学习目标：1.理解复合函数的定义。

 会判断指数型复合函数的单调性。(主要是两种类型y=和y=f()）

重难点：指数型复合函数的单调性。

内容要点：

1.复合函数的定义。

设y=f(u）的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx,那么对于Dx内的任意一个x经过u；有唯一确定的y值与之对应，因此变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，记为：y=f[g(x)]，这种函数称为复合函数，其中x称为自变量,u为中间变量（内函数），y为因变量（外函数）。例如y= 这样的函数我们称为复合函数，因为含有指数函数，叫指数型复合函数。

2.接下来，我们回顾一下一些初等函数的单调性。

（1）f(x)= 增区间[-2,+∞), 减区间（-∞，-2）

（2）f(x)= 增区间[1,+∞), 减区间（-∞，1）

   增区间[-∞,+∞]

3.那么指数型复合函数单调性如何判断？

例1.

判断y=单调性。

解：判断函数y的定义域，易知定义域为R

设u=,y= 将原函数分解为内函数和外函数)

由u==知u在（-∞，-2]上为减函数，(-2,+∞)在上为增函数，

 y=为减函数 （分别判断内外函数的单调性）

∴原函数的增区间为（-∞，-2],减区间为（-2，+∞） （根据“同增异减”得出单调区间） 

小结：求指数型复合函数单调性步骤：

第一步，确定复合函数的定义域，即看内外函数对自变量x的，然后解不等式，求并集。

第二步，将原函数分解为初等函数y=f(u),g(x)的形式，

第三步，分别y=f(u),g(x)的单调区间

第四步，根据“同增异减”给出原函数的单调区间。

练习1.（1）函数y=的单调递增区间为（A）

A,(-∞,∞)∞,∞)（2 ) 函数y=的单调递增区间[-3,+∞)

 (3) 函数f(x)=在（-∞,0]上的单调性是（B）

A增函数 减函数 常函数 不具有单调性

例2求函数y=

解：复合函数定义域为R 

设u(x)=-+3x+2=-,易知u（x）在（-∞，]上是增函数，在(+∞上是减函数.

当a>1时，y为增函数

∴原函数在（-∞，]是增函数，在(,+∞)上是减函数。

练习  2.求y=的单调区间

在[-1,1)上单调递增，在[1,3]上是单调递减。

总结y=（t=f（x））的单调性的一般规律

当a>1时，y=是单调递增的

f(x)的增区间就是原函数的增区间，

f(x)的减区间就是原函数的减区间

（2）当0f（x）的增区间就是原函数的减区间

f(x)的减区间就是原函数的增区间。

4.下面来看函数y=的单调性.

例3.求函数y=的单调区间

解：y==

设t=则t>0

当t≥1时，y=在[1,+∞)上为增函数。

≥1,即x≥0 ，而在[0,+∞)上为增函数

由复合函数的单调性的判定方法知原函数在[0,+∞)上为增函数，

同理原函数在（-∞,0]上为减函数。

练习3.求函数y=的单调性

解：y===

设t=,则t>0

当t≥时，y=在[,+∞)上为增函数，

≥即x≤1,在（-∞,1]上减函数

由复合函数的单调性判定方法知原函数在（-∞,1]上为减函数。

同理 原函数在（1，+∞）上为增函数。

课后习题：

判断下列指数型复合函数的单调性

1.y=

 2.y=

 3.y=

 4.y=

 5.y=(a>0,a≠1)

 6.y=(-2≤x≤2)

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