1.
如图，函数的图象为折线，设 ，则函数的图象为（ ）
A.
C.
2. 设，为实数，且满足，则( )
A.
3. 已知在上的奇函数，当时，，则( )
A.
4. 下列函数中，是偶函数的为( )
A.
5. 设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（ ）
A.
C.
6. 已知满足对，，且时，（为常数），则的值为( )
A.
7. 已知函数是定义在上的奇函数，函数的图象与函数的图象关于直线对称，则的值为（ ）
A. 不能确定
8. 已知函数是偶函数，且＝，若＝，＝，则下列说法正确的是（ ）
A.函数＝是偶函数
B.是函数的一个周期
C.对任意的，都有＝
D.函数＝的图象关于直线＝对称
9. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的函数是（ ）
A.＝ ＝
C.＝ ＝
10. 已知函数＝，且＝，则＝________．
11. 设奇函数的定义域为，当时，的图象如图所示，不等式的解集用区间表示为________．
12. 定义在上的奇函数，已知当时，，则在上的解析式为________．（化成最简形式）
13. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时＝，若对任意的，恒有，则实数的取值范围为________．
14. 已知是定义在上的奇函数，当时，＝，则不等式的解集用区间表示为________．
15. 已知函数＝
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）当时函数与相同，且为偶函数，求＝的定义域及其表达式．
16. 已知定义在上的函数满足：
（1）；
（2）
（3），时，．
则，，大小关系（ ）
A.
C.
17. 定义在上的奇函数，当时，＝．
（1）设＝，，求函数的值域；
（2）当时，若＝，求实数的值．
参与试题解析
函数的奇偶性练习题（1）
一、 选择题 （本题共计 7 小题 ，每题 5 分 ，共计35分 ）
1.
【答案】
A
【考点】
函数的图象变换
函数奇偶性的性质
【解析】
函数的图象为折线，其为偶函数，所研究时的图象即可，首先根据图象求出时的图象及其值域，再根据分段函数的性质进行求解，可以求出的解析式再进行判断；
【解答】
解：函数的图象为折线，函数为偶函数，
我们可以研究的情况即可，
若，可得，，
则直线的方程为：，
，其中；
若，可得，
∴
我们讨论的情况：如果，解得，
此时；
若，解得，
此时；
∴时，
故选.
2.
【答案】
A
【考点】
函数奇偶性的性质
【解析】
将方程组中的方程，形式化成相同，构造函数，确定函数为单调递增函数，即可求得结论．
【解答】
解：设函数，
则，
，
所以，
所以函数关于中心对称，
又因为
所以，所以.
故选.
3.
【答案】
A
【考点】
函数奇偶性的性质
【解析】
根据题意，为定义在上的奇函数，可知，即可求出，
即当时，可得，再根据为奇函数，可得．
【解答】
解：根据题意，为定义在上的奇函数，
则，
解得：.
∵当时，，
∴.
故选．
4.
【答案】
A
【考点】
函数奇偶性的判断
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：．该函数定义域为，设，，是偶函数；
．该函数定义域为，设，，是奇函数；
．该函数定义域为，设，，
，该函数是非奇非偶函数；
．该函数定义域为，不关于原点对称，该函数是非奇非偶函数.
故选.
5.
【答案】
D
【考点】
奇偶性与单调性的综合
【解析】
此题暂无解析
【解答】
∵为奇函数，，
∴．
∵在上为增函数，且，
∴在上为增函数，且，
∴不等式的解集为．
6.
【答案】
B
【考点】
函数奇偶性的性质
【解析】
首先利用奇偶性，求出，再利用奇偶性求值即可.
【解答】
解：∵满足对，，
故，
故，
∵时，，
∴，
解得，
即时，，
则，
∴.
故选.
7.
【答案】
A
【考点】
奇偶函数图象的对称性
【解析】
利用奇函数的定义可把已知转化为，从而可得函数关于对称，函数的图象与函数的图象关于直线对称，则关于对称，代入可求．
【解答】
解：∵函数是定义在上的奇函数
∴
令代入可得
函数关于对称
由函数的图象与函数的图象关于直线对称
函数关于对称从而有
故选
二、 多选题 （本题共计 2 小题 ，每题 5 分 ，共计10分 ）
8.
【答案】
B,C,D
【考点】
函数奇偶性的性质与判断
【解析】
根据题意，依次分析选项，综合即可得答案．
【解答】
根据题意，依次分析选项：
对于，＝，＝＝，又由函数是偶函数，则＝，
即函数为奇函数，错误
对于，由于是偶函数，且＝，得＝＝，即＝，
则是周期为的周期函数，所以＝＝＝，
则＝是的最小正周期为，故正确；
对于，＝（）＝＝＝＝＝，故正确；
对于，＝＝＝＝＝，
所以函数＝的图象关于直线＝对称，正确；
9.
【答案】
C,D
【考点】
函数单调性的性质与判断
函数奇偶性的性质与判断
奇偶性与单调性的综合
【解析】
根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．
【解答】
对于，＝为奇函数，所以该选项不符合题意；
对于，时，＝＝，所以函数＝的上为增函数，所以该选项不符合题意；
对于，该函数定义域为，设＝，显然＝，所以该函数为偶函数，且该函数在上单调递减，所以该选项符合题意；
对于，该函数定义域为，设＝，显然＝，所以该函数为偶函数，且该函数在上单调递减，可知该选项符合题意．
三、 填空题 （本题共计 5 小题 ，每题 5 分 ，共计25分 ）
10.
【答案】
【考点】
函数奇偶性的性质与判断
【解析】
根据奇函数的性质建立方程组关系进行求解决即可．
【解答】
∵＝，且＝，
∴＝＝，
则＝，
两式相加得＝＝，
则＝＝，
11.
【答案】
【考点】
函数的图象与图象的变换
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
12.
【答案】
【考点】
函数奇偶性的性质
函数解析式的求解及常用方法
【解析】
由题意设利用已知的解析式求出，再由，求出时的解析式．
【解答】
解：为奇函数，
，
，.
在上时，.
故答案为：.
13.
【答案】
【考点】
函数奇偶性的性质与判断
函数恒成立问题
【解析】
由当时，＝，函数是奇函数，可得当时，＝，从而在上是单调递增函数，且满足＝，再根据不等式＝，在，恒成立，利用二次函数的性质，可得不等式，即可得出答案．
【解答】
当时，＝，
∵函数是奇函数，∴当时，＝，∴，
∴在上是单调递增函数，且满足＝，
∵不等式＝在恒成立，
∴在恒成立，
令＝，函数的对称轴为，
当，即时，不等式恒成立，可得＝＝，恒成立；
当，即时，不等式恒成立，可得＝恒成立，
解得；
当，即时，不等式恒成立，可得＝＝不恒成立；
综上：．
14.
【答案】
【考点】
函数奇偶性的性质与判断
【解析】
根据条件可设，从而得出＝＝，即得出时，＝，这样即可得出：时，由得出；时，由得出，解出的范围即可．
【解答】
∵是定义在上的奇函数，且时，＝，
∴设，，则＝＝，
∴＝，
∴时，由得，，解得；
②时，由得，，解得，
∴原不等式的解集为．
四、 解答题 （本题共计 3 小题 ，每题 10 分 ，共计30分 ）
15.
【答案】
根据题意，函数＝是奇函数，
证明：对于函数＝，必有，
解可得：，即函数的定义域为，关于原点对称，
又由＝＝，则有＝，
则函数为奇函数；
根据题意，有（1）的结论，函数的定义域为，
当时，＝＝，
设，则，
则＝，
又由函数为偶函数，则＝，
综合可得：．
【考点】
函数奇偶性的性质与判断
【解析】
（1）根据题意，先求出函数的定义域，进而分析可得＝，由函数奇偶性的定义分析可得答案；
（2）根据题意，分种情况讨论：当时，＝＝，当，利用偶函数的性质求出的解析式，综合即可得答案．
【解答】
根据题意，函数＝是奇函数，
证明：对于函数＝，必有，
解可得：，即函数的定义域为，关于原点对称，
又由＝＝，则有＝，
则函数为奇函数；
根据题意，有（1）的结论，函数的定义域为，
当时，＝＝，
设，则，
则＝，
又由函数为偶函数，则＝，
综合可得：．
16.
【答案】
，
，
，故f（2020）=f（2018）＞f（2019），
【考点】
抽象函数及其应用
【解析】
根据已知可得函数 的图象关于直线对称，周期为，且在上为减函数，进而可比较，，的大小．
【解答】
，
，
，
故，
17.
【答案】
根据题意，为定义在上的奇函数，则＝，则有＝，
当时，＝，此时＝，
当时，，＝，
又由为奇函数，则＝＝，此时＝；
综合可得：
当时，；
当时，．
的值域为
根据题意，时，，
当时，令＝，解得＝或＝；
当时，令＝，解得或（舍去）
综合，得＝或＝或
【考点】
函数奇偶性的性质与判断
【解析】
（1）根据题意，由函数的解析式以及奇函数的性质分析可得的解析式，进而分析可得答案；
（2）根据题意，时，，据此分析可得答案．
【解答】
根据题意，为定义在上的奇函数，则＝，则有＝，
当时，＝，此时＝，
当时，，＝，
又由为奇函数，则＝＝，此时＝；
综合可得：
当时，；
当时，．
的值域为
根据题意，时，，
当时，令＝，解得＝或＝；
当时，令＝，解得或（舍去）
综合，得＝或＝或下载本文
