高一数学
注意事项：
1．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．
2．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.
第I 卷 选择题（共60分）
一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数()12z i i =−，其中i 是虚数单位，则z 的共轭复数是（ ） A ．2-i B ．2+i C ． 1+2i D ． 1-2i 2．若12
cos 13α=
，且为第四象限角，则的值为（ ） A ． B ． C ． D ．
3. 若a b 、是空间中两条不同的直线，则a b //的充分条件是（ ）
A.直线a b 、都垂直于直线l
B.直线a b 、都垂直于平面α
C.直线a b 、都与直线l 成30°角
D.直线a b 、都与平面α成60°角
4. 民间娱乐健身工具陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺的立体结构图.已知底面圆的直径16cm AB =，圆柱体的高8cm BC =，圆锥体的高6cm CD =，则这个陀螺的表面积是（ ）
A ．2192m c π
B ．2208m c π
C ．2272m c π
D ．2336m c π
αtan α125125−512512
−（第4题图）
5．如图，小明同学为测量某建筑物CD 的高度，在它的正东方向找到一座建筑物AB ，高为12m ，在地面上的点M （B ，M ，D 三点共线）测得楼顶A 、建筑物顶部C 的仰角分别为15︒和60︒，在楼顶A 处测得建筑物顶部C 的仰角为30，则小明测得建筑物CD 的高度为（ ）（精确到1m
1.414 1.732≈≈
（第5题图） A ．42m
B ．45m
C ．51m
D ．57m
6. 设A B C D ，，是空间中4个不同的点，在下列命题中，不正确．．．的是（ ） A ．若AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面
B ．若A
C 与B
D 是异面直线，则AD 与BC 是异面直线 C ．若,AB AC DB DC ==，则AD BC = D ．若,AB AC DB DC ==，则AD BC ⊥
7．将函数sin 2y x =的图象向右平移ϕ个单位长度后，得到函数cos 26y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图
象，则ϕ的值可以是（ ） A ．
12
π
B ．
23
π C ．
3
π
D ．6
π
8.已知圆台上下底面半径分别为3、4，圆台的母线与底面所成的角为45°.且该圆台上下底面圆周都在某球面上，则该球的体积为（ ） A ．100π
B ．
5003
π
C ．200π
D ．
7003
π
B
二、多项选择题:本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9.设非零复数1z 、2z 所对应的向量分别为12,OZ OZ ，则下列选项能推出
12OZ OZ ⊥的是（ ）
A ．12i z z =
B ．122z z =
C ．12z z =
D ．1212z z z z +=−
10. 一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，则截面的图形可能是（ ）
A. B ． C ． D ．
11. 下列各式正确的是（ ）
A. (1tan1)(1tan 44)=2+︒+︒ B ．
1sin10︒
C.
2
3sin 70
=22cos 10
−− D ．tan 70cos10201)=2︒⋅︒︒−
12．已知函数()()()sin 0,f x x ωϕωϕ=+>∈R 在区间75,126ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调，且满足
73124f f ππ⎛⎫⎛⎫
=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则下列结论正确的是（ ） A ．203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭
B ．若()56f x f x π⎛⎫
−= ⎪⎝⎭
，则函数()f x 的最小正周期为π C ．关于x 的方程()1f x =在区间[0,2)π上最多有4个不相等的实数解 D ．若函数()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，则ω的取值范围为8,33⎛⎤
⎥⎝⎦
第II 卷 非选择题（共90分）
三、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷卡的相应位置．
13. 函数tan
2
x
y =的最小正周期是__________． 14. 如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D −
中，1AB =，E 是棱BC 的中点，异面直线1AB 与1C E 所成角的余弦值为m ，则m =
.
15.已知函数()f x 不是常数函数，且函数()f x 满足：定义域为R ，()f x 的图象关于直线2x =对称，()f x 的图象也关于点()1,0对称.写出一个满足条件的函数
()f x ___________.(写出满足条件的一个即可)
16. 如图，四边形ABCD 为正方形，AG ⊥平面ABCD ，////AG DF CE ，若
3,2,1AG AB DF CE ====，则:B EGD G BEF V V −−=___________.
1
四、解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （本小题满分10分） 已知向量a (1,2),= b (,3)x =.
(1)若(3a-b)⊥b ，求x 的值；
(2)若向量a ,b 夹角为锐角，求x 的取值范围.
18. （本小题满分12分）
如图1，菱形ABCD 中，60A ∠=︒，DE ⊥AB ,垂足为点E ，将AED 沿DE 翻折到
A ED '，使A E BE '⊥，如图2．
(1)求证：A E '⊥平面EBD ；
(2)在线段A D '上是否存在一点F ，使EF ∥平面A BC '？若存在，求DF
FA '
的值；若不存在，说明理由．
图1
A
图2
E
C
19. （本小题满分12分）
已知O 为坐标原点，对于函数()sin cos f x a x b x =+，称向量(,)OM a b =为函数()f x 的相伴特征向量，同时称函数()f x 为向量OM 的相伴函数．
(1)若向量m ()2,2=为()sin 4h x x πλ⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的相伴特征向量，求实数λ的值；
(2)记向量m ()5,12=的相伴函数是()f x ，求()f x 在203x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，的值域.
20. （本小题满分12分）
如图，在直三棱柱111−ABC A B C 中, ⊥AC BC ，
且12,AC BC AA AB D ==
=是棱1BB 的中点，E 是棱1CC 上的点，满足
15=CE EC .
(1)证明：AD ⊥平面1A DE ；
(2)求直线AE 与平面1ABB 所成角的正弦值.
A
A
21. （本小题满分12分）
已知平面四边形ABCD
中,,1AB AD AB AD AC BC =⊥==，.
(1)若5=6
ACB π∠，求四边形ABCD 的面积； (2)若记ACB θ∠=（0θπ<<），()CD f
θ=. ①求()f θ的解析式；
②求CD 的最小值及此时角θ的值.
D
B
22. （本小题满分12分）
如图，在四棱锥S ABCD −中，2π∠=∠≤
SAB SAD ，底面ABCD 为正方形.记直线SA 与平面ABCD 所成的角为θ.
(1)求证：平面SAC ⊥平面SBD ;
(2)若二面角B SA D −−的大小为
23π，求cos θ的值； (3)当=2π
θ时，SB BC 、中点为,M N ，点P 为线段CD 上的动点(包括端
点)，2SA AB =，二面角M NP A −−的大小记为α，求tan α的取值范围.
