简化计算

1．2222:(0)S x y z R R ++=>，则

（1）S xdS =òò （2

）S

= （3） 2S

x dS =òò

利用二重积分计算

1．（BHP272）计算2()S I ax by cz d dS =

+++òò，其中2222:(0)S x y z R R ++=>

2．设22

2:122

x y S z ++=的上半部分，点(,,)P x y z S Î，P 为S 在点P 处的切平面， (,,)x y z r 为点(0,0,0)O 到平面P 的距离，求(,,)S

z I dS x y z r =òò。

第二型曲面积分

（一）积分曲面不封闭

方法一：直接化为二重积分

方法二：化为对面积的曲面积分（积分曲面为平面）

方法三：添加曲面使之封闭,用高斯公式

1．计算[(,,)][2(,,)][(,,)]S

I f x y z x dydz f x y z y dzdx f x y z z dxdy =+++++òò,其中f 为连续函数，

S 为平面1x y z -+=在第四卦限部分的上侧。

2．计算332223(1)S

I x dydz y dzdx z dxdy =++-òò,其中S 是曲面221(0)z x y z =--³的上侧。[]p -

(二)曲面积分封闭

方法一:直接化为二重积分计算(不能用高斯公式时)

方法二:借助高斯公式化为三重积分(注意高斯公式的条件)

1．[BHP275]

计算z S I =

，其中S

为锥面z =与平面1,2z z ==所围立体表面外侧。

2．计算32222()S xdydz ydzdx zdxdy I x y z ++=

++òòÒ，其中S 为不穿过坐标原点的光滑闭曲面，方向取外侧。 练习：

计算:32222()S xdydz ydzdx zdxdy I x y z ++=

++òòÒ，222:224S x y z ++=取外侧。

高斯公式

1.计算22S I xzdydz yzdzdx z dxdy =

+-òò

,:S z =

与z =所围立体表面外侧.

2.计算(2)S I x z dydz zdxdy =

++òò,22:(01)S z x y z =+££法向量与OZ 轴的正向夹角成锐角.

3.计算212222()()S axdydz z a dxdy I x y z ++=

++òò

,:S z =的上侧, a 为大于0的常数. 3[]2a p -

4.计算3

2222()S xdydz ydzdx zdxdy I x y z ++=++òò,(1) S

为:S z =的上侧;(2) S 为椭球面

222

222

1x x x a b c ++=外侧.

斯托克斯公式 散度与旋度

1.计算曲线积分()()()L I z y dx x z dy x y dz =-+-+-òÑ,其中L 是曲线2212x y x y z ì+=í-+=î

,从OZ 轴正向往OZ 轴负向看L 的方向是顺时针的.

2.计算222222()(2)(3)L I y z dx z x dy x y dz =-+-+-òÑ,其中L 是平面2x y z ++=与柱面

1x y +=的交线,从z 轴正向看去, L 为逆时针方向.

3.设u =,求()div gradu ,()rot gradu

历年试题

1.(2011第二届决赛试题,16分) 已知S 是空间曲线22310x y z ì+=í=î

绕y 轴旋转形成的椭球面的上半部分(0z >)的上半部分(取上侧)，P 是S 在(,,)P x y z S Î点处的切平面， (,,)x y z r 为点(0,0,0)O 到平面P 的距离，,,l m n 表示S 的正法向的方向余弦，计算：（1）(,,)

S z I dS x y z r =òò；（2）(3)S

z x y z dS l m n ++òò。下载本文