C 1

B C A 1线线角与线面角习题

一、复习目标

1.理解异面直线所成角的概念,并掌握求异面直线所成角的常用方法．

2.理解直线与平面所成角的概念，并掌握求线面角常用方法．

3.掌握求角的计算题步骤是“一作、二证、三计算”,思想方法是将空间图形转化为平面图形即“降维”的思想方法.

二、课前预习

1.在空间四边形ABCD 中，AD=BC=2, E 、F 分别为AB 、CD 的中点且EF=3，AD 、BC 所成的角为 .

2.如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中 ，B 1C 和C 1D 与底面所成的角分别为60ο和45ο，则异面直线B 1C 和C 1D 所成角的余弦值为

( )

(A). 46 (B).36 (C).62 (D).63 3.平面α与直线a 所成的角为3π,则直线a 与平面α内所有直线所成的角的取值范围是 ．

4.如图,ABCD 是正方形,PD ⊥平面ABCD,PD=AD,则PA 与BD 所成的角的度数为

(A).30ο (B).45ο (C).60ο (D).90ο 5.有一个三角尺ABC,∠A=30ο, ∠C=90ο,BC 是贴于桌面上,

当三角尺与桌面成45ο角时,AB 边与桌面所成角的正

弦值

是 ．

三、典型例题

例1.(96·全国) 如图,正方形ABCD 所在平面与正方形

ABEF 所在平面成60ο角,求异面直线AD 与BF 所成角的余弦值.

备课说明:1.求异面直线所成的角常作出所成角的平面图形.作法有: ①平移法:在异面直线的一条上选择“特殊点”,作另一条直线平行线

或利用中位线.②补形法:把空间图形补成熟悉的几何体,其目的在于容 易发现两条异面直线的关系.2.解立几计算题要先作出所求的角,并要

有严格的推理论证过程,还要有合理的步骤.

例2.如图在正方体AC 1中, (1) 求BC 1与平面ACC 1A 1所成的角; (2) 求A 1B 1与平面A 1C 1B 所成的角.

备课说明:求直线与平面所成角的关键是找直线在此平面上的射影,为此必须在这条直线上找一点作平面的垂线. 作垂线

的方法常采用:①利用平面垂直的性质找平面的垂线.②点的射影在面内的特殊位置.

例3. 已知直三棱住ABC-A 1B 1C 1,AB=AC, F 为棱BB 1上一点,BF ∶FB 1=2∶1, BF=BC=a 2. (1)若D 为BC 的中点,E 为线段AD 上不同于A 、D 的任意一点,证明：EF ⊥FC 1; (2)试问:若AB=a 2,

在线段AD 上的E 点能否使EF 与平面BB 1C 1C 成60ο角,为什么?证明你的结论. 备课说明:这是一道探索性命题,也是近年高考热点问题,解 A C B A D C 1D 1A 1B 1C B A 1C B

A B 1D C 1E F

D A B P C D A C B

F E

决这类问题,常假设命题成立,再研究是否与已知条件矛盾,

从而判断命题是否成立.

四、反馈练习

1设集合A 、B 、C 分别表示异面直线所成的角、平面的斜线与平面所成的角、直线与平面所成的角的取值范围,则

(A)A=B=C (B)A=B ⊂C (C)A ⊂B ⊂C (D) B ⊂A ⊂C.

2两条直线a ,b 与平面α所成的角相等,则直线a ,b 的位置关系是

(A)平行 (B)相交 (C)异面 (D) 以上均有可能. 3设棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为AA 1和BB 1的中点，则直线CM 和D 1N 所成角的正弦值为 .

4已知a 、b 是一对异面直线，且a 、b 成60o 角，则在过空间任意点P 的所有直线中，与a 、b 均成60o 角的直线有 条.

5异面直线a 、b 互相垂直，

c 与a 成30o 角，则c 与b 所成角的范围是 . 6∠ACB=90ο在平面α内,PC 与CA 、CB 所成的角∠PCA=∠PCB=60o ,则PC 与平面α所成的角为 .

7设线段AB=a ,AB 在平面α内,CA ⊥α,BD 与α成30ο角,BD ⊥AB,C 、D 在α同

侧,CA=BD=b .求: (1)CD 的长;(2)CD 与平面α所成角正弦值.

课前预习

1. 60ο

2.A

3. [3

π,2π] 4.C 5.46 典型例题

例1解:∵CB ∥AD

∴∠CBF 为异面直线AD 与BF 所成的角.连接CF 、CE 设正方形ABCD 的边长为α,则BF=a 2∵CB ⊥AB, EB ⊥AB ∴∠CEB 为平面ABCD 与平面ABEF 所成的角

∴∠CBE=∠60ο ∴CE=a FC=a 2 ∴cos ∠CBF=4

2 例2解:(1)设所求的角为α,先证BD ⊥平面ACC 1A 1,则sin α=sin ∠

OC 1B=1BC OB =2

1.故α=30o .(2)△A 1BC 1是正三角形,且A 1B 1=B 1C 1=BB 1. ∴棱锥B 1-A 1BC 1是正三棱锥.过B 1作B 1H ⊥平面A 1BC 1,连A 1H, ∠B 1A 1H 是直线A 1B 1与平

面A 1C 1B 所成的角.设A 1B 1=a 则A 1B =a 2得A 1H =a 3

6.故cos ∠B 1A 1H=111B A H A =3

6.所求角为36arccos 例3解:(1)连接OF ,容易证明AD ⊥面BB 1C 1C, DF 是EF 在面B 1C 1CB 的射影,且DF ⊥FC 1,

∴FC 1⊥EF.(2) ∵AD ⊥面BB 1C 1C , ∠EFD 是EF 与平面BB 1C 1C 所成的角.在△EDF 中,若∠EFD=60ο,则ED =DF ·tan 60ο=3·5=a 15,∵AB=BC=AC=2a ,∴AD=a 3.∵a 15>a 3.∴E 在DA 的延长线上,而不在线段AD 上;故线段AD 上的E 点不可能使EF 与平面BB 1C 1C 成60ο角.

反馈练习

2. D

3. 9

54 4. 3 5.[ 60ο,90ο] 6. 45ο 7.解:(1)作DD ＇⊥α于D ＇,连接AD ＇,BD ＇.CA ⊥α,∴CA ∥DD ＇.四边形CAD ＇D 是直角梯形,∠CAD ＇=∠D D ＇A =90ο,AB α⊂,AB ⊥DD ＇.又AB ⊥BD,∴AB ⊥平面BDD ＇,BD ＇⊂平面BDD ＇.∴AB ⊥BD ＇.∵∠DBD ＇是BD 与α所成的角,∴∠DBD ＇=30ο,BD =b ,DD ＇=

2b ,BD ＇=23b .在△ABD ＇中,AB=a ,BD ＇=23b ,∠ABD ＇=90ο,∴AD ＇=22＇BD AB +=432

2b a +.在CAD ＇D 中，CD=222'2')(b a D D AC AD +=-+.

(2)作D ＇C ＇∥DC 交CA 于C ＇,∠C ＇D ＇A 是CD 与α所成的角,sin ∠C ＇D ＇A=22'2''b

a b D C AC +=. 线面角与面面角练习

一、知识与方法要点：

1．斜线与平面所成的角就是斜线与它在平面内的射影的夹角。求斜线与平面所

成的角关键是找到斜线在平面内的射影，即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足，这时经常要用面面垂直来确定垂足的位置。若垂足的位置难以确定，可考虑用其它方法求出斜线上一点到平面的距离。

2．二面角的大小用它的平面角来度量，求二面角大小的关键是找到或作出它的

平面角(要证明)。作二面角的平面角经常要用三垂线定理，关键是过二面角的一个面内的一点向另一个面作垂线，并确定垂足的位置。若二面角的平面角难以作出，可考虑用射影面积公式求二面角的大小。

3．判定两个平面垂直，关键是在一个平面内找到一条垂直于另一个平面的直线。 两个平面垂直的性质定理是：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．

二、例题

例1．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 为C 1D 1中点．

(1)求证：AC 1⊥平面A 1BD ．

(2)求BM 与平面A 1BD 成的角的正切值．

解： (1)连AC ， ∵C 1C ⊥平面ABCD ，

∴C 1C ⊥BD ．

又AC ⊥BD ， ∴AC 1⊥BD ．同理AC 1⊥A 1B

∵A 1B∩BD=B．∴AC 1⊥平面A 1BD ．

(2)设正方体的棱长为a ，连AD 1，AD 1交A 1D 于E ，连结ME ，在△D 1AC 1中，ME ∥AC 1，

∵AC 1⊥平面A 1BD ．∴ME ⊥平面A 1BD ．

连结BE ，则∠MBE 为BM 与平面A 1BD 成的角．在Rt MEB ∆中，

132AC ME ==， 2

2262BE a a ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭，∴2tan 2ME MBE BE ∠==． 例2．如图，把等腰直角三角形ABC 以斜边AB 为轴旋转，

使C 点移动的距离等于AC 时停止，并记为点P ．

（1）求证：面ABP ⊥面ABC ；（2）求二面角C-BP-A 的余弦值．

证明（1）? 由题设知AP ＝CP ＝BP ．∴点P 在面ABC 的射影D 应是△ABC 的外心，

即D ∈AB ．∵PD ⊥AB ，PD ⊂面ABP ，由面面垂直的判定定理知，面ABP ⊥面ABC ．

（2）解法1? 取PB 中点E ，连结CE 、DE 、CD ．∵△BCP 为正三角形，∴CE ⊥BD ．

△BOD 为等腰直角三角形，∴DE ⊥PB ．∴∠CED 为二面角C-BP-A 的平面角． 又由（1）知，面ABP ⊥面ABC ，DC ⊥AB ，AB ＝面ABP ∩面ABC ，

由面面垂直性质定理，得DC ⊥面ABP ．∴DC ⊥DE ．因此△CDE 为直角三角形．

设1BC =，则32CE =，12DE =，1

32cos 33

2

DE CED CE ∠===． 例3．如图所示，在正三棱柱111ABC A B C -中，1E BB ∈，截面1A EC ⊥侧面1AC ．

(1)求证：1BE EB =；

(2)若111AA A B =，求平面1A EC 与平面111A B C

所成二面角(锐角)的度数．

证明：在截面A1EC 内，过E 作EG ⊥A 1C ，G 是垂足，如图，

∵面A 1EC ⊥面AC 1，∴EG ⊥侧面AC 1．

取AC 的中点F ，分别连结BF 和FC ，由AB ＝BC 得BF ⊥AC ．

∵面ABC ⊥侧面AC 1，∴BF ⊥侧面AC 1，

得BF ∥EG ．BF 和EG 确定一个平面，交侧面AC 1于FG ．

∵BE ∥侧面AC 1，∴BE ∥FG ，四边形BEGF 是

，BE ＝FG ． ∴BE ∥AA 1，∴FG ∥AA 1，△AA 1C ∽△FGC ．

解：(2)分别延长CE 和C1B1交于点D ，连结A 1D ．

∵∠B 1A 1C 1＝∠B 1C 1A 1＝60°，

∴∠DA 1C 1＝∠DA 1B 1＋∠B 1A 1C 1＝90°，即 DA 1⊥A 1C 1．∵CC 1⊥面A 1C 1B 1， 由三垂线定理得DA 1⊥A 1C ，所以∠CA 1C 1是所求二面角的平面角．且∠A 1C 1C ＝90°．

∵CC 1＝AA 1＝A 1B 1＝A 1C 1，∴∠CA 1C 1＝45°，即所求二面角为45°． 说明：如果改用面积射影定理，则还有另外的解法．

三、作业：

1．已知平面?的一条斜线a 与平面?成?角，直线b ，且a,b 异面，则a 与b 所成的角为

（A ）

A ．有最小值?，有最大值2π

B ．无最小值，有最大值2

π。 C ．有最小值?，无最大值

D ．有最小值?，有最大值?。 2．下列命题中正确的是 （D ）

A ．过平面外一点作该平面的垂面有且只有一个

B ．过直线外一点作该直线的平行平面有且只有一个

C ．过直线外一点作该直线的垂线有且只有一条

D ．过平面外的一条斜线作该平面的垂面有且只有一个

3．一条长为60的线段夹在互相垂直的两个平面之间，它和这两个平面所成的角分别为

45°和30°，这条线段的两个端点向平面的交线引垂线，则垂足间的距离是

（A ）

A ．30

B ．20

C ．15

D ．12

4．设正四棱锥S —ABCD 的侧棱长为2，底面边长为3，E 是SA 的中点，则异面直线BE 与SC 所成的角是

（C ）

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．90°

5．正三棱锥的侧面与底面所成的二面角为arctan 22，则它的侧棱与底面所成的角为2

6．A 是△BCD 所在平面外的点，∠BAC=∠CAB=∠DAB=60°，AB=3，AC=AD=2. （Ⅰ）求证：AB ⊥CD ； （Ⅱ）求AB 与平面BCD 所成角的余弦值.

7．正四面体ABCD 中，E 是AD 边的中点，求：CE 与底面BCD 所成角的正弦值．

解?过A ，E 分别作AH ⊥面BCD ，EO ⊥面BCD ，H ，O 为垂足，

∴AH 2OE ，AH ，OE 确定平面AHD ，连结OC ，

∠ECO 即为所求．∵AB=AC=AD ，∴HB=HC=HD

∵△BCD 是正三角形，∴H 是△BCD 的中心，

连结DH 并延长交BC 于F ，F 为BC 的中点，

22333323

DH DF a a ==⨯=，在Rt △ADH 中， 8．在四面体ABCD 中，DA ⊥面ABC ，∠ABC ＝90°，AE ⊥CD ，AF ⊥DB ．

求证：（1）EF ⊥DC ；（2）平面DBC ⊥平面AEF ．

证明 ?如图1-83．（1）∵AD ⊥面ABC ．∴AD ⊥BC ．又∵∠ABC

＝90°．∴BC ⊥AB ．

∴BC ⊥面DAB ．∴DB 是DC 在面ABD 内的射影．∵AF ⊥DB ．∴AF

⊥CD （三垂线定理）．

∵AE ⊥CD ．∴CD ⊥平面AEF ．∴CD ⊥EF ．

（2）∵CD ⊥AE ，CD ⊥EF ．∴CD ⊥面AEF ．∵CD 面BCD ．∴面

AEF ⊥面BCD ．

（3）由EF ⊥CD ，AE ⊥CD ∴∠AEF 为二面角B-DC-A 的平面

又∵AF ⊥DB ，AF ⊥CD ，BD∩CD＝D ∴AF ⊥平面DBC ，

二面角题目：

例1． 如图所示，已知PA ⊥面ABC ，,PBC ABC S S S S ∆∆'==，二面角P BC A

--的平面角为θ，求证：cos S S '⋅= 2．如图，在空间四边形ABCD 中，BCD ∆是正三角形，ABD ∆是等腰

直角三角形，且90BAD ∠=，又二面角A BD C --为直二面角，求二面角A CD B --的大小。 例3．设A 在平面BCD 内的射影是直角三角形BCD 的斜边BD 的中点

D

C B P A

D C F

H

B A

E D'B'C'A'O D A C B O

，1,AC BC CD ===

求（1）AC 与平面BCD 所成角的大小；

（2）二面角A BC D --的大小；

（3）异面直线AB 和CD 所成角的大小。 例4.在正方体ABCD A B C D ''''-中，M 为AA '的中点，求截面DMB '与底面ABCD 所成较小的二面角的大小。

选用：如图，正方体的棱长为1，'B C BC O '=，求：

（1）AO 与A C ''所成角；

（2）AO 与平面ABCD 所成角的正切值；

（3）平面AOB 与平面AOC 所成角

解：（1）∵//A C AC '' ∴AO 与A C ''所成角就是OAC ∠ ∵,OC OB AB ⊥⊥平面BC ' ∴OC OA ⊥（三垂线定理）

在Rt AOC ∆中，

,2OC AC ==∴30OAC ∠= （2）作OE BC ⊥，平面BC '⊥平面ABCD

∴OE ⊥平面ABCD ，OAE ∠为OA 与平面ABCD 所成角

在Rt OAE ∆

中，1,2OE AE ===

∴tan OE OAE AE ∠== （3）∵,OC OA OC OB ⊥⊥ ∴OC ⊥平面AOB 又∵OC ⊂平面AOC ∴平面AOB ⊥平面AOC 即平面AOB 与平面AOC 所成角为90下载本文