人说几何很困难，难点就在辅助线。
辅助线，如何添？把握定理和概念。
还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。
图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
平行四边形出现，对称中心等分点。
梯形里面作高线，平移一腰试试看。
平行移动对角线，补成三角形常见。
证相似，比线段，添线平行成习惯。
等积式子比例换，寻找线段很关键。
直接证明有困难，等量代换少麻烦。
斜边上面作高线，比例中项一大片。
半径与弦长计算，弦心距来中间站。
圆上若有一切线，切点圆心半径连。
切线长度的计算，勾股定理最方便。
要想证明是切线，半径垂线仔细辨。
是直径，成半圆，想成直角径连弦。
弧有中点圆心连，垂径定理要记全。
圆周角边两条弦，直径和弦端点连。
弦切角边切线弦，同弧对角等找完。
要想作个外接圆，各边作出中垂线。
还要作个内接圆，内角平分线梦圆。
如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。
内外相切的两圆，经过切点公切线。
若是添上连心线，切点肯定在上面。
要作等角添个圆，证明题目少困难。
辅助线，是虚线，画图注意勿改变。
假如图形较分散，对称旋转去实验。
基本作图很关键，平时掌握要熟练。
解题还要多心眼，经常总结方法显。
切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。
分析综合方法选，困难再多也会减。
虚心勤学加苦练，成绩上升成直线
一元二次方程解法歌诀
含有一个未知数，最高指数是二次；
整式方程最常见，一元二次方程式。
左边二次三项式，右边是零一般式。
方程缺少常数项，求根提取公因式；
方程没有一次项，直接开方最合适；
方程如果合家欢，十字相乘先去试；
分解二次常数项，叉乘求和凑中式；
如能做到这一点，十字相乘根求之；
否则可以去配方，自然能够套公式。
五种类型一次函数解析式的确定
确定一次函数的解析式，是一次函数学习的重要内容。下面就确定一次函数的解析式的题型作如下的归纳，供同学们学习时参考。
一、根据直线的解析式和图像上一个点的坐标，确定函数的解析式
例1、若函数y=3x+b经过点（2，-6），求函数的解析式。
分析：因为，函数y=3x+b经过点（2，-6），
所以，点的坐标一定满足函数的关系式，所以，只需把x=2，y=-6代入解析式中，就可以求出b的值。函数的解析式就确定出来了。
解：
因为，函数y=3x+b经过点（2，-6），
所以，把x=2，y=-6代入解析式中，
得：-6=3×2+b，
解得：b=-12，
所以，函数的解析式是：y=3x-12.
二、根据直线经过两个点的坐标，确定函数的解析式
例2、直线y=kx+b的图像经过A（3，4）和点B（2，7），
求函数的表达式。
分析：把点的坐标分别代入函数的表达式，用含k的代数式分别表示b，
因为b是同一个，这样建立起一个关于k的一元一次方程，这样就可以把k的值求出来，
然后，就转化成例1的问题了。
解：
因为，直线y=kx+b的图像经过A（3，4）和点B（2，7），
所以，4=3k+b，7=2k+b，
所以，b=4-3k，b=7-2k，
所以，4-3k=7-2k，
解得：k=-3，
所以，函数变为：y=-3x+b，
把x=3，y=4代入上式中，得：4=-3×3+b，
解得：b=13，
所以，一次函数的解析式为：y=-3x+13。
三、根据函数的图像，确定函数的解析式
例3、如图1表示一辆汽车油箱里剩余油量y（升）与行驶时间x（小时）之间的关系．
求油箱里所剩油y（升）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式，并且确定自变量x的取值范围。
分析：根据图形是线段，是直线上的一部分，所以，我们可以确定油箱里所剩油y（升）是行驶时间x（小时）的一次函数，明白这些后，就可以利用设函数解析式的方法去求函数的解析式。
解：
因为，函数的图像是直线，
所以，油箱里所剩油y（升）是行驶时间x（小时）的一次函数，
设：一次函数的表达式为：y=kx+b，
因为，图像经过点A（0，40），B（8，0），
所以，把x=0，y=40，x=8，y=0，分别代入y=kx+b中，
得：40=k×0+b，0=8k+b
解得：k=-5，b=40，
所以，一次函数的表达式为：y=-5x+40。
当汽车没有行驶时，油箱里的油是40升，此时，行驶的时间是0小时；
当汽车油箱里的油是0升，此时，行驶的时间是8小时，
所以，自变量x的范围是：0≤x≤8.
四、根据平移规律，确定函数的解析式
例4、如图2，将直线向上平移1个单位，得到一个一次函数的图像，那么这个一次函数的解析式是 ．（08年上海市）
分析：仔细观察图像，直线OA经过坐标原点，所以，直线OA表示的一个正比例函数的图像，并且当x=2时 y=4，这样，我们就可以求出，平移的起始函数的解析式，根据函数平移的规律，就可以确定一次函数的解析式。
把正比例函数y=kx（k≠0）的图像向上或者向下平移|b|个单位，就得到一次函数：y=kx+b（k≠0，b≠0）的图像。
具体平移要领：
当b＞0时，把正比例函数y=kx（k≠0）的图像向上平移b个单位，就得到一次函数：y=kx+b（k≠0）的图像。
当b＜0时，把正比例函数y=kx（k≠0）的图像向下平移|b|个单位，就得到一次函数：y=kx+b（k≠0）的图像。
解：
因为，直线OA经过坐标原点，
所以，直线OA表示的一个正比例函数的图像，
设y=kx，
把x=2， y=4代入上式，得：4=2k，
解得：k=2，
所以，正比例函数的解析式为：y=2x，
所以，直线向上平移1个单位，所得解析式为：y=2x+1，
所以，这个一次函数的解析式是y=2x+1。
五、根据直线的对称性，确定函数的解析式
例5、已知直线y=kx+b与直线y= -3x+7关于y轴对称，求k、b的值。
分析：直线y=kx+b与直线y= -3x+7关于y轴对称，所以，对称点的横坐标互为相反数，纵坐标保持不变，这可以是解题的理论依据，当然，也可以从已知直线解析式的图像上，确定出两个点的坐标，分别求出它们关于y轴的对称点的坐标，然后利用待定系数法，计算出k、b的值。
解法1：
设A（x，y）是直线y= -3x+7上一个点，
其关于y轴对称的点的坐标为（-x，y ），
则有：y= -3x+7，y= -kx+b
整理，得：-3x+7= -kx+b，
比较对应项，得：k=3，b=7。
解法2：设A（m，n）是直线y= -3x+7上一个点，
其关于y轴对称的点的坐标为（a，b），
则有：b=n，m=-a，
因为，A（m，n）是直线y= -3x+7上一个点，
所以，点的坐标满足函数的表达式，
即n=-3×m+7，
把n=b，m=-a，代入上式，得：
b=-3×（-a）+7，
整理，得：b=3a+7，即y=3x+7，它实际上与直线y=kx+b是同一条直线，
比较对应项，得：k=3，b=7。
解法3：
因为，y=kx+b，所以，x=，
因为，y= -3x+7，所以，x=，
因为，直线y=kx+b与直线y= -3x+7关于y轴对称，
所以，两直线上点的坐标，都满足纵坐标相同，横坐标坐标互为相反数，
所以， = -=，
比较对应项，得：y-b= y-7，k=3，
所以，k=3，b= 7。
解法4、
因为，直线y= -3x+7，
所以，
当x=1时，y=-3×1+7=4，
即点的坐标（1，4）；
当x=2时，y=-3×2+7=1，
即点的坐标（2，1）；
因此，（1，4）、（2，1）关于y轴对称的坐标分别为（-1，4）、（-2，1），
所以，点（-1，4）、（-2，1）都在直线y=kx+b，
所以，，
留一个练习：
1、已知直线y=kx+b与直线y= -3x+7关于x轴对称，求k、b的值。
2、已知直线y=kx+b与直线y= -3x+7关于原点对称，求k、b的值。
参：
1、k=3，b=-7.
2、k=-3，b=-7.
二次函数与一元二次方程的关系
特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c，
当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），
即ax^2+bx+c=0
此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
1．二次函数y=ax^2;，y=a(x-h)^2;，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：
解析式
y=ax^2;
y=ax^2+K
y=a(x-h)^2;
y=a(x-h)^2+k
y=ax^2+bx+c
顶点坐标
(0，0)
(0，K)
(h，0)
(h，k)
(-b/2a，4ac-b^2/4a)
对 称 轴
x=0
x=0
x=h
x=h
x=-b/2a
当h>0时，y=a(x-h)^2;的图象可由抛物线y=ax^2;向右平行移动h个单位得到，
当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到．
当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2;向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2+k的图象；
当h>0,k<0时，将抛物线y=ax^2;向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2-k的图象；
当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x+h)²+k的图象；
当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象；在向上或向下.向左或向右平移抛物线时，可以简记为“上加下减，左加右减”。
因此，研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2;+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．
2．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2;]/4a)．
3．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而减小；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而增大．若a<0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而增大；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而减小．
4．抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：
(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；
(2)当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0
(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x?-x?| 另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×（-b/2a）－A |（A为其中一点的横坐标）
当△=0．图象与x轴只有一个交点；
当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0．
5．抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x= -b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a．
顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值．
6．用待定系数法求二次函数的解析式
(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：
y=ax^2+bx+c(a≠0)．
(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大（小）值时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0)．
(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0)．
7．二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现．
二次函数抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )
当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 因为若对称轴在左边则对称轴小于0，也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同号
当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是-b/2a>0,所以b/2a要小于0，所以a、b要异号
可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。
事实上，b有其自身的几何意义：抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c）
6.抛物线与x轴交点个数
Δ= b^2;-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ= b^2;-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
_______
Δ= b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x= -b±√b^2－4ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）
当a>0时，函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b²/4a；在{x|x<-b/2a}上是减函数，在{x|x>-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不变
当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax^2+c(a≠0)
7.特殊值的形式
①当x=１时 y=a+b+c
②当x=-1时 y=a-b+c
③当x=2时 y=4a+2b+c
④当x=-2时 y=4a-2b+c
8.定义域：R
值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b^2)/4a，正无穷）；②[t，正无穷）
奇偶性：偶函数
周期性：无
解析式：
①y=ax^2+bx+c[一般式]
⑴a≠0
⑵a＞0，则抛物线开口朝上；a＜0，则抛物线开口朝下；
⑶极值点：（-b/2a，(4ac-b^2)/4a）；
⑷Δ=b^2-4ac,
Δ＞0，图象与x轴交于两点：
（[-b-√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；
Δ＝0，图象与x轴交于一点：
（-b/2a，0）；
Δ＜0，图象与x轴无交点；
②y=a(x-h)^2+k[顶点式]
此时，对应极值点为（h，k），其中h=-b/2a，k=(4ac-b^2)/4a；
③y=a(x-x1)(x-x2)[交点式（双根式）]（a≠0）
对称轴X=(X1-X2)/2 当a>0 且X≧(X1+X2)/2时，Y随X的增大而增大，当a>0且X≦（X1+X2）/2时Y随X的增大而减小
此时，x1、x2即为函数与X轴的两个交点，将X、Y代入即可求出解析式（一般与一元二次方程连用）。
二次函数公式几种表达方式
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
(1)一般式：y＝ax2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0),则称y为x的二次函数。顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)
(2)顶点式：y＝a(x-h)2+k或y=a(x+m)^2+k(a,h,k为常数，a≠0).
(3)交点式（与x轴）：y=a(x-x1)(x-x2)
(4)两根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，a≠0.
说明：
(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y轴上；当k＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点.
(2)当抛物线y＝ax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二次方程ax2+bx+c＝0有实数根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解公式ax2+bx+c＝a(x-x1)(x-x2),二次函数y＝ax2+bx+c可转化为两根式y＝a(x-x1)(x-x2).
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
(1)一般式：y＝ax2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0),则称y为x的二次函数。顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)
(2)顶点式：y＝a(x-h)2+k或y=a(x+m)^2+k(a,h,k为常数，a≠0).
(3)交点式（与x轴）：y=a(x-x1)(x-x2)
(4)两根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，a≠0.
说明：
(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y轴上；当k＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点.
(2)当抛物线y＝ax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二次方程ax2+bx+c＝0有实数根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解公式ax2+bx+c＝a(x-x1)(x-x2),二次函数y＝ax2+bx+c可转化为两根式y＝a(x-x1)(x-x2).
解读确定二次函数的解析式
确定二次函数的解析式，是初中数学学习的一个重要的内容。因此，同学们要认真把这部分的内容学好，掌握起来。要想学好这部分内容，同学们要解决如下四个问题；
一、熟记常见的二次函数关系式
常见的二次函数的关系式有如下六种表达形式，具体为：
二、理解确定二次函数关系式的基本内涵
所谓确定二次函数的关系式，具体来说就是：
这是最基本的理解，同学们要体会准确。
三、掌握确定二次函数关系式的基本条件
确定二次函数的关系式，要具备的基本条件是：
对于表达式是y=ax2（a≠0）的,要确定出待定字母a的值的基本条件是：
知道图像上一个点的坐标。
对于表达式是y=ax2+bx（a≠0）的, 要确定出待定字母a、b的值的基本条件是：
知道图像上两个点的坐标。
对于表达式是y=ax2+c（a≠0）的, 要确定出待定字母a、c的值的基本条件是：
知道图像上两个点的坐标。
对于表达式是y=a(x-h)2（a≠0）的, 要确定出待定字母a、h的值的基本条件是：
知道图像上两个点的坐标。
对于表达式是y=a(x-h)2+k(a≠0）的, 要确定出待定字母a、h、k的值的基本条件是：
知道图像上三个点的坐标。
特殊条件：知道抛物线的顶点和图像上的一个点的坐标
对于表达式是y=ax2+bx+c（a≠0）中, 要确定出待定字母a、b、c的值的基本条件是：
知道图像上三个点的坐标。
这是最基本的理解。
四、确定二次函数关系式的基本题型
4.1二次函数关系式设为：y=ax2（a≠0）
例1、有一座抛物线形拱桥，正常水位时，AB宽为20米，水位上升3米就达到警戒水位线CD，这时水面的宽度为10米。请你在如图1所示的平面直角坐标系中，求出二次函数的解析式。
解：根据图象，知道抛物线的对称轴是y轴，顶点坐标为原点，
所以，不妨设二次函数的解析式：y=ax2（a≠0），
因为，AB=20，所以，FA=FB=10，
因为，CD=10，所以，EC=ED=5
所以，点A的坐标为（-10，），点C的坐标为（-5，），
所以，
= a×（-5）2=25a，
= a×（-10）2=100a，
因为，EF=3，所以， -=3，
所以，25a -100a=3，
解得：a=-，所以，所求函数的解析式：y=- x2。
小结：
当知道抛物线的顶点坐标为原点，且对称轴是y轴时，要求二次函数的解析式，通常的解题思路如下：
①设二次函数的解析式为：y=ax2（a≠0）
②把已知点的坐标代入所设的解析式中，转化成关于a的一元一次方程；
③解方程，求得a值；
④把a的值代入所设的解析式中，得二次函数的解析式。
4.2二次函数关系式设为：y=ax2+bx（a≠0）
例2、（2008年巴中市）王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线，其中（m）是球的飞行高度，（m）是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2m，如图2所示。
（1）请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴．
（2）请求出球飞行的最大水平距离．
（3）若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其解析式．
解：
（1）
所以，抛物线的开口向下，顶点为，对称轴为直线。
（2）令，得：
，
解得：，，
所以，球飞行的最大水平距离是8m．
（3）要让球刚好进洞而飞行最大高度不变，则球飞行的最大水平距离为10m
所以，抛物线的对称轴为，顶点为（5，），
设此时对应的抛物线解析式为：y=ax2+bx（a≠0），
因为，抛物线经过点（10，0），
所以，100a+10b=0，即10a+b=0，
因为，抛物线经过点（5，），
所以，25a+5b=，即5a+b=，
解得：，b=，
所以，二次函数的解析式是：。
小结：当知道抛物线经过原点，且抛物线与x轴相交，要求二次函数的解析式，通常的解题思路如下：
①设二次函数的解析式为：y=ax2+bx（a≠0）
②把点的坐标代入所设的解析式中，转化成关于a、b的二元一次方程组；
③解方程组，求得a、b值；④把a、b的值代入所设的解析式中，得二次函数的解析式。
4.3二次函数关系式设为：y=ax2+c（a≠0）
例3、桂林红桥位于桃花江上，是桂林两江四湖的一道亮丽的风景线，该桥的部分横截面如图3所示，上方可看作是一个经过Ａ、Ｃ、Ｂ三点的抛物线，以桥面的水平线为Ｘ轴，经过抛物线的顶点Ｃ与Ｘ轴垂直的直线为Ｙ轴，建立直角坐标系，已知此桥垂直于桥面的相邻两柱之间距离为２米（图中用线段ＡＤ、ＣＯ、ＢＥ等表示桥柱）ＣＯ＝１米，ＦＧ＝２米
（1）求经过Ａ、Ｂ、Ｃ三点的抛物线的解析式。
（2）求柱子ＡＤ的高度。
解：
因为，抛物线的对称轴是y轴，
所以，设二次函数解析式为：y=ax2+c（a≠0），
因为，二次函数图象过点C（0，1），
所以，c=1，
因为，此桥垂直于桥面的相邻两柱之间距离为２米（图中用线段ＡＤ、ＣＯ、ＢＥ等表示桥柱），且ＦＧ＝２米，
所以，点F的坐标是（-4，2），
所以，16a+1=2，
解得：a=，
所以，二次函数的关系式是：y=x2+1；
（2），因为，OD=8米，
设点A的坐标是（-8，y），
所以，y=×（-8）2+1=5，
因此，柱子ＡＤ的高为5米。
小结：
当知道抛物线的顶点在y轴上，和抛物线上的一个点A（x1，y1）时，
要求二次函数的解析式，通常的解题思路如下：
①设二次函数的解析式为：y=ax2+c（a≠0）
②把点的坐标代入所设的解析式中，转化成关于a，c的二元一次方程组；
③解方程组，求得a、c值；
④把a、c的值代入所设的解析式中，得二次函数的解析式。
4.4二次函数关系式设为：y=a(x-h)2（a≠0）
例4、在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A（1，0），且过点B（3，4）．
求该二次函数的解析式。
解：设二次函数解析式为：y=a（x-1）2，
因为，二次函数图象过点B（3，4），
所以，4a=4，
解得：a=1， 所以，二次函数解析式为：y=（x-1）2，即y=x2-2x+1。
小结：
当知道抛物线的顶点坐标：M（h，0）和抛物线上的一个点A（x1，y1）时，
要求二次函数的解析式，通常的解题思路如下：
①设二次函数的解析式为：y=a（x-h）2a≠0）
②把点A的坐标代入所设的解析式中，转化成关于a的一元一次方程；
③解方程，求得a值；
④把a的值代入所设的解析式中，得二次函数的解析式。
4.5二次函数关系式设为：y=a(x-h)2+k(a≠0）
例5、在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A（1，-4），且过点B（3，0）．
求该二次函数的解析式。
解：设二次函数解析式为：y=a（x-1）2-4，
因为，二次函数图象过点B（3，0），
所以，4a-4=0，
解得：a=1， 所以，二次函数解析式为：y=（x-1）2-4，即y=x2-2x-3。
小结：
当知道抛物线的顶点坐标：M（h，k）和抛物线上的一个点A（x1，y1）时，
要求二次函数的解析式，通常的解题思路如下：
①设二次函数的解析式为：y=a（x-h）2+k（a≠0）
②把点C的坐标代入所设的解析式中，转化成关于a的一元一次方程；
③解方程，求得a值；
④把a的值代入所设的解析式中，得二次函数的解析式。
4.6二次函数关系式设为：y=ax2+bx+c（a≠0）
例6、已知抛物线经过点A（1，2）、B（2，2）、C（3，4），求抛物线的解析式。
解：设二次函数的一般形式：y=ax2+bx+c（a≠0），
把点A（1，2）、B（2，2）、C（3，4）分别代入：y=ax2+bx+c中，
得：
a+b+c=2，4a+2b+c=2，9a+3b+c=4，
解得：a=1，b=-3，c=4，
所以，二次函数的解析式为：y=x2-3x+4。
小结：
当知道抛物线上一般的三个点的坐标：A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）时，
要求二次函数的解析式，通常的解题思路如下：
①设二次函数的一般形式：y=ax2+bx+c（a≠0）
②把点A、B、C的坐标分别代入所设的解析式中，转化成关于a、b、c的三元一次方程组；
③解方程组，求得a、b、c的值；
④把a、b、c的值分别代入所设的解析式中，得二次函数的解析式。
分别代入所设的解析式中，得二次函数的解析式。下载本文
