一、一元二次方程

1．随着经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，汽车消费成为新亮点．抽样调查显示，截止2008年底全市汽车拥有量为14.4万辆．已知2006年底全市汽车拥有量为10万辆．

（1）求2006年底至2008年底我市汽车拥有量的年平均增长率；

（2）为保护城市环境，要求我市到2010年底汽车拥有量不超过15.4万辆，据估计从2008年底起，此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%，那么每年新增汽车数量最多不超过多少辆？（假定每年新增汽车数量相同）

【答案】详见解析

【解析】

试题分析：（1）主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）解决问题；

（2）参照增长率问题的一般规律，表示出2010年的汽车拥有量，然后根据关键语列出不等式来判断正确的解．

试题解析：（1）设年平均增长率为x，根据题意得：

10（1+x）2=14.4，

解得x=﹣2.2（不合题意舍去）x=0.2，

答：年平均增长率为20%；

（2）设每年新增汽车数量最多不超过y万辆，根据题意得：

2009年底汽车数量为14.4×90%+y，

2010年底汽车数量为（14.4×90%+y）×90%+y，

∴（14.4×90%+y）×90%+y≤15.4，

∴y≤2．

答：每年新增汽车数量最多不超过2万辆．

考点：一元二次方程—增长率的问题

2．解方程：x2－2x＝2x＋1.

【答案】x1＝2－ ，x2＝2＋.

【解析】

试题分析：根据方程，求出系数a、b、c，然后求一元二次方程的根的判别式，最后根据求根公式求解即可.

试题解析：方程化为x2－4x－1＝0.

∵b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－1)＝20，

∴x＝＝2± ，

∴x1＝2－ ，x2＝2＋.

3．已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣4）﹣m2=0．

（1）求证：对任意实数m，方程总有2个不相等的实数根；

（2）若方程的一个根是2，求m的值及方程的另一个根．

【答案】（1）证明见解析；（2）m的值为±，方程的另一个根是5．

【解析】

【分析】

（1）先把方程化为一般式，利用根的判别式△=b2-4ac证明判断即可；

（2）根据方程的根，利用代入法即可求解m的值，然后还原方程求出另一个解即可.

【详解】

（1）证明：

∵（x﹣3）（x﹣4）﹣m2=0，

∴x2﹣7x+12﹣m2=0，

∴△=（﹣7）2﹣4（12﹣m2）=1+4m2，

∵m2≥0，

∴△＞0，

∴对任意实数m，方程总有2个不相等的实数根；

（2）解：∵方程的一个根是2，

∴4﹣14+12﹣m2=0，解得m=±，

∴原方程为x2﹣7x+10=0，解得x=2或x=5，

即m的值为±，方程的另一个根是5．

【点睛】

此题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系是关键.

当△=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；

当△=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；

当△=b2-4ac＜0时，方程没有实数根.

4．已知关于x的二次函数的图象与x轴有2个交点.

（1）求k的取值范围；

（2）若图象与x轴交点的横坐标为，且它们的倒数之和是，求k的值.

【答案】（1）k＜- ；（2）k=﹣1

【解析】

试题分析：（1）根据交点得个数，让y=0判断出两个不相等的实数根，然后根据判别式△= b2-4ac的范围可求解出k的值；

（2）利用y=0时的方程，根据一元二次方程的根与系数的关系，可直接列式求解可得到k的值.

试题解析：（1）∵二次函数y=x2-（2k-1）x+k2+1的图象与x轴有两交点，

∴当y=0时，x2-（2k-1）x+k2+1=0有两个不相等的实数根． 

∴△=b2-4ac=[-（2k-1）]2-4×1×（k2+1）＞0．

解得k＜- ；

（2）当y=0时，x2-（2k-1）x+k2+1=0．

则x1+x2=2k-1，x1•x2=k2+1， 

∵=== ， 

解得：k=-1或k= （舍去），

∴k=﹣1

5．发现思考：已知等腰三角形ABC的两边分别是方程x2﹣7x+10=0的两个根，求等腰三角形ABC三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因．

涵涵的作业

 解：x2﹣7x+10=0

        a=1      b=﹣

∵b2﹣4ac=9＞0

∴x==

∴x1=5，x2=2

所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5，5，2．

当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2，2，5．

探究应用：请解答以下问题：

已知等腰三角形ABC的两边是关于x的方程x2﹣mx+﹣=0的两个实数根．

（1）当m=2时，求△ABC的周长；

（2）当△ABC为等边三角形时，求m的值．

【答案】错误之处及错误原因见解析；（1）当m=2时，△ABC的周长为；（2）当△ABC为等边三角形时，m的值为1．

【解析】

【分析】根据三角形三边关系可以得到等腰三角形的三条边不能为2、2、5．

（1）先解方程，再确定边，从而求周长；（2）是等边三角形，则两根相等，即△=（﹣m）2﹣4（﹣）=m2﹣2m+1，可求得m.

【详解】解：错误之处：当2为腰，5为底时，等腰三角形的三条边为2、2、5．

错误原因：此时不能构成三角形．

（1）当m=2时，方程为x2﹣2x+=0，

∴x1=，x2=．

当为腰时，+<，

∴、、不能构成三角形；

当为腰时，等腰三角形的三边为、、，

此时周长为++=．

答：当m=2时，△ABC的周长为．

（2）若△ABC为等边三角形，则方程有两个相等的实数根，

∴△=（﹣m）2﹣4（﹣）=m2﹣2m+1=0，

∴m1=m2=1．

答：当△ABC为等边三角形时，m的值为1．

【点睛】本题考核知识点：二元一次方程的运用.解题关键点：熟练掌握二元一次方程的解法和等腰三角形性质.

6．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．

（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？

（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？

【答案】（1）5；（2）180

【解析】

【分析】

（1）设平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感，列方程求解即可；

（2）根据每轮传染中平均一个人传染的人数和经过两轮传染后的人数，列出算式求解即可．

【详解】

（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意得：

x+1+（x+1）x＝36，

解得：x＝5或x＝﹣7（舍去）．

答：每轮传染中平均一个人传染了5个人；

（2）根据题意得：5×36＝180（个），

答：第三轮将又有180人被传染．

【点睛】

本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是能根据题意找到等量关系并列方程.

7．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0有两根α，β．

（1）求m的取值范围；

（2）若，则m的值为多少？

【答案】（1）；（2）m的值为3．

【解析】

【分析】

（1）根据△≥0即可求解,

（2）化简,利用韦达定理求出α+β，αβ,代入解方程即可.

【详解】

解：（1）由题意知，（2m+3）2﹣4×1×m2≥0，

解得：m≥-；

（2）由根与系数的关系得：α+β=﹣（2m+3），αβ=m2，

∵即=-1,

∴=-1,整理得m2﹣2m﹣3=0

解得：m1=﹣1，m1=3，

由（1）知m≥-，

∴m1=﹣1应舍去，

∴m的值为3．

【点睛】

本题考查了一元二次方程根的判别式以及韦达定理，对根进行判断是正确解题的关键.

8．某社区决定把一块长，宽的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小形状都相同的矩形) ，空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，当绿化区较长边为何值时，活动区的面积达到?

【答案】当时，活动区的面积达到

【解析】

【分析】

根据“活动区的面积＝矩形空地面积﹣阴影区域面积”列出方程，可解答.

【详解】

解:设绿化区宽为y，则由题意得

.

即

列方程:   

解得 (舍)，.

∴当时，活动区的面积达到

【点睛】

本题是一元二次方程的应用题，确定等量关系是关键，本题计算量大，要细心．

9．已知关于x的方程mx2+(3﹣m)x﹣3=0(m为实数，m≠0)．

(1) 试说明：此方程总有两个实数根．

(2) 如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m的值.

【答案】(1)≥0；(2)m=-1,-3.

【解析】

分析: （1）先计算判别式得到△=（m-3）2-4m•（-3）=（m+3）2，利用非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义即可得到结论；

（2）利用公式法可求出x1=，x2=-1，然后利用整除性即可得到m的值．

详解: （1）证明：∵m≠0，

∴方程mx2+（m-3）x-3=0（m≠0）是关于x的一元二次方程，

∴△=（m-3）2-4m×（-3）

=（m+3）2，

∵（m+3）2≥0，即△≥0，

∴方程总有两个实数根；

（2）解：∵x= ，

∴x1=-，x2=1，

∵m为正整数，且方程的两个根均为整数，

∴m=-1或-3．

点睛: 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程．

10．某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2，施工队在绿化了22000米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．

（1）该项绿化工程原计划每天完成多少米2？

（2）该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？

【答案】(1)2000；(2)2米

【解析】

【分析】

（1）设未知数，根据题目中的的量关系列出方程；

（2）可以通过平移，也可以通过面积法，列出方程

【详解】

解：（1）设该项绿化工程原计划每天完成x米2，

根据题意得：﹣= 4

解得：x=2000，

经检验，x=2000是原方程的解;

答：该绿化项目原计划每天完成2000平方米； 

（2）设人行道的宽度为x米，根据题意得，

（20﹣3x）（8﹣2x）=56 

解得：x=2或x=（不合题意，舍去）．

答：人行道的宽为2米．

11．“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法．

例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，……，按此规律，求图10、图n有多少个点？

我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图），这样图1中黑点个数是6×1=6个；图2中黑点个数是6×2=12个：图3中黑点个数是6×3=18个；所以容易求出图10、图n中黑点的个数分别是　   　、　   　．

请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块（画在答题卡上），再完成以下问题：

（1）第5个点阵中有　   　个圆圈；第n个点阵中有　   　个圆圈．

（2）小圆圈的个数会等于271吗？如果会，请求出是第几个点阵．

【答案】60个，6n个；（1）61；3n2﹣3n+1，（2）小圆圈的个数会等于271，它是第10个点阵．

【解析】

分析：根据规律求得图10中黑点个数是6×10=60个；图n中黑点个数是6n个；

（1）第2个图中2为一块，分为3块，余1，

第2个图中3为一块，分为6块，余1；

按此规律得：第5个点阵中5为一块，分为12块，余1，得第n个点阵中有：n×3（n﹣1）+1=3n2﹣3n+1，

（2）代入271，列方程，方程有解则存在这样的点阵．

详解：图10中黑点个数是6×10=60个；图n中黑点个数是6n个，

故答案为：60个，6n个；

（1）如图所示：第1个点阵中有：1个，

第2个点阵中有：2×3+1=7个，

第3个点阵中有：3×6+1=17个，

第4个点阵中有：4×9+1=37个，

第5个点阵中有：5×12+1=60个，

…

第n个点阵中有：n×3（n﹣1）+1=3n2﹣3n+1，

故答案为：60，3n2﹣3n+1；

（2）3n2﹣3n+1=271，

n2﹣n﹣90=0，

（n﹣10）（n+9）=0，

n1=10，n2=﹣9（舍），

∴小圆圈的个数会等于271，它是第10个点阵．

点睛：本题是图形类的规律题，采用“分块计数”的方法解决问题，仔细观察图形，根据图形中圆圈的个数恰当地分块是关键．

12．关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0．

（1）证明：方程总有两个不相等的实数根；

（2）设这个方程的两个实数根为x1，x2，且|x1|=|x2|﹣2，求m的值及方程的根．

【答案】（1）证明见解析；（2）x1=﹣1+，x2=﹣1﹣或

【解析】

试题分析：（1）根据一元二次方程的判别式△=b2﹣4ac的结果判断即可，当△＞0时，有两个不相等的实数根，当△=0时，有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根；

（2）根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=-，x1•x2=，表示出两根的关系，得到x1，x2异号，然后根据绝对值的性质和两根的关系分类讨论即可求解.

试题解析：（1）一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0，

∵a=1，b=﹣（m﹣3）=3﹣m，c=﹣m2，

∴△=b2﹣4ac=（3﹣m）2﹣4×1×（﹣m2）=5m2﹣6m+9=5（m﹣）2+，

∴△＞0，

则方程有两个不相等的实数根；

（2）∵x1•x2==﹣m2≤0，x1+x2=m﹣3，

∴x1，x2异号，

又|x1|=|x2|﹣2，即|x1|﹣|x2|=﹣2，

若x1＞0，x2＜0，上式化简得：x1+x2=﹣2，

∴m﹣3=﹣2，即m=1，

方程化为x2+2x﹣1=0，

解得：x1=﹣1+，x2=﹣1﹣，

若x1＜0，x2＞0，上式化简得：﹣（x1+x2）=﹣2，

∴x1+x2=m﹣3=2，即m=5，

方程化为x2﹣2x﹣25=0，

解得：x1=1﹣，x2=1+．

13．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：

当a＞0，b＞0时：

∵（）2=a﹣2+b≥0

∴a+b≥2，当且仅当a=b时取等号．

请利用上述结论解决以下问题：

（1）请直接写出答案：当x＞0时，x+的最小值为　   　．当x＜0时，x+的最大值为　   　；

（2）若y=，（x＞﹣1），求y的最小值；

（3）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为4和9，求四边形ABCD面积的最小值．

【答案】（1）2；﹣2．（2）y的最小值为9；（3）四边形ABCD面积的最小值为25．

【解析】

【分析】

（1）当x＞0时，按照公式a+b≥2（当且仅当a=b时取等号）来计算即可；当x＜0时，﹣x＞0，0，则也可以按公式a+b≥2（当且仅当a=b时取等号）来计算；

（2）将y的分子变形，分别除以分母，展开，将含x的项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可；

（3）设S△BOC=x，已知S△AOB=4，S△COD=9，由三角形面积公式可知：S△BOC：S△COD=S△AOB：S△AOD，用含x的式子表示出S△AOD，再表示出四边形的面积，根据题中所给公式求得最小值，加上常数即可．

【详解】

（1）当x＞0时，x22；

当x＜0时，﹣x＞0，0．

∵﹣x22，∴则x（﹣x）≤﹣2，∴当x＞0时，x的最小值为 2．当x＜0时，x的最大值为﹣2．

故答案为：2，﹣2．

（2）∵x＞﹣1，∴x+1＞0，∴y=（x+1）5≥25=4+5=9，∴y的最小值为9．

（3）设S△BOC=x，已知S△AOB=4，S△COD=9

则由等高三角形可知：S△BOC：S△COD=S△AOB：S△AOD，∴x：9=4：S△AOD，∴S△AOD，∴四边形ABCD面积=4+9+x13+225．

当且仅当x=6时，取等号，∴四边形ABCD面积的最小值为25．

【点睛】

本题考查了配方法在最值问题中的应用．对不能直接应用公式的，需要正确变形才可以应用．

14．已知关于的方程有两个不相等的实数根，．

求的取值范围．

是否存在实数，使方程的两实数根互为相反数？

【答案】(1)且；(2)不存在,理由见解析

【解析】

【分析】

（1）因为方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1=0有两个不相等的实数根x1，x2．得出其判别式△＞0，可解得k的取值范围；

（2）假设存在两根的值互为相反数，根据根与系数的关系，列出对应的不等式即可求出k的值．

【详解】

（1）方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1=0有两个不相等的实数根x1，x2，可得：k﹣1≠0且△=﹣12k+13＞0，解得：k＜且k≠1；

（2）假设存在两根的值互为相反数，设为 x1，x2．

∵x1+x2=0，∴﹣=0，∴k=．

又∵k＜且k≠1，∴k不存在．

【点睛】

本题主要考查了根与系数的关系，属于基础题，关键掌握x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=﹣p，x1x2=q．

15．如图，在四边形中， ， ， ， ，  ，动点P从点D出发，沿线段  的方向以每秒2个单位长的速度运动；动点Q从点 C出发，在线段  上以每秒1个单位长的速度向点 运动；点P， 分别从点D，C同时出发，当点 运动到点  时，点Q随之停止运动，设运动的时间为t秒）. 

（1）当 时，求 的面积；

（2）若四边形为平行四边形，求运动时间 .

（3）当  为何值时，以 B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？

【答案】（1）；（2） ；（3）或.

【解析】

【分析】

（1）过点作于，则PM=DC，当t=2时，算出BQ，求出面积即可；（2）当四边形是平行四边形时，，即，解出即可；（3）以 B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，分三种情况，①，②，③分别求出t即可.

【详解】

解 ：（1）过点作于，则四边形为矩形.

∴，

∵，

当t=2时，则BQ=14，

则=×14×12=84；

（2）当四边形是平行四边形时，,

即

解得：

∴当时，四边形是平行四边形.

（3）由图可知，CM=PD=2t，CQ=t，若以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，可以分为以下三种情况：

①若，在 中，，由得 解得： ；

②若，在 中，，由得 ，即，

此时， ,

所以此方程无解，所以 ；

③若，由得 ,

得 ，（不合题意，舍去）；

综上所述，当或时，以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形.

【点睛】

本题是对四边形即可中动点问题的考查，熟练掌握动点中线段的表示、平行四边形和等腰三角形的性质及判断是解决本题的关键，难度适中.下载本文