2010年2月
Feb 12010 文章编号:1672-058X (2010)01-0005-06
基于模糊数的证券投资组合最优化模型
3
金检华1
,李永明2
,李春泉
1
(1.西南石油大学理学院,四川南充637001;2.陕西师范大学计算机科学学院,西安637001)
收稿日期:2009-08-30;修回日期:2009-09-20. 3基金项目:国家自然科学基金资助项目(10571112).
作者简介:金检华(1982-),女,湖南邵东人,助教,主要从事模糊推理、智能计算研究.
摘 要:利用模糊数处理不确定性信息,建立了以总风险最小为目标函数的证券投资组合优化模型.在给定的截集下,借助模糊数大小的概率比较,将模糊优化模型转化为不等式约束下的线性规划模型.利用Matlab 编程解得了其最优投资方案,并阐述了该方法的可行性.
关键词:投资组合模型;模糊数;模糊期望收益率;证券市场 中图分类号:F830.59
文献标志码:A
1952年马科维兹在《财物学刊》发表了著名的“资产组合的选择”一文[1]
,最先采用均值-方差分析法
研究资产组合的选择问题,确定了资产组合的有效边界.但这种算法十分繁琐,而且用方差衡量风险存在一定的问题.于是许多学者开始致力于简化模型的研究.如Cai 等[2]
以投资组合各项资产收益中最大期望绝
对偏差作为风险函数的投资组合模型;荣喜民等
[3]
利用均值-VaR 方法,提出组合收益确定和交易费用存
在时使组合风险最小的最优投资组合模型;陈静等[4]
在证券收益率服从正态分布的前提下,建立在机会约
束条件下交易费用在内的均值-标准差模型,并讨论了模型的有效边界和最优解的位置.B lack [5]
等指出期望收益率微小的变化会导致资产组合选择发生大的变化,从而导致推导的结果不可靠.
近年来,模糊集理论已经被广泛地应用于资产组合选择问题
[6-9]
.其原因之一是影响资产组合选择的
某些指标具有模糊性的特点,且三角模的某些算子具有较强的鲁棒性[10]
,即模糊输入的微小变化并不会导
致输出结果有很大的变化,例如期望收益率和风险等指标.其中,Tanaka 等[11]
使用概率分配处理收益率不
确定信息;刘艳春等
[12]
用模糊数描述投资者对投资收益、投资风险的目标水平,提出以风险度量函数最坏条
件下的风险值,为风险测量指标的模糊投资组合选择模型.
1 预备知识
设R 表示全体实数,F (R )表示实数R 上的模糊集合全体.
定义1[10]
若A ∈F (R )满足下列条件:(i )A 是正规的,即存在x 0∈R,使A (x 0)=1;(ii )任意α∈(0,
1]的α-截集A α是闭区间,其中A α={A (x )≥
α},则A 称为模糊数.对于三角模糊数A ～
=[a,a 0, a ],其中a ≤a 0≤ a ,其隶属函数为:
μ
A ～
(x )=
0,x a x -a a 0-a ,a ≤x ≤a 0 a -x a -a 0 ,a 0≤x ≤ a 令三角模糊数 B =[b,b 0,b ],则有如下性质:A ～ + B =[a +b,a 0+b 0, a + b ],A ～ - B =[a -b,a 0-b 0, a - b ], kA ～ =[k a,ka 0,k a ],k ≥0.对于每一个λ(λ∈[0,1])水平,有(A ～ + B )λ=A ～ λ+ B λ.比较两个三角模糊数的大 小,可以使用在解决模糊问题 [13,14] 中经常用到的概率型准则.即:假设三角模糊数A ～ ≥ B ,则概率型准则 (DPC ): Po ss (A ～ ≥ B )= 1,a 0≥b 0 a - b a -a 0+b 0-b ,b 0≥a 0, a ≥b 0,b ≥ a 2 模糊投资组合优化模型 假设投资者仅对n 种风险资产进行投资,r tj 表示第j 种风险资产在时刻t 处的历史收益率,t =1,2,…,T; j =1,2,…,n .人们把历史收益率的均值r tj ,即r j = 1 T 6 T t =1 r tj ,作为第j 种风险资产的期望收益率.然而,在金融 市场,由于存在许多不确定因素,且后期的历史收益率较前期的历史收益率更能反映风险资产大小.当投资者选定的时期T 足够大时,这种缺陷更明显.因此,对于这种信息不全,不确定因素诸多的统计量,采用模糊数表示它. 假设市场上有T 种风险资产,其收益率向量记为 r =( r 1, r 2,…, r n ), r j ∈F (R ),j =1,2,…,n ・ r j 为三角模糊数, r j =[r j ,r 0j , r j ],投资者投资此n 种风险资产的资产组合记为x =(x 1,x 2,…x n )(x i ≥0,6n j =1x j ≤1).则 该资产组合的收益率为 r : r = 6 n j =1 r j x j =[6n j =1 r j x j , 6 n j =1 r 0j x j , 6 n j =1 r j x j ]=[r ,r 0, r ] 资产组合x 带来的风险表示为V ～(x ):V ～ (x )= 1 T 6T t =1 ( 6 n j =1 (r tj - r j )2 x j )= 1 T 6T t =16 n j =1 (r tj - r j )2 x j =[V,V 0, V ],其中V =m in 1T 6T t =1 6 n j =1 (r tj -r j )2 x j , 1 T 6T t =1 6 n j =1 (r tj - r j )2 x j , V =m ax 1T 6T t =1 6 n j =1 (r tj -r j )2 x j , 1 T 6T t =1 6 n j =1 (r tj - r j )2 x j ,V 0= 1 T 6T t =1 6 n j =1 (r tj -r 0j )2 x j . 2.1 投资组合优化模型的建立 由于期望收益率是一个模糊数,假设总的期望收益率不低于某一给定的模糊数 β,建立使总风险最小的投资组合优化模型如下: (P 1)目标函数为: m in V ～ (1)约束条件为: r ≥ β6 n j =1 x j =1;x j ≥0,j =1,2,…n (2) 其中, β=[β,β0, β ],β< β.6重庆工商大学学报(自然科学版)第27卷 2.2 投资组合优化模型的求解 首先对式(1)进行转化.若给定某一λ-水平,根据λ-截集的定义,有μV ～ (x )≥ λ.则V ～λ=[V ～ - λ,V ～ + λ],其中: V ～ - λ=λV 0+(1-λ)V (3)V ～ + λ=λV 0+(1-λ) V (4) 在λ-水平给定的情形下,欲使资产组合的总风险最小,则目标函数(1)可转化为: m in V ～ + λ=λ 1 T 6T t =1 6 n j =1 (r tj -r 0j )2 x j +(1-λ)m ax { 1 T 6T t =1 6 n j =1 (r tj -r j )2 x j , 1 T 6T t =1 6 n j =1 (r tj - r j )2 x j } 对式(2)中的 r ≥ β,根据概率型准则(DPC ),即: Po ss ( r ≥ β)= 1,α0≥β0 r -β r -r 0+β0-β,β0≥r 0, r ≥β0,β≥ r (5) 对于上述的λ-水平,则要求Poss ( r ≥ β)≥λ.它等价于: (1-λ) r +λr 0≥(1-λ)β+λβ0 r ≥β (6) 因此,根据准则DPC ,模型(P 1)可转化为模型(P 2): m in V ～ + λ=λ 1 T 6T t =1 6 n j =1 (r tj -r 0j )2 x j +(1-λ)m ax 1T 6T t =1 6 n j =1 (r tj -r j )2 x j , 1 T 6T t =1 6 n j =1 (r tj - r j )2 x j s .t . (1-λ) r +λr 0≥(1-λ)β+λβ0, r ≥β6 n j =1 x j =1,x j ≥0,j =1,2,…,n 记 r + λ=(1-λ) r +λr 0=6n j =1 (λr 0j +(1-λ) r j )x j ,显然模型(P 2)可等价转化成如下形式:(LP 2)m in {((V ～ (x ))+ λ) 3 ,((V ～ (x ))+ λ) 33 } 其中,(V ～ + λ)3 为模型(LP 2)(a )的最小值;(V ～ + λ) 33 为模型(LP 2)(b )的最小值. (LP 2)(a )m in V ～ + λ=λ 1 T 6T t =1 6 n j =1 (r tj -r 0j )2 x j +(1-λ) 1 T 6T t =1 6 n j =1 (r tj -r j )2 x j s .t . r + λ≥(1-λ)β+λβ0, r ≥β6 n j =1 x j =1,x j ≥0,j =1,2,…,n 6n j =1 (6 n t =1((r tj -r j ) 2 -(r tj - r j )2 ))x j ≥0 (LP 2)(b )m in V ～ + λ=λ 1 T 6T t =1 6 n j =1 (r tj -r 0j )2 x j +(1-λ) 1 T 6T t =1 6 n j =1 (r tj - r j )2 x j s .t . r + λ≥(1-λ)β+λβ0, r ≥β6 n j =1 x j =1,x j ≥0,j =1,2,…,n 6n j =1 (6 n t =1 ((r tj -r j ) 2 -(r tj - r j )2 ))x j ≤0 7 第1期 金检华,等:基于模糊数的证券投资组合最优化模型 定理1 (x3 1 ,x32,…,x3n,x3n+1)为模型(P2)的解当且仅当它是模型(LP2)的解. 又因为(LP 2)(a)和(LP 2 )(b)都是线性规划问题,它们可通过线性规划的算法有效地得到解决.因此借 助求解(LP 2)即可求解出(P 1 ). 3 实证分析 为了说明优化模型P 2 的有效性,在此引入一些数据(表1)进行实证分析.考察阶段由1937年到1954年,数据来源于文献[15],表示不同证券的年收益率. 表1 不同证券年收益率(1937-1954) 年份 1 Am.T 2 A.T.t 3 U.S.S 4 G.M. 5 A.T.S 6 C.C 7 Bdn. 8 S.S 1937 1938 1939 1940 1941 1942 1943 1944 1945 1946 1947 1948 1949 1950 1951 1952 1953 1954-0.305 0.513 0.055 -0.126 -0.28 -0.003 0.428 0.192 0.446 -0.088 -0.127 -0.015 0.305 -0.096 0.016 0.128 -0.01 0.154 -0.173 0.098 0.2 0.03 -0.183 0.067 0.3 0.103 0.216 -0.046 -0.071 0.0560 0.038 0.0 0.09 0.083 0.035 0.176 -0.318 0.285 -0.047 0.104 -0.171 -0.039 0.149 0.26 0.419 -0.078 0.169 -0.035 0.133 0.732 0.021 0.131 0.006 0.098 -0.477 0.714 0.165 -0.043 -0.277 0.4760 0.225 0.29 0.216 -0.272 0.144 0.107 0.321 0.305 0.195 0.39 -0.072 0.715 -0.457 0.107 -0.424 -0.1 0.637 0.865 0.313 0.637 0.373 -0.037 0.026 0.153 0.067 0.579 0.04 0.434 -0.027 0.469 -0.065 0.238 -0.087 -0.077 -0.187 0.156 0.351 0.233 0.349 -0.209 0.355 -0.231 0.246 -0.248 -0.0 0.079 0.067 0.077 -0.319 0.076 0.381 -0.051 0.087 0.262 0.341 0.227 0.352 0.153 -0.099 0.038 0.273 0.091 0.054 0.109 0.21 0.112 -0.435 0.238 -0.295 -0.036 -0.24 0.126 0.639 0.282 0.578 0.2 0.184 0.114 -0.222 0.327 0.333 0.062 -0.048 0.185 取r 0j 为第j种风险资产在时期T内历史收益率的均值.即r 0j = 1 T6 T t=1 r tj,r tj表示第j种风险资产在时刻t 年的实际收益率.令r j =(1-ε)r0j, r j=(1+ε)r0j,ε=0.1.给定λ=0.5与模糊数 β.利用Matlab解模型 (LP 2 )得最优投资组合方案.其部分结果如下: 表2 模型(LP 2 )最优投资组合方案 β风险最优资产组合方案 r+ λ [0.09,0.10,0.11]0.0218(0.0000,0.5000,0.000,0.000,0.000,0.000,0.5000,0.0000)0.0993 [0.13,0.135,0.14]0.0447(0.0000,0.02175,0.000,0.0285,0.000,0.000,0.5000,0.0000)0.1325 [0.14,0.16,0.18]0.0567(0.0000,0.0686,0.000,0.4314,0.000,0.000,0.5000,0.0000)0.1500 [0.16,0.17,0.18]0.0710(0.0000,0.000,0.000,0.2318,0.2682,0.000,0.5000,0.000)0.1650 [0.17,0.175,0.18]0.0806(0.0000,0.000,0.000,0.0311,0.5000,0.000,0.46,0.000)0.1725 [0.18,0.19,0.20]0.0979(0.0000,0.000,0.000,0.2908,0.5000,0.000,0.2092,0.000)0.1850 8重庆工商大学学报(自然科学版)第27卷 图1 风险收益图 由表2可看到,给定投资者要求的收益率下限 β时,由此模型(LP 2)可得总风险最小时的最优投资组合方案.发现期望收益率和风险用模糊数表示时,投资组合更分散,但相应期望收益率并没有减少.由图1还可 以发现,当 β适当增大时,风险和收益也相应增大.因此,投资者可按照自己的意愿选择收益率下限 β和λ-水平值,根据该模型求解投资组合选择问题,从而确定他的投资组合优化方案及承担的总风险.参考文献: [1]MARK OW I TZ H.Portf oli o selecti on[J ].Journal of Finance,1952(7):77291 [2]C A I X Q,TE O K L,Y ANX Q,et al .Portfoli o op ti m izati on under a m ini m ax rule[J ].M anage ment Science,2000,46:9572972[3]荣喜民,武丹丹,张奎廷.基于均值2VaR 的投资组合最优化[J ].数理统计与管理,2005,25(5):69277 [4]陈静,李磊,霓明放.含交易费用和机会约束的投资组合模型[J ].广州大学学报:自然科学版,2008,7(6):30233[5]BLACK F,SCHOLESM.The p ricing of op ti ons cor porate liabilities[J ].Journal of Political Economy,1973,81(3):6372659[6]C ARLSS ON C,F ULLER R.On possibilistic mean value and varience of fuzzy nu mbers[J ].Fuzzy Sets and Syste m s,2001,122 (2):3152326 [7]陈国华,陈收,房勇,等.基于模糊收益率的组合投资模型[J ].经济数学,2006.23(1):19225[8]荣喜民,苏丽.有交易成本的模糊最优化投资[J ].数学的实践与认识,2003,33(11):27232 [9]WANG X G,Q I U W H,DONG J C .Portf oli o selecti on model with fuzzy coefficients[J ].Fuzzy Syste m s and Mathe matics,2006, 20(2):1092118 [10]李永明.模糊系统分析[M ].北京:科学出版社,2005 [11]T ANAK A H,G UO P,T URKSE N IB.Portf oli o selecti on based on fuzzy p r obabilities and possibilitity distributi ons[J ].Fuzzy Sets and Syste m s,2000,111:3872397 [12]刘艳春,高闯.风险资产组合的均值2WC VaR 模糊投资组合优化模型[J ].中国管理科学,2006,14(6):16221 [13]I SK ANDER M G .U sing different dom inance criteria in st ochastic fuzzy linear multi objective p r ogra mm ing:a case of fuzzy weigh 2 ted objective functi on[J ].Mathe matical and ComputerModelling,2003,37:1672176 [14]ZHONG O,Y UE Z,G UANG Y W.On fuzzy random linear p r ogra mm ing[J ].Fuzzy Sets and Syste m s,1994,65:31249[15]房勇,汪寿阳.模糊投资组合优化:理论与方法[M ].北京:高等教育出版社,2005 9 第1期 金检华,等:基于模糊数的证券投资组合最优化模型 (1.School of Sciences,South west Petr oleu m University,Sichuan Nanchong637001; 2.School of Computer Science,Shaanxi Nor mal University,Shaanxi Xian710062,China) Abstract:This paper uses fuzzy number t o deal with uncertain inf or mati on and establishes securities invest2 ment portf oli o op ti m izati on model by taking t otal risk as m ini m u m objective functi on.Under given cut2set,by using p r obability comparis on of fuzzy nu mber size,the fuzzy op ti m ized model is transfor med t o the linear p r ogra mm ing model under the inequality restraints.The op ti m al invest m ent p lan is obtained byMatlab p r ogra mm ing and the fea2 sibility of this method is discussed. Key words:invest m ent portfoli o selecti on model;fuzzy nu mber;fuzzy expected rate of return;securities mar2 ket 责任编辑:李翠薇 (上接第4页) [7]BOCC ALETTI S,ARECCH I F T.ADAPTI V E2C ONTROL OF CHAOS[J].Eur ophysics Letters,1995,31:1272132 [8]CHE N X.Adap tive sliding mode contr ol for discrete2ti m e multi2input multi2out put system s[J].Aut omatica,2006,42:4272435 [9]PERRUQUETTIW,BARBOT J P.Sliding mode contr ol in engineering[M].Marcel Dekker,Ne w York,2002 [10]刘金琨.滑模变结构控制MAT LAB仿真[M].北京:清华大学出版社,2005 [11]高为炳.变结构控制的理论及设计方法[M].北京:科学出版社,1996 [12]张莉,俞建宁,李阳,等.含有平方项的新混沌系统的研究及控制[J].兰州交通大学学报,2007,26:1542157 Sliding mode variable structure contr ol f or a ne w chaotic syste m K ONG Zhao2yi,SHU Yong2lu,ZHANG Qi n g (College of Mathe matics and physics,Chongqing University,Chongqing400044,China) Abstract:The contr ol issue of a ne w chaotic syste m is studied,and a sliding mode variable structure contr ol sche me is designed t o contr ol the syste m t o any of its equilibriu m points,This contr ol sche me is r obust f or outer perturbati on,and nu merical si m ulati on shows that its contr olling effect is better. Key words:chaos;chaotic contr ol;variable structure contr ol 责任编辑:李翠薇下载本文
