证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：
一、裂项放缩
例1.(1)求的值; (2)求证:.
解析:(1)因为,所以
(2)因为,所以
奇巧积累:(1) (2)
(3)
(4)
(5) (6)
(7) (8)
(9)
(10) (11)
(11)
(12)
(13)
(14) (15)
(15)
例2.(1)求证:
(2)求证:
(3)求证:
(4) 求证：
解析:(1)因为,所以
(2)
(3)先运用分式放缩法证明出,再结合进行裂项,最后就可以得到答案
(4)首先,所以容易经过裂项得到
再证而由均值不等式知道这是显然成立的，所以
例3.求证:
解析:一方面:因为,所以
另一方面:
当时, ,当时, ,
当时, ,所以综上有
例4. 设函数.数列满足..设，整数.证明:.
解析:由数学归纳法可以证明是递增数列,故存在正整数,使,则
,否则若,则由知
, ,因为,
于是
例5.已知,求证:.
解析:首先可以证明:
所以要证
只要证:
故只要证,即等价于
,即等价于
而正是成立的,所以原命题成立.
例6.已知, ,求证:.
解析:
所以
从而
例7.已知, ,求证:
证明:,因为
,所以
所以
二、函数放缩
例8.求证：.
解析:先构造函数有,从而
因为
所以
例9.求证:(1)
解析:构造函数,得到,再进行裂项,求和后可以得到答案
函数构造形式:,
例10.求证:
解析:提示:
函数构造形式:
当然本题的证明还可以运用积分放缩
如图,取函数,
首先:,从而,
取有, ,
所以有, ,…, , ,相加后可以得到:
另一方面,从而有
取有, ,
所以有,所以综上有
例11.求证:和.
解析:构造函数后即可证明
例12.求证:
解析:,叠加之后就可以得到答案
函数构造形式: (加强命题)
例13.证明:
解析:构造函数,求导,可以得到:
,令有,令有,
所以,所以,令有,
所以,所以
例14. 已知证明.
解析:,
然后两边取自然对数,可以得到
然后运用和裂项可以得到答案)
放缩思路：
。于是，
即
注：题目所给条件（）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论来放缩：
，
即
例15 已知函数是在上处处可导的函数,若在上恒成立.
()求证：函数上是增函数；
()当；
()已知不等式时恒成立，
求证：
解析:(),所以函数上是增函数
()因为上是增函数,所以
两式相加后可以得到
(3)
……
相加后可以得到:
所以 令,有
所以
(方法二)
所以
又,所以
例16.已知函数若
解析:设函数
∴函数）上单调递增，在上单调递减.
∴的最小值为，即总有
而
即
令则
三、分式放缩
姐妹不等式:和
记忆口诀”小者小,大者大”
解释:看b,若b小,则不等号是小于号,反之.
例19. 姐妹不等式:和
也可以表示成为
和
解析: 利用假分数的一个性质可得
即
例20.证明:
解析: 运用两次次分式放缩:
(加1)
(加2)
相乘,可以得到:
所以有
四、分类放缩
例21.求证:
解析:
例22. 在平面直角坐标系中,轴正半轴上的点列与曲线（≥0）上的点列满足，直线在x轴上的截距为.点的横坐标为,.
(1)证明>>4，; (2)证明有，使得对都有<.
解析:(1) 依题设有：，由得：
,又直线在轴上的截距为满足
显然，对于，有
(2)证明：设，则
设，则当时，
。
所以，取，对都有：
故有<成立。
例23. 已知函数，若的定义域为[－1，0]，值域也为[－1，0].若数列满足，记数列的前项和为，问是否存在正常数A，使得对于任意正整数都有？并证明你的结论。
解析:首先求出,∵
∴,∵, ,…
,故当时, ,
因此，对任何常数A，设是不小于A的最小正整数，
则当时,必有.
故不存在常数A使对所有的正整数恒成立.
例24.(2008年中学教学参考)设不等式组表示的平面区域为,设内整数坐标点的个数为.设,
当时,求证:.
解析:容易得到,所以,要证只要证,因为
,所以原命题得证.
五、迭代放缩
例25. 已知,求证:当时,
解析:通过迭代的方法得到,然后相加就可以得到结论
例26. 设,求证:对任意的正整数k,若k≥n恒有:|Sn+k－Sn|<
解析:
又 所以
六、借助数列递推关系
例27.求证:
解析: 设则
,从而
,相加后就可以得到
所以
例28. 求证:
解析: 设则
,从而
,相加后就可以得到
例29. 若,求证:
解析:
所以就有
七、分类讨论
例30.已知数列的前项和满足证明：对任意的整数
，有
解析:容易得到,
由于通项中含有，很难直接放缩，考虑分项讨论：
当且为奇数时
（减项放缩），于是
当且为偶数时
当且为奇数时（添项放缩）由知由得证。
八、线性规划型放缩
例31. 设函数.若对一切，，求的最大值。
解析:由知 即
由此再由的单调性可以知道的最小值为，最大值为
因此对一切，的充要条件是，
即，满足约束条件，
由线性规划得，的最大值为5．
九、均值不等式放缩
例32.设求证
解析: 此数列的通项为
，，
即
注：应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式，若放成则得，就放过“度”了！
根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里
其中，等的各式及其变式公式均可供选用。
例33.已知函数，若，且在[0，1]上的最小值为，求证：
解析:
例34.已知为正数，且，试证：对每一个，.
解析: 由得，又，故，而，
令，则=，因为，倒序相加得=，
而，
则=，所以，即对每一个，.
例35.求证
解析: 不等式左=，
原结论成立.
例36.已知,求证:
解析:
经过倒序相乘,就可以得到
例37.已知,求证:
解析:
其中:,因为
所以
从而,所以.
例38.若,求证:.
解析:
因为当时, ,所以,所以,当且仅当时取到等号.
所以
所以所以
例39.已知,求证:.
解析:.
例40.已知函数f(x)=x2－(－1)k·2lnx(k∈N*).k是奇数, n∈N*时,
求证: [f’(x)]n－2n－1·f’(xn)≥2n(2n－2).
解析: 由已知得，
(1)当n=1时，左式=右式=0.∴不等式成立.
(2), 左式=
令
由倒序相加法得：
，
所以
所以综上，当k是奇数，时，命题成立
例41. 已知函数
（1）求函数的最小值，并求最小值小于0时的取值范围；
（2）令求证：
★例42已知函数,.对任意正数,证明：．
解析:对任意给定的, ,由,
若令，则① ,而②
（一）、先证；因为，，，
又由 ，得．
所以
．
（二）、再证；由①、②式中关于的对称性，不妨设．则
（ⅰ）、当，则，所以，因为，
，此时．
（ⅱ）、当③，由①得 ,，，
因为 所以④
同理得⑤ ，于是⑥
今证明⑦, 因为 ，
只要证 ，即，也即，据③，此为显然．
因此⑦得证．故由⑥得．
综上所述，对任何正数，皆有．
例43.求证:
解析:一方面:
(法二)
另一方面:
十、二项放缩
, ,
例44. 已知证明
解析:
，
即
例45.设，求证：数列单调递增且
解析: 引入一个结论：若则（证略）
整理上式得（）
以代入（）式得
即单调递增。
以代入（）式得
此式对一切正整数都成立，即对一切偶数有，又因为数列单调递增，所以对一切正整数有。
注：上述不等式可加强为简证如下：
利用二项展开式进行部分放缩：
只取前两项有对通项作如下放缩：
故有
上述数列的极限存在，为无理数；同时是下述试题的背景：
已知是正整数，且（1）证明；（2）证明（01年全国卷理科第20题）
简析 对第（2）问：用代替得数列是递减数列；借鉴此结论可有如下简捷证法：数列递减，且故即。
当然，本题每小题的证明方法都有10多种,如使用上述例5所提供的假分数性质、贝努力不等式、甚至构造“分房问题”概率模型、构造函数等都可以给出非常漂亮的解决！详见文[1]。
例46.已知a+b=1,a>0,b>0,求证：
解析: 因为a+b=1,a>0,b>0,可认为成等差数列，设，
从而
例47.设，求证.
解析: 观察的结构，注意到，展开得
，
即，得证.
例48.求证:.
解析:参见上面的方法,希望读者自己尝试!)
例42.已知函数，满足：
①对任意，都有；
②对任意都有.
（I）试证明：为上的单调增函数；
（II）求；
（III）令，试证明：.
解析:本题的亮点很多,是一道考查能力的好题.
(1)运用抽象函数的性质判断单调性:
因为,所以可以得到,
也就是,不妨设,所以,可以得到,也就是说为上的单调增函数.
(2)此问的难度较大,要完全解决出来需要一定的能力!
首先我们发现条件不是很足,,尝试探索看看按(1)中的不等式可以不可以得到什么结论,一发现就有思路了!
由(1)可知,令,则可以得到
,又,所以由不等式可以得到,又
,所以可以得到 ①
接下来要运用迭代的思想:
因为,所以, , ②
, , ,
在此比较有技巧的方法就是:
,所以可以判断 ③
当然,在这里可能不容易一下子发现这个结论,所以还可以列项的方法,把所有项数尽可能地列出来,然后就可以得到结论.
所以,综合①②③有=
(3)在解决的通项公式时也会遇到困难.
,所以数列的方程为,从而,
一方面,另一方面
所以,所以,综上有
.
例49. 已知函数fx的定义域为[0,1]，且满足下列条件：
① 对于任意[0,1]，总有，且；
② 若则有
（Ⅰ）求f0的值；
（Ⅱ）求证：fx≤4；
（Ⅲ）当时，试证明：.
解析: （Ⅰ）解：令，
由①对于任意[0,1]，总有， ∴
又由②得即
∴
（Ⅱ）解：任取且设
则
因为，所以，即
∴.
∴当[0,1]时，.
（Ⅲ）证明：先用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，，不等式成立；
（2）假设当n=k时，
由
得
即当n=k+1时，不等式成立
由（1）、（2）可知，不等式对一切正整数都成立.
于是，当时，，
而[0,1]，单调递增
∴ 所以，
例50. 已知：
求证：
解析:构造对偶式：令
则
＝
又 （
十一、积分放缩
利用定积分的保号性比大小
保号性是指，定义在上的可积函数，则.
例51.求证：.
解析:，∵，
时，，，
∴，.
利用定积分估计和式的上下界
定积分产生和应用的一个主要背景是计算曲边梯形的面积，现在用它来估计小矩形的面积和.
例52. 求证：，.
解析: 考虑函数在区间上的定积分.
如图，显然-①
对求和，
.
例53. 已知.求证：.
解析:考虑函数在区间上的定积分.
∵-②
∴.
例54. （2003年全国高考江苏卷）设，如图，已知直线及曲线：，上的点的横坐标为（）.从上的点作直线平行于轴，交直线于点，再从点作直线平行于轴，交曲线于点.的横坐标构成数列.
（Ⅰ）试求与的关系，并求的通项公式；
（Ⅱ）当时，证明；
（Ⅲ）当时，证明.
解析:（过程略）.
证明（II）：由知，∵，∴.
∵当时，，
∴.
证明（Ⅲ）：由知.
∴恰表示阴影部分面积，
显然④
∴.
奇巧积累: 将定积分构建的不等式略加改造即得“初等”证明，如：
①；
②；
③；
④.
十二、部分放缩(尾式放缩)
例55.求证:
解析:
例56. 设求证：
解析:
又（只将其中一个变成，进行部分放缩），，
于是
例57.设数列满足，当时证明对所有有；
解析:用数学归纳法：当时显然成立，假设当时成立即，则当时
，成立。
利用上述部分放缩的结论来放缩通项，可得
注：上述证明用到部分放缩，当然根据不等式的性质也可以整体放缩：；证明就直接使用了部分放缩的结论
十三、三角不等式的放缩
例58.求证:.
解析:(i)当时,
(ii)当时,构造单位圆,如图所示:
因为三角形AOB的面积小于扇形OAB的面积
所以可以得到
当时
所以当时有
(iii)当时, ,由(ii)可知:
所以综上有
十四、使用加强命题法证明不等式
(i)同侧加强
对所证不等式的同一方向(可以是左侧,也可以是右侧)进行加强.如要证明,只要证明,其中通过寻找分析,归纳完成.
例59.求证:对一切,都有.
解析:
从而
当然本题还可以使用其他方法,如:
所以.
(ii)异侧加强(数学归纳法)
(iii)双向加强
有些不等式,往往是某个一般性命题的特殊情况,这时,不妨”返璞归真”,通过双向加强还原其本来面目,从而顺利解决原不等式.其基本原理为:
欲证明,只要证明:.
例60.已知数列满足:,求证:
解析:,从而,所以有
,所以
又,所以,所以有
所以
所以综上有
引申:已知数列满足:,求证:.
解析:由上可知,又,所以
从而
又当时, ,所以综上有.
同题引申: 已知数列, , ,.
记,.求证:当时.
(1); (2); ★(3).
解析:(1),猜想,下面用数学归纳法证明:
(i)当时, ,结论成立;
(ii)假设当时, ,则时,
从而,所以
所以综上有,故
(2)因为则, ,…, ,相加后可以得到:,所以
,所以
(3)因为,从而,有,所以有
,从而
,所以
,所以
所以综上有.
例61.已知数列的首项, ,．
(1)证明:对任意的, ,;
(2)证明:.
解析:(1)依题,容易得到,要证, , ,
即证
即证,设所以即证明
从而,即,这是显然成立的.
所以综上有对任意的, ,
(法二)
,原不等式成立．
(2)由(1)知，对任意的，有
．
取，
则．
原不等式成立．
十四、经典题目方法探究
探究1.已知函数.若在区间上的最小值为,令.求证:.
证明:首先:可以得到.先证明
(方法一)
所以
(方法二)因为,相乘得:
,从而.
(方法三)设A=,B=,因为A 下面介绍几种方法证明 (方法一)因为,所以,所以有 (方法二),因为,所以 令,可以得到,所以有 (方法三)设所以,从而,从而 又,所以 (方法四)运用数学归纳法证明: (i)当时,左边=,右边=显然不等式成立; (ii)假设时, ,则时, ,所以要证明,只要 证明,这是成立的. 这就是说当时,不等式也成立,所以,综上有 探究2.设函数.如果对任何，都有，求的取值范围． 解析:因为,所以 设,则, 因为,所以 (i)当时,恒成立,即,所以当时,恒成立. (ii)当时, ,因此当时,不符合题意. (iii)当时,令，则故当时,. 因此在上单调增加.故当时, , 即.于是，当时， 所以综上有的取值范围是 变式：若,其中 且, ,求证: . 证明：容易得到 由上面那个题目知道 就可以知道 ★同型衍变:已知函数.若对任意 x∈(0,1) 恒有 f (x) >1, 求 a的取值范围. 解析:函数f (x)的定义域为(-∞, 1)∪(1, +∞), 导数为. (ⅰ) 当0< a≤2时, f (x) 在区间 (-∞, 1) 为增函数, 故对于任意x∈(0, 1) 恒有 f (x) > f (0) =1, 因而这时a满足要求. (ⅱ) 当a>2时, f (x) 在区间 (-,)为减函数, 故在区间(0,) 内任取一点, 比如取, 就有 x0∈(0, 1) 且 f (x0) < f (0) =1, 因而这时a不满足要求. (ⅲ) 当a≤0时, 对于任意x∈(0, 1) 恒有 ≥, 这时a满足要求. 综上可知, 所求 a的取值范围为 a≤2.下载本文
