程；

（）在（）中的抛物线上是否存在点D，使得DB=DC成立？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由。

（答：。存在点D（2，2）或（8，-4））

三、过定点、定值问题

例3.已知椭圆C：（>>0），过焦点垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形。

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)过点Q（—1，0）的直线L交椭圆于A、B两点，交直线x = —4于点E，设，。求证：为定值，并计算出该定值。

点评：距离转化法把斜线上的转化为垂直与水平上的，比如向量中的比例以坐标转化，比如抛物线中焦半径与到准线距离的转化。

例4．过抛物线（>0）的焦点F作任意一条直线分别交抛物线于A、B两点，如果（O为原点）的面积是S，求证：为定值。（答：）

点评：证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。

处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明。

四．最值问题

例5．已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为,右顶点为,设点.

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；

（3）过原点的直线交椭圆于点，求面积的最大值。

解(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=,则半短轴b=1.   又椭圆的焦点在x轴上, 

∴椭圆的标准方程为

(2)设线段PA的中点为M(x,y) ,点P的坐标是(x0,y0),

由     得    点P在椭圆上，得, 

∴线段PA中点M的轨迹方程是.

(3)当直线BC垂直于x轴时,BC=2,因此△ABC的面积S△ABC=1.

当直线BC不垂直于x轴时,说该直线方程为y=kx,代入,

解得B(,),C(－,－),

则,又点A到直线BC的距离d=,

∴△ABC的面积S△ABC=   于是S△ABC=

由≥－1,得S△ABC≤,其中,当k=－时,等号成立.   ∴S△ABC的最大值是.     

例6．已知平面内一动点到点F（1，0）的距离与点到轴的距离的等等于1．

（I）求动点的轨迹的方程；

（II）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与轨迹相交于点，与轨迹相交于点，求的最小值．

答：动点P的轨迹C的方程为

取最小值16．

点评：最值问题的方法：几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等。

7、规范解题

解析几何在高考中经常是两小题一大题：两小题经常是常规求值类型，一大题中的第一小题也经常是常规求值问题，故常用方程思想先设后求即可。解决第二小题时常用韦达定理法结合以上各种题型进行处理，常按照以下七步骤：

一设直线与方程；（提醒：设直线时分斜率存在与不存在；设为y=kx+b与x=mmy+n的区别）

二设交点坐标；（提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”）

三联立方程组；

四消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单）

五根据条件转化；常有以下类型：

    “以弦AB为直径的圆过点0”   （提醒：需讨论K是否存在）    

        “点在圆内、圆上、圆外问题”  “直角、锐角、钝角问题”

“向量的数量积大于、等于、小于0问题”  >0；

        “等角、角平分、角互补问题”斜率关系（或）；

        “共线问题”（如： 数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）；

（如：A、O、B三点共线直线OA与OB斜率相等）；

“点、线对称问题”坐标与斜率关系；

“弦长、面积问题”

转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式的合理选择）；

六化简与计算；

七细节问题不忽略；判别式是否已经考虑；抛物线问题中二次项系数是否会出现0.下载本文