1．已知等差数列{an}的公差d≠0，其前n项和为Sn，若a2＋a8＝22，且a4，a7，a12成等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若Tn＝＋＋…＋，证明：Tn<.

(1)解　∵数列{an}为等差数列，且a2＋a8＝22，

∴a5＝(a2＋a8)＝11.

∵a4，a7，a12成等比数列，

∴a＝a4·a12，

即(11＋2d)2＝(11－d)·(11＋7d)，

又d≠0，

∴d＝2，

∴a1＝11－4×2＝3，

∴an＝3＋2(n－1)＝2n＋1(n∈N*)．

(2)证明　由(1)得，Sn＝＝n(n＋2)，

∴＝＝，

∴Tn＝＋＋…＋

＝

＝

＝－<.

∴Tn<.

2．如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝，BC＝2AD＝2，E为CD的中点，PB⊥AE.

(1)证明：平面PBD⊥平面ABCD；

(2)若PB＝PD，PC与平面ABCD所成的角为，求二面角B－PD－C的余弦值．

(1)证明　由ABCD是直角梯形，

AB＝，BC＝2AD＝2，可得DC＝2，BD＝2，

从而△BCD是等边三角形，

∠BCD＝，BD平分∠ADC，

∵E为CD的中点，DE＝AD＝1，

∴BD⊥AE.

又∵PB⊥AE，PB∩BD＝B，

又PB，BD⊂平面PBD，

∴AE⊥平面PBD.

∵AE⊂平面ABCD，

∴平面PBD⊥平面ABCD.

(2)解　方法一　作PO⊥BD于点O，连接OC，

∵平面PBD⊥平面ABCD，

平面PBD∩平面ABCD＝BD，

PO⊂平面PBD，

∴PO⊥平面ABCD，

∴∠PCO为PC与平面ABCD所成的角，∠PCO＝，

又∵PB＝PD，

∴O为BD的中点，OC⊥BD，OP＝OC＝，

以O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则B(1,0,0)，C(0，，0)，D(－1,0,0)，P(0,0，)，

＝(0，，－)，＝(－1,0，－)．

设平面PCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，

由得

令z＝1，则x＝－，y＝1，得n＝(－，1,1)．

又平面PBD的一个法向量为m＝(0,1,0)，

设二面角B－PD－C的平面角为θ，

则|cos θ|＝＝＝，

由图可知θ为锐角，

∴所求二面角B－PD－C的余弦值是.

方法二　作PO⊥BD于点O，连接OC，

∵平面PBD⊥平面ABCD，

平面PBD∩平面ABCD＝BD，

PO⊂平面PBD，

∴PO⊥平面ABCD，

∴∠PCO为PC与平面ABCD所成的角，∠PCO＝，

又∵PB＝PD，

∴O为BD的中点，OC⊥BD，OP＝OC＝，

作OH⊥PD于点H，连接CH，

则PD⊥平面CHO，

又HC⊂平面CHO，则PD⊥HC，

则∠CHO为所求二面角B－PD－C的平面角．

由OP＝，得OH＝，

∴CH＝，

∴cos∠CHO＝＝＝.

3．某大型水果超市每天以10元/千克的价格从水果基地购进若干A水果，然后以15元/千克的价格出售，若有剩余，则将剩余的水果以8元/千克的价格退回水果基地，为了确定进货数量，该超市记录了A水果最近50天的日需求量(单位：千克)，整理得下表：

(1)若该超市一天购进A水果150千克，记超市当天A水果获得的利润为X(单位：元)，求X的分布列及期望；

(2)若该超市计划一天购进A水果150千克或160千克，请以当天A水果获得的利润的期望值为决策依据，在150千克与160千克之中任选其一，应选哪一个？若受市场影响，剩余的水果以7元/千克的价格退回水果基地，又该选哪一个？

解　(1)若A水果日需求量为140千克，

则X＝140×(15－10)－(150－140)×(10－8)

＝680(元)，

且P(X＝680)＝＝0.1.

若A水果日需求量不小于150千克，

则X＝150×(15－10)＝750(元)，

且P(X＝750)＝1－0.1＝0.9.

故X的分布列为

(2)设该超市一天购进A水果160千克，

当天的利润为Y(单位：元)，

则Y的可能取值为

140×5－20×2,150×5－10×2,160×5，

即660,730,800，

则Y的分布列为

因为772>743，所以该超市应购进160千克A水果．

若剩余的水果以7元/千克的价格退回水果基地，

同理可得X，Y的分布列分别为

所以该超市还是应购进160千克A水果．

4.如图，在平面直角坐标系中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点，离心率为.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过点K(2,0)作一直线与椭圆C交于A，B两点，过A，B两点作直线l：x＝的垂线，垂足分别为A1，B1，试问直线AB1与A1B的交点是否为定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．

解　(1)由题意得⇒

所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.

(2)①当直线AB的斜率不存在时，直线l：x＝，

AB1与A1B的交点是.

②当直线AB的斜率存在时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

直线AB为y＝k(x－2)，

由

得(1＋5k2)x2－20k2x＋20k2－5＝0，

所以x1＋x2＝，x1x2＝，

A1，B1，

所以lAB1：y＝＋y2，

lA1B：y＝＋y1，

联立解得x＝＝

＝＝，

代入上式可得y＝＋y2

＝

＝＝0.

综上，直线AB1与A1B过定点.

5．设函数f(x)＝(x＋1)ln x－a(x－1)(a∈R)．

(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)≥0对任意x∈[1，＋∞)恒成立，数a的取值围；

(3)当θ∈时，试比较ln(tan θ)与tan的大小，并说明理由．

解　(1)当a＝1时，f(x)＝(x＋1)ln x－(x－1)，

f′(x)＝ln x＋，

设g(x)＝ln x＋(x>0)，则g′(x)＝，

当x∈(0,1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，

当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，

g(x)min＝g(1)＝1>0，

∴f′(x)>0.故f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，

无单调递减区间．

(2)f′(x)＝ln x＋＋1－a＝g(x)＋1－a，

由(1)可知g(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，

则g(x)≥g(1)＝1，

即f′(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，且f′(1)＝2－a，

①当a≤2时，f′(x)≥0，

f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，

∴f(x)≥f(1)＝0满足条件；

②当a>2时，设h(x)＝ln x＋＋1－a(x≥1)，

则h′(x)＝－＝≥0(x≥1)，

∴h(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，

且h(1)＝2－a<0，h(ea)＝1＋e－a>0，

∴∃x0∈[1，ea]，使得h(x0)＝0，

∴当x∈[1，x0)时，h(x)<0，f(x)单调递减，

即当x∈[1，x0)时，f(x)≤f(1)＝0，不满足题意．

综上所述，实数a的取值围为(－∞，2]．

(3)由(2)可知，取a＝2，

当x>1时，f(x)＝(x＋1)ln x－2(x－1)>0，

即ln x>，

当01，

∴ln>⇔<，

又∵tan＝，

∴当0<θ<时，0ln(tan θ)当θ＝时，tan θ＝1，ln(tan θ)＝tan；

当<θ<时，tan θ>1，

ln(tan θ)>tan.

综上，当θ∈时，ln(tan θ)当θ＝时，ln(tan θ)＝tan；

当θ∈时，ln(tan θ)>tan.

6．已知直线l经过点P(1,2)，倾斜角α＝，圆C的极坐标方程为ρ＝2cos.

(1)写出直线l的参数方程的标准形式，并把圆C的方程化为直角坐标方程；

(2)若直线l与圆C相交于A，B两点，求线段AB的中点M到点P的距离．

解　(1)直线l的参数方程为

即(t为参数，t∈R)．

由ρ＝2cos，

得ρ＝2cos θ＋2sin θ，

∴ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ，

∴x2＋y2＝2x＋2y，

∴圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.

(2)把代入(x－1)2＋(y－1)2＝2得，

2＋2＝2，

整理得t2＋t－1＝0，

Δ＝5>0，t1＋t2＝－1，

∴|MP|＝＝.

7．(2018·模拟)已知函数f(x)＝x2－|x|＋3.

(1)求不等式f(x)≥3x的解集；

(2)若关于x的不等式f(x)－x2≤恒成立，数a的取值围．

解　(1)当x≥0时，f(x)＝x2－x＋3≥3x，

即x2－4x＋3≥0，

解得x≥3或x≤1，所以x≥3或0≤x≤1；

当x<0时，f(x)＝x2＋x＋3≥3x，

此不等式x2－2x＋3≥0恒成立，所以x<0.

综上所述，原不等式的解集为{x|x≥3或x≤1}．

(2)f(x)－x2≤恒成立，

即－|x|＋3≤恒成立，

即＋|x|≥3恒成立，

∵＋|x|＝＋＋

≥＋＝|a|＋≥|a|，

当且仅当x＝0时，等号成立，

∴|a|≥3，解得a≥3或a≤－3.

故实数a的取值围是(－∞，－3]∪[3，＋∞)．下载本文