一、列方程解应用题的一般步骤

（1）审——审题：认真审题，弄清题意，找出能够表示本题含义的相等关系．

（2）设——设出未知数：根据提问，巧设未知数．

（3）列——根据题意列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程．

（4）解——解方程：解所列的方程，求出未知数的值．

（5）答——检验，作答：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案（注意带上单位）．

二、常见题型归类及解法分析

一元一次方程应用题归类汇集：行程问题，工程问题，和差倍分问题，等积变形问题（增长率问题），商品利润问题，储蓄问题，调配问题，分配问题，配套问题，积分问题，方案选择问题，数字问题，古典数学，浓度问题等。

（一）和、差、倍、分问题

这类问题主要应搞清各量之间的关系，注意关键词语。仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少……”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程。

1.倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……”来体现。

增长率问题基本等量关系：现在量＝原有量＋增长量     增长量＝原有量×增长率 

2.多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现。

【例1】某单位今年为灾区捐款2万5千元，比去年的2倍还多1000元，去年该单位为灾区捐款多少元？

【例2】旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的25%，第二次旅程中用去剩余汽油的40%，这样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少1公斤，求油箱里原有汽油多少公斤？

（二）等积变形问题

等积变形是以形状改变而体积不变为前提。常用等量关系为：原料体积=成品体积

常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变：

①长方体的体积           V＝长×宽×高＝abc 

②正方体的体积           V＝

③圆柱体的体积公式       V=底面积×高＝S·h＝

【例3】现有直径为0.8米的圆柱形钢坯30米，可足够锻造直径为0.4米，长为3米的圆柱形机轴多少根？

（三）数字问题

1.要搞清楚数的表示方法：一个三位数，一般可设百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c（其中a、b、c均为整数，且1≤a≤9， 0≤b≤9， 0≤c≤9），则这个三位数表示为：100a+10b+c．

然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程.

2.数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2n表示，连续的偶数用2n+2或2n-2表示；奇数用2n+1或2n-1表示。

【例4】有一个三位数，个位数字为百位数字的2倍，十位数字比百位数字大1，若将此数个位与百位顺序对调（个位变百位）所得的新数比原数的2倍少49，求原数。

【例5】一个三位数，三个数位上的和是17，百位上的数比十位上的数大7，个位上的数是十位上的数的3倍。求这个数。

（四）行程问题——画图分析法

利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系（可把未知数看做已知量），填入有关的代数式是获得方程的基础.

1.行程问题中的三个基本量及其关系：

路程＝速度×时间   时间＝路程÷速度   速度＝路程÷时间

2.行程问题基本类型

（1）相遇问题：快行距＋慢行距＝原距

（2）追及问题：快行距－慢行距＝原距

注意：解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，一般情况下问题就能迎刃而解。并且还常常借助画草图来分析，理解行程问题。

（3）航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度

               逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度

水流速度=（顺水速度-逆水速度）÷2

注意：抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静水速）不变的特点考虑相等关系。

【例6】甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。 

（1）慢车先开出1小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇?

（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？ 

（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？ 

（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？ 

（5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？ 

此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。故可结合图形分析。

（1）【分析】相遇问题，画图表示为：

等量关系是：慢车走的路程+快车走的路程=480公里。

解：设快车开出x小时后两车相遇．由题意得140x+90(x+1)=480．

　       解方程得

答：快车开出小时两车相遇。

（2）【分析】相背而行，画图表示为：

等量关系是：两车所走的路程和+480公里=600公里。

解：设x小时后两车相距600公里．由题意得 (140+90)x+480=600．

解方程得x= 

　　答：小时后两车相距600公里。

（3）【分析】等量关系为：快车所走路程－慢车所走路程+480公里=600公里。 

解：设x小时后两车相距600公里．由题意得 (140－90)x+480=600．

解方程得x=2.4 

答：2.4小时后两车相距600公里。 

（4）【分析】追及问题，画图表示为：

等量关系为：快车的路程=慢车走的路程+480公里。

解：设x小时后快车追上慢车。由题意得，140x=90x+480

解方程得x=9.6

答：9.6小时后快车追上慢车。

（5）【分析】追及问题，等量关系为：快车的路程=慢车走的路程+480公里。

解：设快车开出x小时后追上慢车．由题意得140x=90(x+1)+480．

解方程得x =11.4

答：快车开出11.4小时后追上慢车。

【例7】一艘船在两个码头之间航行，水流速度是3千米每小时，顺水航行需要2小时，逆水航行需要3小时，求两码头的之间的距离？

（五）工程问题

1.工程问题常用等量关系：先做的+后做的=完成量．

工程问题中的三个量及其关系为：工作总量＝工作效率×工作时间

2.经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1。即完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1．

【例8】一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？

【例9】一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管，单独开甲管6小时可注满水池；单独开乙管8小时可注满水池，单独开丙管9小时可将满池水排空，若先将甲、乙管同时开放2小时，然后打开丙管，问打开丙管后几小时可注满水池？

（六）商品利润问题（利润赢亏问题）

1.销售问题中常出现的量有：进价(或成本)、售价、标价（或定价）、利润等。

2.利润问题常用等量关系：

商品利润＝商品售价－商品进价＝商品标价×折扣率－商品进价

商品利润率＝＝

3.商品销售额＝商品销售价×商品销售量

商品的销售利润＝（销售价－成本价）× 销售量

4.商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售．

【例10】 一家商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的进价是多少？

（七）储蓄问题

1.顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率。

2.储蓄问题中的量及其关系为：

利息＝本金×利率×期数        本息和＝本金+利息

            利息税=利息×税率

【例11】某同学把250元钱存入银行，整存整取，存期为半年。半年后共得本息和252.7元，求银行半年期的年利率是多少？（不计利息税）

（八）配套问题

这类问题的关键是找对配套的两类物体的数量关系。

【例12】某车间有28名工人生产螺栓和螺母，每人每小时平均能生产螺栓12个或螺母18个，应如何分配生产螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套（一个螺栓配两个螺母）？

【例13】机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？

（九）劳力调配问题

这类问题要搞清人数的变化，常见题型有：

①既有调入又有调出；

②只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；

③只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变。

【例14】某厂一车间有人，二车间有56人。现因工作需要，要求第一车间人数是第二车间人数的一半。问需从第一车间调多少人到第二车间？ 

【例15】甲、乙两车间各有工人若干，如果从乙车间调100人到甲车间，那么甲车间的人数是乙车间剩余人数的6倍；如果从甲车间调100人到乙车间，这时两车间的人数相等，求原来甲乙车间的人数。

（十）分配问题（比例分配问题）

比例分配问题的一般思路为：设其中一份为x ，利用已知的比，写出相应的代数式。

常用等量关系：各部分之和=总量。

【例16】学校分配学生住宿，如果每室住8人，还少12个床位，如果每室住9人，则空出两个房间。求房间的个数和学生的人数。

【例17】甲、乙、丙三个人每天生产机器零件数为甲、乙之比为4：3；乙、丙之比为6：5，又知甲与丙的和比乙的2倍多12件，求每个人每天生产多少件？

（十一）年龄问题

【例18】兄弟二人今年分别为15岁和6岁，多少年后兄的年龄是弟的年龄的2倍？

【例19】三位同学甲乙丙，甲比乙大1岁，乙比丙大2岁，三人的年龄之和事41，求乙同学的年龄。

（十二）比赛积分问题

【例20】某企业对应聘人员进行英语考试，试题由50道选择题组成，评分标准规定：每道题的答案选对得3分，不选得0分，选错倒扣1分。已知某人有5道题未作，得了103分，则这个人选错了       道题。

【例21】某学校七年级8个班进行足球友谊赛，采用胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分的记分制。某班与其他7个队各赛1场后，以不败的战绩积17分，那么该班共胜了几场比赛？

（十三）方案选择问题

【例22】某蔬菜公司的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元。

当地一家公司收购这种蔬菜140吨，该公司的加工生产能力是：如果对蔬菜进行精加工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨。但两种加工方式不能同时进行，受季度等条件，公司必须在15天将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种可行方案：

方案一：将蔬菜全部进行粗加工．

方案二：尽可能多地对蔬菜进行粗加工，没来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接销售．

方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成．

你认为哪种方案获利最多？为什么？

（十四）古典数学

【例23】100个和尚100个馍，大和尚每人吃三个，小和尚三人吃一个，问有多少大和尚，多少小和尚？

【例24】有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和兔各有多少只？

（十五）浓度问题

日常生活中，我们将一定量的水放入玻璃杯中，并放入一定量盐，经搅拌后形成均匀的混合物，称为盐水溶液，被溶解的盐称为溶质，溶解盐的水称为溶剂．

溶液（混合物）问题有四个基本量：溶质（纯净物）、溶剂（杂质）、溶液（混合物）、浓度（含量）。其关系式为：

① 溶液=溶质+溶剂（混合物=纯净物+杂质）

②

③

③ 由①②可得到：溶质=浓度×溶液=浓度×（溶质+溶剂）

在溶液问题中关键量是“溶质”：“溶质不变”，混合前溶质总量等于混合后的溶质量，是很多方程应用题中的主要等量关系。 

【例25】有含盐20%的盐水5千克，要配制成含盐8%的盐水，需加水______________千克。

【例26】某化工厂现有浓度为15%的稀硫酸175千克，要把它配成浓度为25%的硫酸，需要加入浓度为50％的硫酸多少千克？

【例27】今需将浓度为80％和15％的两种农药配制成浓度为20％的农药4千克，问两种农药应各取多少千克？下载本文