江苏省海安县曲塘镇花庄初中（226661）马金全

一、求三角形的外接圆的半径

1、直角三角形

如果三角形是直角三角形，那么它的外接圆的直径就是直角三角形的斜边.

例1已知：在△ABC中，AB＝13，BC＝12，AC＝5

求△ABC的外接圆的半径.

解：∵AB＝13，BC＝12，AC＝5，

∴AB2＝BC2＋AC2，

∴∠C＝90°，

∴AB为△ABC的外接圆的直径，

∴△ABC的外接圆的半径为6.5.

2、一般三角形

①已知一角和它的对边

例2如图，在△ABC 中，AB＝10，∠C＝100°，

求△ABC外接圆⊙O的半径.（用三角函数表示）

分析：利用直径构造含已知边AB的直角三角形.

解：作直径BD，连结AD.

则∠D＝180°－∠C＝80°，∠BAD＝90°

∴BD＝＝

∴△ABC外接圆⊙O的半径为.

注：已知两边和其中一边的对角，以及已知两角和一边，都可以利用本题的方法求出三角形的外接圆的半径.

例3如图，已知，在△ABC 中，AB＝10，∠A＝70°，∠B＝50°

求△ABC外接圆⊙O的半径.

分析：可转化为①的情形解题.

解：作直径AD，连结BD.

则∠D＝∠C＝180°－∠CAB－∠BAC＝60°，∠DBA＝90°

∴AD＝＝＝

∴△ABC外接圆⊙O的半径为.

②已知两边夹一角

例4如图，已知，在△ABC 中，AC＝2，BC＝3，∠C＝60°

求△ABC外接圆⊙O的半径.

分析：考虑求出AB，然后转化为①的情形解题.

解：作直径AD，连结BD.作AE⊥BC，垂足为E.

则∠DBA＝90°，∠D＝∠C＝60°，CE＝AC＝1，AE＝，

BE＝BC－CE＝2，AB＝＝

∴AD＝＝＝

∴△ABC外接圆⊙O的半径为.

③已知三边

例5如图，已知，在△ABC 中，AC＝13，BC＝14，AB＝15

求△ABC外接圆⊙O的半径.

分析：作出直径AD，构造Rt△ABD.只要求出△ABC中BC边上的高AE，利用相似三角形就可以求出直径AD.

解：作直径AD，连结BD.作AE⊥BC，垂足为E.

则∠DBA＝∠CEA＝90°，∠D＝∠C

∴△ADB∽△ACE      ∴

设CE＝x, ∵AC2-CE2＝AE2＝AB2-BE2  ∴132-x2＝152-(14-x)2    x=5,即CE＝5

∴AE＝12    ∴    AD＝      ∴△ABC外接圆⊙O的半径为.

二、求三角形的内切圆的半径

1、直角三角形

例6已知：在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c

求△ABC外接圆⊙O的半径.

解：可证四边形ODCE为正方形.设⊙O的半径为r，

则CD=CE=r,BD=a-r,AE=b-r，  ∴(a-r)+(b-r)=c, 

∴r=,即△ABC外接圆⊙O的半径为.

2、一般三角形

①已知三边

例7已知：如图，在△ABC 中，AC＝13，BC＝14，AB＝15

求△ABC内切圆⊙O的半径r.

分析：考虑先求出△ABC的面积，再利用“面积桥”，从而求出内切圆的半径.

解：利用例5的方法，或利用海式S△＝(其中s=)可求出S△ABC＝84，从而AB•r+BC•r+AC•r=84, ∴r=4

②已知两边夹一角

例8已知：如图，在△ABC 中，cotB＝,AB＝5，BC＝6

求△ABC内切圆⊙O的半径r.

分析：考虑先通过解三角形，求出△ABC的面积及AC的长，再利用“面积桥”，从而求出内切圆的半径.

解：作△ABC的高AD.解直角三角形可得AD＝3，CD＝2，AC＝，

因为AB•r+BC•r+AC•r=BC•AD, 可求得r=

③已知两角夹一边

例9已知：如图，在△ABC 中，∠B＝60°，∠C＝45°,BC＝6

求△ABC内切圆⊙O的半径r.(精确到0.1)

分析：思路方法同上，读者可完成.

总之，只要通过边、角能确定三角形，就可以借鉴上面的方法求出这个三角形的外接圆和内切圆的半径.下载本文