1 求周期⽅波的傅⽴叶级数（复指数函数形式），画出|c n|-ω和?-ω图。

解：(1)⽅波的时域描述为：

按照定义：

(2) 从⽽：

傅⽴叶级数的复指数形式的幅值频谱图和相位频谱都是双边频谱图。

2 . 求正弦信号

的绝对均值

和均⽅根值

。

解：(1)

(2)

3.

求指数函数的频谱。

解：

5. 求被截断的余弦函数

的傅⽴叶变换。

)0;0(;)(≥>=-t Ae t x t

ααf

j A

dt e

Ae

dt e

t x f X ft

j t

ft

j παπαπ2)()(0

22+=

==

+∞

--+∞

∞

--

(1)被截断的余弦函数可以看成为：余弦函数与矩形窗

的点积，即：

(2)根据卷积定理，其傅⾥叶变换为：

6. 求指数衰减振荡信号（见图1-11b）：的频谱。

解：

t f

j

t

t f

j

t

t e

je

e

je

t

e

t

x0

2

2

02

1

2

1

sin

)(π

απ

α

αω-

-

-

--

=

=，

令

t

e

t

fα-

=

)(

根据傅⽴叶变换的频移性质：

)0

,0

(

;

sin

)(

≥

>

=-t

t

e

t

x tα

ω

α

)

)

(21

)(21(2)]()([21)(0000f f j f f j j f f F f f F j f X -+-++=--+=παπα7.设有⼀时间函数f (t )及其频谱如图所⽰。现乘以余弦函数cos ω0t （ω0>ωm ）。

在这个关系中函数f (t )称为调制信号，余弦函数cos ω0t 称为载波。试求调幅信号的f (t )cos ω0t 傅⽒变换，并绘制其频谱⽰意图。⼜：若ω0<ωm 将会出现什么情况？

解：(1)令

(2) 根据傅⽒变换的频移性质，有：

频谱⽰意图如下：

(3) 当ω0<ωm 时，由图可见，

出现混叠，不能

通过滤波的⽅法提取出原信号f (t )的频谱。

第⼆章习题答案

2.1 在使⽤灵敏度为90.9nC/MPa 的压电式⼒传感器进⾏压⼒测量时，⾸先将他与增益为 0.005V/nC 的电荷放⼤器相连，电荷放⼤器接到灵敏度为20mm/V 的笔试记录仪上，试求该压⼒测试系统的灵敏度。当压⼒变化为

3.5Mpa 时，记录笔在记录纸上的偏移量是多少？解：（1）求解串联系统的灵敏度。

)/(09.920005.09.90pa mm s ==

（2）记录笔的偏移量为：

mm mm X 815.32)(09.95.3=?=

2. ⽤⼀个时间常数为0.35s 的⼀阶装置去测量周期分别为1s ，2s ，5s 的正弦信

号，问幅值误差将是多少？

解：()()()

ωωωτωωX Y j j H =

+=+=135.0111 ()()2

35.011?

+=+=πωωA 当T=1s 时，()41.01=ωA ，即x Y A A 41.0=，误差为59%

当T=2s 时，()67.02=ωA ，误差为33% 当T=5s 时，()90.03=ωA ，误差为8%

3. 求周期信号()()

45100cos 2.010cos 5.0-+=t t t x ，通过传递函数为

()1

05.01

+=s s H 的装置后所得到的稳态响应。

解：利⽤叠加原理及频率保持性解题

()(

)()

45100sin 2.09010sin 5.0+++=t t t x ()()

()

2

2

005.01111ωτωω+=

+=

A ，

()()ωωφ005.0arctg -=

101=ω，()11=ωA ，() 86.21-=ωφ

()()

86.29010sin 15.01

-+=t t y ，

1002

=ω，().02=ωA ，() 57.262-=ωφ

()() 4557.26100sin .02.02

+-=t t y

()()()

43.18100sin 178.014.8710sin 5.0+++=∴t t t y

5. 想⽤⼀个⼀阶系统作100Hz 正弦信号的测量，如要求振幅误差在5%以内，则时间单常数应去多少？若⽤该系统测试50Hz 正弦信号，问此时的振幅误差和相⾓差是多少？

解：由振幅误差

()%511||00≤-=-=-=ωA A AI I

∴ ()%95≥ωA

即 ()()%9511

2

=+=τωωA ，

()

95.0100211

2

=?+t π，s 41023.5-?=τ当πππω1005022=?==f ，且s 41023.5-?=τ时 ()()%7.981001023.511

24

≈+=-πωA

∴此时振幅误差%3.1%7.9811=-=E

()() 3.91001023.54-≈-=-πωφarctg

6. 试说明⼆阶装置阻尼⽐τ

多⽤0.6～0.7的原因。

答：⼆阶系统是⼀个振荡环节，从测试⾓度来看，希望测试装置在宽⼴的频率范围内由于频率特性不理想所引起的误差尽可能⼩。为此，取阻尼⽐τ

为0.6～0.7，可获得较⼩的误差和较宽的⼯作频率范围。

７．求频率响应函数()()

2

176157753601.013155072

ωωω-++j j 的系统对正弦输⼊

()()t t x 8.62sin 10=的稳态响应的均值显⽰。

解：写成标准形式

()()()()[]

2

22

21n

n n

j j j a H ωωξωωτωωω+++?= ()()()

()()21256125621256101.01

2

22

++-+=ωξωωj j

∴ ()()2157753612568.6211

01.08.62112

22?+

-+=ωA

7.199.069.1=?=

对正弦波，122

107.12=?==A u x 9．试求传递函数分别为5.05.35

.1+s 和2

2224.141n

n n S S ωωω++的两个环节串联后组成的系统的总灵敏度（不考虑负载效应）

解： ()()()ωωω21H H H ?=

()1

73

5.05.35.11+=+=S S H ω，31=S

()2

2224.141n

n n

S S H ωωωω++=，412=S 12341321=?=?=S S S

10. 某⼒传感器可以作为⼆阶振荡系统处理。已知传感器的固有频率为800Hz ，阻尼⽐14.0=ξ，问使⽤该传感器作频率为400Hz 的正弦⼒测试时，其振幅⽐()ωA 和相⾓差()ω?各为多少？若该装置的阻尼⽐可改为7.0=ξ，问()ωA 和()ω?⼜将作何种变化？

解：作频率为400Hz 的正弦⼒测试时

()2

222411

+?

-=n n A ωωξωωω

()2

22280040014.0480040011

+

-=

31.1≈

()212

-

-=n n arctg ωωωωξω? 2800400180040014.02?-

-=arctg 6.10-≈

当阻尼⽐改为7.0=ξ时

()()97.08004007.0480040011

2

222≈

+

-=ωA

() 4380040018004007.022

-≈?

-

-=arctg ω? 即阻尼⽐变化时，⼆阶振荡系统的输出副值变⼩，同时相位⾓也变化剧烈，相位差变⼤。

第三章思考题与练习题

3.2试举出你所熟悉的5种传感器，并说明他们的变换原理。答：（1）电阻应变式传感器，变换原理是传感器上的应变⽚发⽣机械变形时，其电阻值发⽣变化。

（2）电容式传感器，变换原理是将被测物理量转换为电容量。（3）压电式传感器，变换原理是将外⼒转换为电荷量的变化。（4）电感式传感器，变换原理为将⼒、位移转换为电感量。（5）热电式传感器，变换原理是将温度转换为电量变化。

3.3 电阻丝应变⽚与半导体应变⽚在⼯作原理上有何区别？各有何优缺点？应如何针对具体情况来选⽤？答：电阻丝应变⽚利⽤导体形变引起的电阻变化，半导体应变⽚利⽤半导体电阻率变化引起电阻变化。半导体应变⽚的灵敏度远⼤于⾦属材料应变⽚。半导体应变⽚多数⽤薄硅⽚制成，容易断裂，其最⼤应变在3000µξ，⽽⾦属丝应变⽚的可测应变值达40000µξ。另外，半导体应变⽚的⾮线性⼤，⼯作温度范围窄。

3.4 有⼀电阻应变⽚，其灵敏度为Sg=2，R=120Ω，设⼯作时其应变为1000µξ，为?=?R 设此应变⽚接成图中所⽰的电路，试求：1）⽆应变时电流表⽰值；2）有应变时电流表⽰值；3）电流表⽰值相对变化量；4）试分析这个变量能否从表中读出？解：据ξg S R

R

=?，则Ω===?-24.01201010263R S R g ξ（1）⽆应变时，电流表的⽰值为：

）（）（）（⽆mA 5.12A 0125.0A 120

5

.1===I

（2）有应变时电流⽰值为：

）（）（）（有mA 475.12A 012475.0A 24

.01205

.1I ==+=

（3）电流表⽰值相对变化量

%2.0002.05.12475

.125.12==- （4）在⽬前状态下，1000µξ只引起电流表中0.2%的电流变化，固⽆法从表中读出。 3.5 电感传感器（⾃感型）的灵敏度与哪些因素有关？要提⾼灵敏度可采⽤哪些措施？采⽤这些措施会带来什么样的后果？

答：电感传感器（⾃感型）的灵敏度2

022δµA N s =，即灵敏度s 与⽓隙长度δ的平

⽅成反⽐，与线圈匝数N 的平⽅成正⽐，要提⾼灵敏度S ，可增⼤N 或减⼩δ，但采⽤这些措施可会带来更⼤的⾮线性误差。

3.9 设按接触式与⾮接触式区分传感器，列出它们的名称、变换原理，⽤在何处？

接触式：差动变压器式传感器，利⽤电磁感应中的互感现象。可测位移（动态）

⾮接触式：涡流式传感器，利⽤⾦属导体在交流磁场中的涡电流效应。可测位移（动态）

3.11 ⼀压电式传感器的灵敏度S=90pC/MPa ，把它和⼀台灵敏度调到0.005V/pC

的电荷放⼤器连接，放⼤器的输出⼜接到⼀灵敏度已调到20mm/V 的光线⽰波器上记录，试绘制出这个测试系统的框图，并计算其总的灵敏度。

答：1)灵敏度2）响应特性3）线性范围 4）可靠性 5）精确度 6）测量⽅法

第四章习题答案

1．以阻值，灵敏度Sg=2的电阻丝应变⽚与阻值为的固定电阻组成电桥，供桥电压为 3 V ，并假定负载为⽆穷⼤，当应变⽚的应变为2µε和2000µε是，分别求出单臂、双臂电桥的输出电压，并⽐较两种情况下的灵敏度。解：(1)对于电阻型应变⽚来说，

当应变⽚的应变为

时：

单臂电桥的输出电压为：

双臂电桥的输出电压为：

(2)当应变⽚的应变为

时：

单臂电桥的输出电压为：

双臂电桥的输出电压为：

通过计算可知：双臂电桥的灵敏度⽐单臂电桥⾼⼀倍。

2．有⼈在使⽤电阻应变⽚时，发现灵敏度不够，于是试图在⼯作电桥上增加电阻应变⽚数以提⾼灵敏度。试问，在下列情况下，是否可提⾼灵敏度？说明为什么？

1）半桥双臂各串联⼀⽚。

2) 半桥双臂各并联⼀⽚。

解：(1)未增加电阻应变⽚时，半桥双臂的灵敏度为：

当半桥双臂各串联⼀⽚时：

简化电路，设

时，计算得：，所以不能提⾼灵敏度。

(2)当半桥双臂各并联⼀⽚时：

简化电路，设

时，计算得：，所以也不能提⾼灵敏度。

3.⽤电阻应变⽚接成全桥，测量某⼀构件的应变，已知其变化规律为

如果电桥激励电压是

。求此电桥输出信号的频谱。

解：(1)电桥输出电压

，其中为电阻应变⽚的灵敏度，

所以得：

因为：

(2)

5．已知调幅波

其中，

试求：1）所包含的各分量的频率及幅值；

2）绘出调制信号与调幅波的频谱。解：1）各分量频率及幅值为：，

，

，

，

，

2）调制信号频谱图：

调幅波的频谱图：

10．设⼀带通滤波器的下截⽌频率为

，上截⽌频率为

，中⼼频，试指出下列技术中的正确与错误。

1）频程滤波器

。

2)

3) 滤波器的截⽌频率就是此通频带的幅值

处的频率。

4) 下限频率相同时，倍频程滤波器的中⼼频率是

倍频程滤波器的中⼼频

率的

倍。

解：1）错误：

式中n 称为倍频程数。当n=1称为倍频程滤波

器；若n=1/3称为1/3倍频程滤波器。

2）对 3）对

4）对。根据（1）式中的公式推导。 4.10 解：1101 1111)(3+=+=+=-s RCs s s H τ 1

101

)(3

+=-ωωj H )

10(11

)(11)(3

2ωτωω-+=

+=A )10arctan()arctan()(3ωτωω?--=-=

)

451000sin(07.7)

451000sin(707.010))1000(1000sin()1000(100

0+=+?=+=t t t A U y ?4.11 解：2

)

(11

)(τωω+=A

)arctan()(τωω?-= ?

=?-==?+=

=56.26)1005.0arctan()10(816

.0)

1005.0(11)10(10?ωA 时，

=?-==?+=

=69.78)10005.0arctan()100(408

.0)

10005.0(11)100(100?ωA 时，

)69.33100cos(0816.0)56.2610cos(408.0)

69.7845100cos(408.02.0)56.2610cos(816.05.0)(? +++=+-?++?=t t t t t y下载本文