例题示范

例1：已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=60°，AB=BC，AD=CD，点E在边BC上，点F在边CD上，且∠EAF=60°．

求证：△AEF是等边三角形．

【思路分析】

①读题标注：

②梳理思路：

要证△AEF是等边三角形，已知∠EAF=60°，只需证△AEF是等腰三角形即可，考虑证AE=AF，可以把这两条线段放在两个三角形中证全等．

观察图形，连接AC，可以把线段AE和AF分别放在△ABE和

△ACF中．结合题中条件∠B=∠D=60°，AB=BC，AD=CD，可知△ABC和△ACD均为等边三角形，所以∠B=∠ACF=60°，

∠BAC=∠EAF=60°，因此∠BAE=∠CAF，进而得证△ABE≌△ACF，证明成立．

【过程书写】

证明：如图，连接AC．

∵∠B=∠D=60°，AB=BC，AD=CD

∴△ABC和△DAC是等边三角形

∴AB=AC，∠BAC=60°，∠ACF=60°

∴∠1+∠3=60°，∠B=∠ACF

∵∠EAF=60°

∴∠2+∠3=60°

∴∠1=∠2

∴△ABE≌△ACF（ASA）

∴AE=AF

∴△AEF是等边三角形

巩固练习

1.如图，以正方形ABCD的边AB为一边向外作等边三角形ABE，连接DE，则∠BED的度数为________．

2.如图，在△ABC的外部，分别以AB，AC为直角边，点A为直角顶点，作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE，CD与BE交于点P，则∠BPC的度数为________．

3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，DE是线段AB的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E，若DE=2，则AC的长是________．

4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D在BC上，E为AB的中点，AD，CE相交于F，且AD=DB．若∠B=20°，则∠DFE的度数为________．

5.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=15°，过C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D．求证：AB=2CD．

6.已知：如图，在△ABC中，∠BAC >90°，BD，CE分别为AC，AB边上的高，F为BC的中点，连接DE，DF，EF．

求证：∠FED=∠FDE．

7.已知：如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，E为AC的中点，BE交CD于点G，EF⊥BE交AB于点F．求证：EF=EG．

思考小结

1.在做几何题目的时候，看到“直角+30°”，考虑30°角所对的直角边是___________________；看到“直角+中点”，考虑直角三角形_____________________________；看到“等腰+一线”，考虑等腰三角形___________．

2.根据上面的思考方式研究等腰直角三角形的性质：

如图，在等腰直角三角形ABC中，CD⊥AB于点D，如果从等腰的角度出发，看到“等腰+高线”，考虑等腰三角形_________，所以得到AD=______；如果从直角的角度出发，看到“直角+中点”，考虑_____________________________，可以得到CD=______．

综上可得，对于图中的等腰直角三角形ABC我们可以得到：CD=______=_______．

【参】

1.45°

2.90°

3.6

4.60°

5.证明：如图

∵AB=AC

∴∠B=∠ACB

∵∠B=15°

∴∠ACB=15°

∵∠DAC是△ABC的一个外角，

∴∠DAC=∠B+∠ACB

        =15°+15°

        =30°

∵CD⊥AB

∴∠D=90°

在Rt△ADC中，∠D=90°，∠DAC=30°

∴CD=AC

∴CD=AB

即AB=2CD

6.证明：如图

∵BD，CE分别为AC，AB边上的高

∴∠BDC=∠CEB=90°

∵F是BC的中点

∴DF=BC，EF=BC

∴DF=EF

∴∠FED=∠FDE

7.证明：如图，连接DE．

∵AC=BC，∠ACB=90°

∴∠A=45°

∵CD⊥AB

∴∠ADC=90°，AD=AB

∴CD=AB

∴AD=CD

∵E为AC中点

∴DE=AC=AE，DE⊥AC，∠1=45°

∴∠AED=90°，∠A=∠1

∴∠2+∠DEF=90°

∵EF⊥BE

∴∠3+∠DEF=90°

∴∠2=∠3

在△AEF和△DEG中

∴△AEF≌△DEG（ASA）

∴EG=EF

思考小结：

1. 斜边的一半，斜边上的中线等于斜边的一半，三线合一

2. 三线合一，BD，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，

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