文科数学
第Ⅰ卷（选择题）
本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：
如果事件互斥，那么 球的表面积公式
如果事件相互，那么 其中表示球的半径
球的体积公式
如果事件在一次试验中发生的概率是，那么
次重复试验中事件A恰好发生次的概率 其中表示球的半径
一．选择题
（1）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，M ={1，3，5，7}，N ={5，6，7}，则Cu( MN)=
(A) {5，7} （B） {2，4} （C）{2.4.8} （D）{1，3，5，6，7}
（2）函数y=(x0)的反函数是
（A）（x0） （B）（x0）
（B）（x0） （D）（x0）
（3） 函数y=的图像
（A） 关于原点对称 （B）关于主线对称
（C） 关于轴对称 （D）关于直线对称
（4）已知△ABC中，，则
(A) (B) (C) (D)
（5） 已知正四棱柱中，=，为重点，则异面直线
与所形成角的余弦值为
（A） (B) (C) (D)
（6） 已知向量a = (2,1)， a·b = 10，︱a + b ︱= ，则︱b ︱=
（A） （B） （C）5 （D）25
（7）设则
（A） （B） （C） （D）
（8）双曲线的渐近线与圆相切，则r=
（A） （B）2 （C）3 （D）6
（9）若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值为
(A) (B) (C) (D)
（10）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有
（A）6种 （B）12种 （C）24种 （D）30种
（11）已知直线与抛物线C:相交A、B两点，F为C的焦点。若,则k=
(A) (B) (C) (D)
（12）纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“△”的面的方位是
（A）南 （B）北 （C）西 （D）下
第Ⅱ卷（非选择题）
本卷共10小题，共90分。
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在答题卡上相应位置的横线上.
（13）设等比数列{}的前n项和为。若，则= ×
（14）的展开式中的系数为 ×
（15）已知圆O：和点A（1，2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于 ×
（16）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C。若圆C的面积等于，则球O的表面积等于 ×
三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。解答过程写在答题卡的相应位置。
（17）（本小题满分10分）
已知等差数列{}中，求{}前n项和.
（18）（本小题满分12分）
设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，,，求B.
（19）（本小题满分12分）
如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC,D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1
（Ⅰ）证明：AB=AC
（Ⅱ）设二面角A-BD-C为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小
（20）（本小题满分12分）
某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有10名工人，其中有6名女工人。现采用分层抽样（层内采用不放回简单随即抽样）从甲、乙两组抽取4名工人进行技术考核。
（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；
（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；
（Ⅲ）求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率。
（21）（本小题满分12分）
设函数 ，其中常数a>1
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围。
（22）（本小题满分12分）
已知椭圆C: 的离心率为 ，过右焦点F的直线l与C相交于A、B
两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为
（Ⅰ）求a,b的值；
（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？
若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由。
2009年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学试题参和评分参考
一．选择题
（1）C （2）B （3）A （4）D （5）C （6）C
（7）B （8）A （9）D （10）C （11）D （12）B
二．填空题
（13）3 （14）6 （15）（16）8π
三．解答题
17． 解：
设的公差为，则
即
解得
因此
（18）解：
由 cos（AC）+cosB=及B=π（A+C）得
cos（AC）cos（A+C）=，
cosAcosC+sinAsinC（cosAcosCsinAsinC）=,
sinAsinC=.
又由=ac及正弦定理得
故 ，
或 （舍去），
于是 B= 或 B=.
又由 知或
所以 B=。
（19）解法一：（Ⅰ）取BC中点F，连接EF，则EF，从而EFDA。
连接AF，则ADEF为平行四边形，从而AF//DE。又DE⊥平面，故AF⊥平面，从而AF⊥BC，即AF为BC的垂直平分线，所以AB=AC。
（Ⅱ）作AG⊥BD，垂足为G，连接CG。由三垂线定理知CG⊥BD，故∠AGC为二面角A-BD-C的平面角。由题设知，∠AGC=600..
设AC=2，则AG=。又AB=2，BC=，故AF=。
由得2AD=，解得AD=。
故AD=AF。又AD⊥AF，所以四边形ADEF为正方形。
因为BC⊥AF，BC⊥AD，AF∩AD=A，故BC⊥平面DEF，因此平面BCD⊥平面DEF。
连接AE、DF，设AE∩DF=H，则EH⊥DF，EH⊥平面BCD。
连接CH，则∠ECH为与平面BCD所成的角。
因ADEF为正方形，AD=，故EH=1，又EC==2，
所以∠ECH=300，即与平面BCD所成的角为300.
解法二：
（Ⅰ）以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A—xyz。
设B（1，0，0），C（0，b，0），D（0，0，c），则（1，0，2c）,E（，，c）.
于是=（，，0），=（-1，b,0）.由DE⊥平面知DE⊥BC， =0，求得b=1，所以 AB=AC。
（Ⅱ）设平面BCD的法向量则又=（-1，1，
0），=（-1，0，c）,故
令x=1, 则y=1, z=,=(1,1, ).
又平面的法向量=（0，1，0）
由二面角为60°知，=60°，
故 °，求得
于是 ，
，
°
所以与平面所成的角为30°
（20）解：
（I）由于甲、乙两组各有10名工人，根据分层抽样原理，要从甲、乙两组抽取4名工人进行技术考核，则从每组各抽取2名工人。
（II）记表示事件：从甲组抽取的工人中恰有1名女工人，则
（III）表示事件：从甲组抽取的2名工人中恰有名男工人，
表示事件：从乙组抽取的2名工人中恰有名男工人，
表示事件：抽取的4名工人中恰有2名男工人。
与， ，且
故
（21）解：
（I）
由知，当时，，故在区间是增函数；
当时，，故在区间是减函数；
当时，，故在区间是增函数。
综上，当时，在区间和是增函数，在区间是减函数。
（II）由（I）知，当时，在或处取得最小值。
由假设知
即 解得 1 （22）解： （Ⅰ）设 当的斜率为1时，其方程为到的距离为 故 ， 由 得 ，= （Ⅱ）C上存在点，使得当绕转到某一位置时，有成立。 由 （Ⅰ）知C的方程为+=6. 设 (ⅰ) C 成立的充要条件是， 且 整理得 故 ① 将 于是 , =, 代入①解得，，此时 于是=， 即 因此， 当时，， ； 当时，， 。 （ⅱ）当垂直于轴时，由知，C上不存在点P使成立。 综上，C上存在点使成立，此时的方程为
