2.1  一元二次不等式的解法

整体设计

三维目标

1.深刻理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系，逐步提高学生的运算能力和逻辑思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力.

2.通过含参不等式的探究，正确地对参数分区间进行讨论.由于字母较多又要讨论，所以往往成为学生的薄弱环节,要通过借助数轴的直观效果，熟练掌握.

3.通过图像解法渗透数形结合、分类化归等数学思想，培养学生动手能力、观察分析能力、抽象概括能力、归纳总结等系统的逻辑思维能力,培养学生简约直观的思维方法和良好的思维品质.

重点难点

教学重点:从实际问题中抽象出一元二次不等式模型，突出体现数形结合的思想. 熟练地掌握一元二次不等式的解法.

教学难点:深刻理解二次函数，一元二次方程与一元二次不等式解集之间的联系.

课时安排

3课时

教学过程

第1课时

导入新课

思路1.(直接导入)让学生阅读课本上汽车的滑行问题.通过建立甲、乙两辆车的刹车距与车速之间的函数关系,判断哪一辆车违章行驶.由此抽象出不等关系，引出一元二次不等式的概念.

思路2.(类比导入)同思路1，得出一元二次不等式后，让学生回忆解方程3x+2=0的方法.作函数y=3x+2的图像,解不等式3x+2>0.我们发现一元一次方程、一元一次不等式与一次函数三者之间有着密切的联系.利用这种联系我们可以快速准确地求出一元一次不等式的解集.类似地，我们能不能将现在要求解的一元二次不等式与二次函数联系起来,找到其求解方法呢？由此展开新课.

推进新课

新知探究

提出问题

①阅读课本并回答怎样从实际问题中抽象出不等式？

②什么是一元二次不等式？

③回忆一元一次方程、一元一次不等式及一次函数三者之间有什么联系？

④类比“三个一次”之间的关系，怎样探究一元二次不等式的解法？

活动:以多媒体课件的形式出示给学生.

    汽车在行驶过程中,由于惯性的作用,刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住,一般称这段距离为“刹车距”.刹车距s(m)与车速x(km/h)之间具有确定的函数关系,不同车型的刹车距函数不同.它是分析交通事故的一个重要数据.

    甲、乙两辆汽车相向而行,在一个弯道上相遇,弯道车速在40 km/h以内,由于突发情况,两车相撞了.交警在现场测得甲车的刹车距离接近但未超过12 m,乙车的刹车距离刚刚超过了10 m,又知这两辆汽车的刹车距s(m)与车速x(km/h)之间分别有以下函数关系:

s甲=0.01x2+0.1x,

s乙=0.005x2+0.05x,

谁的车速超过了40 km/h,谁就违章了.

试问:哪一辆车违章行驶?

    由题意,只需分别解出不等式0.01x2+0.1x≤12和0.005x2+0.05x>10,确认甲、乙两车的行驶速度,就可以判断哪一辆车违章超速行驶.由此引出一元二次不等式的概念.

    我们把形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)的不等式(其中a≠0),叫作一元二次不等式.如2x2-3x-2>0，3x2-6x<-2,-2x2+3<0等都是一元二次不等式.探究它的解法是我们这节课学习讨论的重点.

    为了探究一元二次不等式的解法，教师可引导学生先回忆已经学过的一元一次不等式的解法，回忆一元一次不等式与一元一次方程及一次函数三者之间的关系.这样做不仅仅是为探究一元二次不等式的解法寻找类比的平台，也是为学生对不等式的知识结构有个系统的掌握.

    一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系：可通过观察一次函数的图像求得一元一次不等式的解集.函数图像与x轴的交点横坐标为方程的根，不等式的解集为函数图像落在x轴上方(下方)部分对应的横坐标.如下表，可利用多媒体课件，让学生填写相关内容.

类比以上，我们来探究一元二次不等式与一元二次方程与二次函数的关系，并从中找出解决一元二次不等式的求解方法 .

如何解一元二次不等式x2-2x-3<0?

当x变化时,不等式的左边可以看作是x的函数.确定满足不等式x2-2x-3<0的x,实际上就是确定x的范围.也就是确定函数y=x2-2x-3的图像在x轴下方时,其x的取值范围.

观察二次函数y=x2-2x-3的图像(如图1),并回答以下问题:

图1

(1)x的取值范围是什么时,y=0?

(2)x的取值范围是什么时,y<0?

经过观察与比较,我们可以发现:

    对于(1),就是求一元二次方程x2-2x-3=0的解,它们是x1=-1,x2=3,即x1=-1或x2=3时,y=0.

二次函数y=x2-2x-3的图像与x轴的交点坐标是(-1,0)与(3,0).

    对于(2),不难看出,当-1我们知道任何一个一元二次不等式，最后都可以化为ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a＞0）的形式，而且我们已经知道，一元二次不等式的解与其相应的一元二次方程的根及二次函数的图像有关，即由抛物线与x轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集.

    由于一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根有三种情况，即两个不等实根，两个相等实根，无实根，反映在其判别式Δ=b2-4ac上分别为Δ>0,Δ=0,Δ<0三种情况.相应地，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴的相关位置也分为三种情况（如图2）.因此，对相应的一元二次不等式ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a＞0）的解集我们也分这三种情况进行讨论.

图2

（1）若Δ＞0，此时抛物线y=ax2+bx+c(a＞0)与x轴有两个交点〔图（1）〕，即方程ax2+bx+c=0(a＞0)有两个不相等的实根x1，x2（x1＜x2）,则不等式ax2+bx+c＞0（a＞0）的解集是{x|x＜x1或x＞x2}；不等式ax2+bx+c＜0（a＞0）的解集是{x|x1＜x＜x2}.

（2）若Δ=0，此时抛物线y=ax2+bx+c(a＞0)与x轴只有一个交点〔图（2）〕，即方程ax2+bx+c=0(a＞0)有两个相等的实根x1=x2=,则不等式ax2+bx+c＞0（a＞0）的解集是{x|x≠}；不等式ax2+bx+c＜0（a＞0）的解集是.

(3)若Δ＜0，此时抛物线y=ax2+bx+c(a＞0)与x轴没有交点〔图(3)〕，即方程ax2+bx+c=0(a＞0)无实根，则不等式ax2+bx+c＞0（a＞0）的解集是R；不等式ax2+bx+c＜0（a＞0）的解集是.

讨论结果：①—④略.

应用示例

思路1

例1  解不等式3x2+5x-2>0.

    活动：本例目的是让学生熟悉怎样结合二次函数、一元二次方程求解一元二次不等式，以及怎样书写解题步骤和解集.本题难度不大，但需要求学生最终达到得心应手的熟练程度，因此需要学生多加练习.本例可让学生自己解决,充分暴露问题，然后教师一一纠正点拨.

解：方程3x2+5x-2=0的两解是x1=-2,x2=.

函数y=3x2+5x-2的图像是开口向上的抛物线,与x轴有两个交点(-2,0)和(,0)(如图3).

图3

观察图像可得,不等式的解集为

{x|x<-2或x>}.

    点评:根据不等式3x2+5x-2>0的解集,你能得出不等式3x2+5x-2≥0的解集吗?与同学交流各自的结论.解答的规范性,并体会一元二次不等式与二次函数及二次方程的关系.

变式训练

1.设集合M={x|x2-x<0}，N={x||x|<2}，则（    ）

A.M∩N=             B.M∩N=M             C.M∪N=M          D.M∪N=R

解析：∵M={x|0∴MN.∴M∩N=M.

答案：B

2.已知集合A={x|x2-5x+6≤0}，集合B={x||2x-1|>3}，则集合A∩B等于（    ）

A.{x|2≤x≤3} B.{x|2≤x<3} C.{x|2解析：由x2-5x+6≤0，解得2≤x≤3.由|2x-1|>3，解得x<-1或x>2,所以A∩B={x|2答案：C

例2  求不等式9x2-6x+1>0的解集.

活动：教师引导学生观察不等式左边二次三项式的特点，这是一个完全平方式，其值恒为非负，引导学生结合二次函数y=9x2-6x+1的图像得出解集.

解：方程9x2-6x+1=0有两个相同实数解:

x1=x2=.

函数y=9x2-6x+1的图像是开口向上的抛物线,与x轴仅有一个交点(,0)(如图4).

图4

观察图像可得,不等式的解集是{x|x≠}.

点评：提醒学生要规范书写,最后结果可以写成（-∞,）∪(,+∞)，但不能写成x∈{x|x≠}或x≠.

变式训练

  解不等式4x2+4x+1<0.

解：∵4x2+4x+1=(2x+1)2≥0，由二次函数y=4x2+4x+1的图像，可知原不等式的解集为.

例3  解不等式:x2-4x+5>0.

图5

解:方程x2-4x+5=0无实数解,函数y=x2-4x+5的图像是开口向上的抛物线,与x轴无交点(如图5).

    观察图像可得,不等式的解集为R.

思路2

例1  解不等式4(2x2-2x+1)>x(4-x).

活动：教师点拨学生先将不等式化为ax2+bx+c>0的形式再求解.

解：原不等式整理，得9x2-12x+4>0.

∵Δ=144-4×9×4=0,方程9x2-12x+4=0的解是x1=x2=.

∴原不等式的解集是{x|x≠}.

例2  不等式ax2+bx+2>0的解集是{x|-A.-4                 B.14                 C.-10               D.10

解析：由ax2+bx+2>0的解集是{x|-∴

∴a=-12,b=-2.

∴a-b=-10.

答案：C

    点评：已知不等式的解集求相应系数，此类问题应转化为相应方程对应根的问题.运用根与系数的关系求解.

变式训练

  若不等式|8x+9|<7和不等式ax2+bx-2>0的解集相等，则实数a、b的值为（    ）

A.a=-8,b=-10          B.a=-4,b=-9             C.a=-1,b=9            D.a=-1,b=2

解析：由|8x+9|<7,得-2∴-2,-是方程ax2+bx-2=0的两根.

故.解得

答案：B

例3  解不等式≤.

活动：本例需要根据指数函数的性质，这对学生来说有点难度，教师可根据学生的探究情况适时点拨,将不等式等价转化为一元二次不等式.

解：原不等式等价于2x2-5x+6≥x2+x+6,即x2-6x≥0.

解这个一元二次不等式得x≤0或x≥6.

∴原不等式的解集为{x|x≤0或x≥6}.

知能训练

课本本节练习1  1、2、3.

课堂小结

1.由学生回顾本节课的探究过程，再次领悟通过二次函数图像解一元二次不等式的方法要领.点拨学生注意不要死记书上的解集表，要抓住对应的二次方程的“根”来活记活用,要重视数形结合思想.

2.教师强调，一元二次不等式的解集可用集合或区间表示，区间是特殊数集的表示方式，要能正确、熟练地使用区间表示不等式的解集.

作业

课本习题3—2  A组6、7(1)、(2).

设计感想

    本教案设计体现新课标理念.由于本节内容的工具性特点，课堂上要鼓励学生思考交流与动手实践，让学生养成思考和勇于质疑的习惯.同时也应学会与他人交流合作、培养严谨的科学态度和不怕困难的顽强精神.

    本教案设计强化了直观.由于本节教材内容有着丰富的几何背景,充分利用二次函数图像解一元二次不等式是新课标的特色.对一元二次不等式的解法，没有介绍较烦琐的纯代数的方法，而是结合二次函数的图像，采取简洁明了的数形结合方法，本教案设计中充分体现了新课标的编写意图.

    本教案设计突出二次函数的作用.一元二次不等式解集的得出是数形结合法运用的典型范例，必须要求学生对这种方法有深刻的认识与体会.必要时，甚至让学生像当初学习平面几何时识图一样，去认识函数的图像，从图像上真正把握其内在本质.

(设计者:郑吉星)

第2课时

导入新课

思路1.让学生回顾利用一元二次方程、二次函数间的关系求解一元二次不等式的操作过程，尝试自己画出求解一元二次不等式求解的基本过程的流程图，由此导入新课.

思路2.让学生思考回答一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系：设二次函数y=ax2+bx+c (a>0)的图像是抛物线l，则不等式ax2+bx+c＞0，ax2+bx+c＜0的解集分别是抛物线l在x轴上方，在x轴下方的点的横坐标x的集合；二次方程ax2+bx+c=0的根就是抛物线l与x轴的公共点的横坐标，即二次函数y=ax2+bx+c的零点，本节课进一步研究当a<0时,不等式ax2+bx+c>0(<0)的解法.

推进新课

新知探究

提出问题

①回忆一元二次不等式的解法，并说明一元二次不等式与一元二次方程、二次函数具有怎样的关系？

②回忆一般一元二次不等式的求解过程，你能用一个程序框图把这个求解过程表示出来吗？

③当a<0时,不等式ax2+bx+c>0(<0)的解法又怎样呢?

活动:教师引导学生回顾一元二次不等式与一元二次方程、二次函数之间的关系：设二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像是抛物线l，则不等式ax2+bx+c>0，ax2+bx+c<0的解集分别是抛物线l在x轴上方，在x轴下方的点的横坐标x的集合；一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是抛物线l与x轴的公共点的横坐标，即二次函数y=ax2+bx+c的零点，一元二次不等式的求解步骤，即程序是：

(1)将二次项系数化为“+”：y=ax2+bx+c＞0(＜0)(a＞0).

(2)计算判别式Δ，分析不等式的解的情况：

①Δ＞0时，求根x1＜x2，若

②Δ=0时，求根x1=x2=x0，

③Δ＜0时，方程无解，.

(3)画出相应的二次函数y=ax2+bx+c的图像.

(4)写出解集.

    为突出算法在数学中的应用，体会算法的基本思想及算法的重要性和有效性，可鼓励学生自行设计一个流程图，将上述求解一元二次不等式的基本过程表示出来.如图6.

图6

    当a<0时,不等式ax2+bx+c>0(<0)的解法可在不等式的两边同乘以-1,化为a>0,ax2+bx+c>0(<0)的形式,或先求出对应方程的根,结合二次函数图像写出它的解集.

讨论结果：①—③略.

应用示例

例1  解不等式-3x2+15x>12.

    活动：本例的二次项系数为负，教师引导学生先将不等式变为标准形式，即3x2-15x+12<0.进一步化简得x2-5x+4<0，然后结合二次函数图像及一元二次方程即可求解.可由学生自己完成.

解：原不等式可化为x2-5x+4<0.

∵Δ>0，且方程x2-5x+4=0的两根为x1=1,x2=4,

∴原不等式的解集为{x|1点评：点拨学生充分利用一元二次不等式与二次函数、一元二次方程之间的关系,并让学生用类似a>0时的解题步骤求解.

变式训练

  解不等式-x2+5x>6.

解：原不等式变形为x2-5x+6<0.

∵Δ=(-5)2-4×1×6=1>0,方程x2-5x+6=0的两根为x1=2,x2=3,

∴原不等式的解集为{x|2例2  解不等式:-2x2+x+1<0.

    活动:引导学生在不等式的两边同乘以-1,转化为2x2-x-1>0,或先求方程-2x2+x+1=0的根,结合二次函数图像求解.

解法一:方程-2x2+x+1=0的解为

x1=-,x2=1.

函数y=-2x2+x+1的图像是开口向下的抛物线,与x轴的交点为(-,0)和(1,0)(如图7).

图7

观察图像可得,不等式的解集为{x|x<-,或x>1}.

解法二:在不等式两边同乘-1,可得2x2-x-1>0.

方程2x2-x-1=0的解为x1=-,x2=1.

画出函数y=2x2-x-1的图像简图(如图8).

图8

观察图像,可得原不等式的解集为{x|x<-,或x>1}.

例3  解不等式:-x2+4x-4>0.

活动:本例与上例属于同一类型的不等式,可引导学生仿照上例解法二求解.

解:把不等式化成x2-4x+4<0.

方程x2-4x+4=0的解为x1=x2=2.

画出函数y=x2-4x+4的图像简图(如图9).

图9

观察图像,得出原不等式的解集为.

    点评:教师引导学生对一元二次不等式的解法进行总结.一般地,对于a<0的一元二次不等式,可以直接采取类似a>0时的解题步骤求解;也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式,再求解.

    用算法的思想,对任意一个一元二次不等式,可按图10所示的流程图求解.

图10

    并指导学生进一步归纳探究下列问题:

    观察不等式(x+3)(x-2)>0,可以看出这是一个一元二次不等式,即x2+x-6>0,按上述求解程序可得到这个不等式的解集为(-∞,-3)∪(2,+∞).

    另一方面,如果我们根据积的符号法则看不等式(x+3)·(x-2)>0,那么就可以把它化成两个一元一次不等式组,即

(1)或(2) 

    所以,不等式(x+3)(x-2)>0的解集就是上面不等式组(1)与(2)的解集的并集.

    不等式组(1)的解集为(-∞,-3),不等式组(2)的解集为(2,+∞).

    故不等式(x+3)(x-2)>0的解集为(-∞,-3)∪(2,+∞).

   一般地,a≠0时,对形如a(x-x1)(x-x2)>0或a(x-x1)(x-x2)<0的一元二次不等式,可依据积的符号法则,把一元二次不等式化成一元一次不等式组来解.

知能训练

课本本节练习2  1、2、3.

课堂小结

1.由学生自己顺理本节所学知识点，归纳整合一元二次不等式的解法.

2.教师进一步强调，一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系，通常称为“三个二次问题”.我们要深刻理解、牢牢掌握，并灵活地应用它，它是函数与方程思想的应用范例.

作业

课本习题3—2  A组7(4)(5).

设计感想

1.本教案设计充分体现学生的主体地位，引导学生积极参与课堂探究，使教学过程由封闭型向开放型转化.在教学过程中由教师到学生的单向交流，变成师生之间多向交流，使教学成为一个探索、发现、创造的过程.

2.本教案重视了探究过程的操作，使教学过程设计更优化更合理.因为长期以来的课堂教学太过于重视结论,轻视过程.为了应付考试,为了使公式定理应用达到所谓“熟能生巧”,教学中不惜花大量的时间采用题海战术来进行强化.在教学概念公式的教学中往往采用的所谓“掐头去尾烧中段”的方法,到头来把学生强化成只会套用公式的解题机器,这样的学生面对新问题、新高考将束手无策.

3.本教案设计“注意联系，注重概括，重视应用，提高学生数学能力”的侧重.我们常说“教学有法，教无定法，因材施教，贵在得法”，教学作为一门科学应当有规律可循，但是教学作为一门艺术，不应该也不能依靠某一种教学方法来实现它的全部功能.更重要的是应学习多种教学方法，博采众长，优化课堂环境，注重提高学生的数学素质.

(设计者:郑吉星)

第3课时

导入新课

思路1.（复习导入）教师出示一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系图表，点拨学生观察发现关于ax2+bx+c>0（a>0）或ax2+bx+c<0(a>0)恒成立问题的条件.由此引入新课.

思路2.(问题导入)我们解决x2-5x+4>0这样的一元二次不等式的求解问题，如果题目中含有字母参数怎么办呢？如解这样不等式：ax2-5x+4>0.在学生的思考探究中自然的引入新课.

推进新课

新知探究

提出问题

①回忆一元二次不等式的解法.

②你能快速解决以下不等式吗？

a.-x2+5x>6;b.x2-4x+4>0;c.x2+2x+3<0.

③观察一元二次方程的根，一元二次不等式的解集与二次函数的图像的关系（图表），你能有什么独到的发现吗？

活动:教师引导学生回顾一元二次不等式的求解过程，体会数形结合的威力.对一元二次不等式的解法应达到“心算”的程度，即对所给的一元二次不等式要能够通过“心算”，得出相应方程的解，再在脑海中想象出其二次函数的图像，立即得到原不等式的解.如问题②中的几个不等式的解集分别为:a.{x|2［课件］一元二次函数的图像、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的具体关系对比如下表.

应用示例

思路1

例1  设A,B分别是不等式3x2+6≤19x与不等式-2x2+3x+5>0的解集,试求A∩B,A∪B.

    活动:本例是与集合有关的一元二次不等式的应用,点拨学生注意不论是解一元二次不等式,还是集合运算,都要充分利用数形结合的思想.

解:由3x2+6≤19x,得3x2-19x+6≤0.

方程3x2-19x+6=0的解为x1=,x2=6.

函数y=3x2-19x+6的图像开口向上且与x轴有两个交点(,0)和(6,0).

所以,原不等式的解集为A={x|≤x≤6}.

同理可得,不等式-2x2+3x+5>0的解集为B={x|-1所以A∩B={x|≤x<},A∪B={x|-1点评:正确解决本例的关键是准确熟练地写出一元二次不等式的解集.

例2  已知关于x的一元二次不等式ax2+(a-1)x+a-1＜0的解集为R，求a的取值范围.

活动：原不等式的解集为R，即对一切实数x不等式都成立，故必然有y=ax2+(a-1)x+a-1的图像开口向下，且与x轴无交点，反映在数量关系上则有a＜0且Δ＜0.

解：由题意,知要使原不等式的解集为R，必须

即

∴a的取值范围是a∈(-∞,-).

点评：本题若无“一元二次不等式”的条件，还应考虑a=0的情况，但对本题讲a=0时式子不恒成立.（想想为什么）

变式训练

  若函数f(x)=的定义域为R，求实数k的取值范围.

解：显然k=0时满足.而k＜0时不满足， 0例3  解关于x的不等式:x2-(2m+1)x+m2+m<0.

   活动:本例含有字母m,对不等式的解集产生影响.由于对应方程的两根为m,m+1,且m解:方程x2-(2m+1)x+m2+m=0的解为x1=m,x2=m+1,且知m二次函数y=x2-(2m+1)x+m2+m的图像开口向上,且与x轴有两个交点.

所以,不等式x2-(2m+1)x+m2+m<0的解集为{x|m点评:充分利用三个二次之间的关系.

例4  解关于x的不等式:x2+(1-a)x-a<0.

    活动:本例对应的方程的两个根为-1,a,这里的字母a与-1的大小关系不能确定,因此需分类讨论.

解:方程x2+(1-a)x-a=0的解为x1=-1,x2=a.

函数y=x2+(a-1)x-a的图像开口向上,所以

(1)当a<-1时,原不等式的解集为(a,-1);

(2)当a=-1时,原不等式的解集为;

(3)当a>-1时,原不等式的解集为(-1,a).

点评:分类讨论思想是中学数学的重要思想,高考对此要求很高,在分类时要做到不重、不漏.

思路2

例1  解关于x的不等式x2-x-a(a-1)>0.

活动：对应的一元二次方程有实数根1-a和a,不等式中二次项的系数为正，所以要写出它的解集需要对两根的大小进行讨论.

（1）当最高次项系数含有字母时，首先需讨论该系数是否为零.

（2）整合结论时，对所讨论的对象按一定的顺序进行整理，做到不重不漏.

解：原不等式可以化为(x+a-1)(x-a)＞0，

若a＞-(a-1),即a＞,则x＞a或a＜1-a.∴x∈(-∞,1-a)∪(a,+∞).

若a=-(a-1),即a=,则(x-)2＞0.∴x∈{x|x≠,x∈R}.

若a＜-(a-1),即a＜,则x＜a或x＞1-a.∴x∈(-∞,a)∪(1-a,+∞).

点评：解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？首先，必须弄清楚它的解集与哪些因素有关.一般地，一元二次不等式的解集（以ax2+bx+c＞0为例）常与以下因素有关：（1）a；（2）Δ；（3）两根x1,x2的大小.其中系数a影响着解集最后的形式，Δ关系到不等式对应的方程是否有解，而两根x1,x2的大小关系到解集最后的次序；其次再根据具体情况，合理分类，确保不重不漏.

例2  若关于x的方程22x+2x·a+a+1=0有实根，求实数a的取值范围.

活动：教师引导学生思考探究，因为2x>0，故问题等价于关于2x的二次方程有正根时，求实数a的取值范围.因而可利用一元二次方程与二次函数之间的关系进行求解.

解：设t=2x,f(t)=t2+at+a+1，问题转化为求函数f(t)在t轴正方向上至少有一个交点的条件，所以f(0)<0或.解得a<-1或-1≤a≤2-2.

故所求a的取值范围是a≤2-2.

点评：注意换元法与转化法的运用，充分利用数形结合思想.

变式训练

  已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>-2x的解集为（1，3）.

(1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的实根，求f(x)的解析式；

（2）若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围.

解：（1）由方程f(x)+6a=0，得ax2-(2+4a)x+9a=0.

∴Δ=0，得5a2-4a-1=0.

解得a=1或a=-.

又a<0,∴a=-.∴f(x)=- x2-x-.

(2)由f(x)=ax2-2(1+2a)x+3a=a(x-)2-，及a<0，得f(a)max=-.

由,解得a<-2-或-2+∴实数a的取值范围是（-∞,-2-）∪(-2+,0).

知能训练

课本本节练习3  1、2、3、4.

课堂小结

1.由学生归纳总结本节是如何解决含有字母参数的不等式的求解方法的？需要注意哪些问题？怎样确定解题的切入点？

2.教师画龙点睛，总结本节课用到的不等式的基础知识，用到的分类讨论思想、化归思想、换元思想等.

作业

1.课本习题3—2  B组1.

2.已知不等式x2+5x+m＞0的解集为{x|x＜-7或x＞2}，求实数m的值.(答案：m=-14)

3.已知关于x的二次不等式px2+px-4＜0对任意实数x都成立，求实数p的范围.(由p＜0且Δ＜0，得p∈{p|-16＜p＜0})

4.若y=ax2+bx+c经过(0，-6)点，且当-3≤x≤1时，y≤0，求实数a,b,c的值.（答案：a=2,b=4,c=-6）

设计感想

1.本教案设计注重以学生为主体，改变学生学习方式，提高学习质量.为了发挥教学过程的整体教育功能，保持教学系统的最大活力，在教学中综合运用多种教学方法，形成良好的整体结构，发挥教学的最大效益.

2.本教案设计根据近几年高考特点适当对例题、习题做了一些拓展，但严格控制了题目难度及题目数量，以大多数学生的接受水平作为参考依据.否则，在我们的教学中就有可能“穿新鞋走老路”.随意提高教学要求，对教学效果产生负面影响.

3.本教案设计没有单纯从教学内容出发而进行设计，注重了对深层次的教学目的考虑.这正是值得我们深思的问题，否则，我们的教学将只停留在知识内容或方法上，而忽视能力和素质要求，缺乏深层次的思考.下载本文