一、选择题（共10小题）.

1．下列图形中，是中心对称图形的是（　　）

A．    B．    

C．    D．

2．为了检查某口罩厂生产的一批口罩的质量，从中抽取了100只进行质量检查，在此问题中数目100是（　　）

A．样本    B．样本容量    C．总体    D．个体

3．数字“20200528”中，数字“2”出现的频率是（　　）

A．    B．    C．    D．

4．下列调查中，适合采用普查方式的是（　　）

A．了解常州市居民收入情况    

B．调查某品牌空调的市场占有率    

C．检验某厂生产的电子体温计的合格率    

D．调查八年级某班学生的睡眠情况

5．下列事件属于不可能事件的是（　　）

A．太阳从东方升起    B．1+1＞3    

C．1分钟＝60秒    D．下雨的同时有太阳

6．如图，“女生”所在扇形统计图中对应的圆心角的大小为（　　）

A．108°    B．110°    C．120°    D．125°

7．下列说法中，正确的是（　　）

A．平行四边形是特殊的矩形    

B．矩形的对角线互相垂直    

C．菱形的四只角相等    

D．正方形的4组邻边相等

8．如图，▱ABCD中，∠A比∠D大40°，则∠C等于（　　）

A．70°    B．100°    C．110°    D．120°

9．如图，菱形ABCD中，BD＝8，AC＝6，AE⊥CD，垂足为点E，则AE的长为（　　）

A．1.2    B．2.4    C．4.8    D．5

10．如图，矩形ABCD中，∠BOC＝120°，BD＝12，点P是AD边上一动点，则OP的最小值为（　　）

A．3    B．4    C．5    D．6

二、填空题（共10小题）.

11．一只不透明的袋中装有2个白球，1个红球，3个黄球，这些球除颜色不同外其它都相同，搅均后从中任意摸出一个球，则摸到　   　球的可能性最小．

12．将一批数据分成4组，并列出频率分布表，其中第一组的频率是0.23，第二组与第四组的频率之和是0.52，那么第三组的频率是　   　．

13．“正方形既是矩形又是菱形”是　   　事件．（填“必然”、“随机”、“不可能”）

14．如图，△ABC中，∠BAC＝95°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB'C'，∠B'AC的大小为　   　°．

15．如图，△ABC中，∠A＝73°，∠B＝45°，点D是AC的中点，点E是AB边上一点，且AE＝AB，则∠ADE＝　   　°．

16．如图，正方形ABCD中，点E、F分别是BC、AB边上的点，且AE⊥DF，垂足为点O，△AOD的面积为，则图中阴影部分的面积为　   　．

17．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AB＝5，AC＝6，DE⊥BC于点E，则OE＝　   　．

18．如图，正方形ABCO的边长为1，CO、AO分别在x轴、y轴上，将正方形ABCO绕点O逆时针旋转45°，旋转后点B对应的点的坐标为　   　．

19．如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为　   　．

20．如图，矩形ABCD中，BC＝7cm，CD＝5cm，P、Q两点分别从B、C两点同时出发，沿矩形ABCD的边以1cm/s的速度逆时针运动，点P到达点C时两点同时停止运动．当点P的运动时间为　   　s时，△PQC为等腰三角形．

三、作图题

21．如图所示的正方形网格中（每个小正方形的边长是1，小正方形的顶点叫作格点），△ABC的顶点均在格点上，请在所给平面直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：

（1）以点C为旋转中心，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得△CA1B1，画出△CA1B1；

（2）作出△ABC关于点A成中心对称的△AB2C2；

（3）设AC2与y轴交于点D，则△B1DC的面积为　   　．

四、解答题（共52分）

22．为了解学生对各种球类运动的喜爱程度，小明采取随机抽样的方法对他所在学校的部分学生进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一种项目），对调查结果进行统计后，绘制了下面的统计图（1）和图（2）．

（1）此次被调查的学生共有　   　人，m＝　   　；

（2）求喜欢“乒乓球”的学生的人数，并将条形统计图补充完整；

（3）若该校有2000名学生，估计全校喜欢“足球”的学生大约有多少人？

23．如图，▱ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且BE＝DF．求证：AF＝EC．

24．如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，点E在AD上，点F在BC边上，FE平分∠DFB．

（1）判断△DEF的形状，并说明理由；

（2）若点F是BC的中点，求AE的长．

25．有一个腰长为cm，底边长为2cm的等腰三角形纸片，如图，小明沿着底边上的中线将纸片剪开，得到两个全等的直角三角形纸片，请用这两个直角三角形纸片拼一个成中心对称的四边形，画出所有可能的示意图（标注好各边长），并在图形下方直接写出该四边形的周长．

26．如图，△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，点C、D分别在OA、OB上的点，连接AD、BC，点H为BC中点，连接OH．

（1）如图1，求证OH＝AD，OH⊥AD；

（2）将△COD绕点O旋转到图2所示位置时，（1）中结论是否仍成立？若成立，证明你的结论；若不成立，请说明理由．

参

一、选择题（共10小题）.

1．下列图形中，是中心对称图形的是（　　）

A．    B．    

C．    D．

解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；

D、是中心对称图形，故此选项符合题意；

故选：D．

2．为了检查某口罩厂生产的一批口罩的质量，从中抽取了100只进行质量检查，在此问题中数目100是（　　）

A．样本    B．样本容量    C．总体    D．个体

解：为了检查某口罩厂生产的一批口罩的质量，从中抽取了100只进行质量检查，在此问题中数目100是样本容量．

故选：B．

3．数字“20200528”中，数字“2”出现的频率是（　　）

A．    B．    C．    D．

解：数字“2”出现的频数是3次，

则频率是3÷8＝，

故选：A．

4．下列调查中，适合采用普查方式的是（　　）

A．了解常州市居民收入情况    

B．调查某品牌空调的市场占有率    

C．检验某厂生产的电子体温计的合格率    

D．调查八年级某班学生的睡眠情况

解：A、了解常州市居民收入情况，适合采用抽样调查的方式，所以A选项不合题意；

B、调查某品牌空调的市场占有率，适合采用抽样调查的方式，所以B选项不合题意；

C、检验某厂生产的电子体温计的合格率，适合采用抽样调查的方式，所以C选项不合题意；

D、了调查八年级某班学生的睡眠情况，适合采用普查方式，所以D选项符合题意．

故选：D．

5．下列事件属于不可能事件的是（　　）

A．太阳从东方升起    B．1+1＞3    

C．1分钟＝60秒    D．下雨的同时有太阳

解：太阳从东方升起是必然事件；

1分钟＝60秒是必然事件；

1+1＞3为不可能事件；

下雨的同时有太阳为随机事件．

故选：B．

6．如图，“女生”所在扇形统计图中对应的圆心角的大小为（　　）

A．108°    B．110°    C．120°    D．125°

解：“女生”所在扇形统计图中对应的圆心角的大小为：360°×30%＝108°；

故选：A．

7．下列说法中，正确的是（　　）

A．平行四边形是特殊的矩形    

B．矩形的对角线互相垂直    

C．菱形的四只角相等    

D．正方形的4组邻边相等

解：A、矩形为特殊的平行四边形，所以A选项错误；

B、矩形的对角线互相平分且相等，所以B选项错误；

C、菱形的四条边相等，所以C选项错误；

D、正方形的4组邻边相等，所以D选项正确．

故选：D．

8．如图，▱ABCD中，∠A比∠D大40°，则∠C等于（　　）

A．70°    B．100°    C．110°    D．120°

解：如图所示：

则∠A+∠D＝180°，

又∠A﹣∠D＝40°，

∴∠A＝110°，∠D＝70°，

∴∠C＝∠A＝110°．

故选：C．

9．如图，菱形ABCD中，BD＝8，AC＝6，AE⊥CD，垂足为点E，则AE的长为（　　）

A．1.2    B．2.4    C．4.8    D．5

解：如图，∵四边形ABCD是菱形，

∴DO＝BD＝4，CO＝AC＝3，AE⊥CD，

∴CD＝＝5，

∴S菱形ABCD＝AC•BD＝×6×8＝24，

∵S菱形ABCD＝CD×AE，

∴CD×AE＝24，

∴AE＝4.8．

故选：C．

10．如图，矩形ABCD中，∠BOC＝120°，BD＝12，点P是AD边上一动点，则OP的最小值为（　　）

A．3    B．4    C．5    D．6

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴OA＝OB＝OC＝OD＝BD＝6，

∵∠BOC＝120°＝∠AOD，

∴∠OAD＝∠ODA＝30°，

当OP⊥AD时，OP有最小值，

∴OP＝OD＝3，

故选：A．

二、填空题（每小题2分，共20分）

11．一只不透明的袋中装有2个白球，1个红球，3个黄球，这些球除颜色不同外其它都相同，搅均后从中任意摸出一个球，则摸到　红　球的可能性最小．

解：∵不透明的袋中装有2个白球，1个红球，3个黄球，

∴红球数量最小，

∴摸到红球的的可能性最小．

故答案为：红．

12．将一批数据分成4组，并列出频率分布表，其中第一组的频率是0.23，第二组与第四组的频率之和是0.52，那么第三组的频率是　0.25　．

解：1﹣0.23﹣0.52＝0.25，

故答案为：0.25．

13．“正方形既是矩形又是菱形”是　必然　事件．（填“必然”、“随机”、“不可能”）

解：“正方形既是矩形又是菱形”是必然事件．

故答案为必然．

14．如图，△ABC中，∠BAC＝95°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB'C'，∠B'AC的大小为　35　°．

解：∵△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB'C'，

∴∠BAB'＝60°，

又∵∠BAC＝95°，

∴∠B'AC＝∠BAC﹣∠BAB'＝95°﹣60°＝35°，

故答案为：35．

15．如图，△ABC中，∠A＝73°，∠B＝45°，点D是AC的中点，点E是AB边上一点，且AE＝AB，则∠ADE＝　62　°．

解：∵∠A＝73°，∠B＝45°，

∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝62°，

∵AE＝AB，

∴点E是AB的中点，

∵点D是AC的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

∴DE∥BC，

∴∠ADE＝∠C＝62°，

故答案为：62．

16．如图，正方形ABCD中，点E、F分别是BC、AB边上的点，且AE⊥DF，垂足为点O，△AOD的面积为，则图中阴影部分的面积为　　．

解：∵四边形ABCD为正方形，

∴AB＝AD，∠BAD＝∠B＝90°，

∵AE⊥DF，

∴∠ODA+∠OAD＝90°，

∵∠BAE+∠OAD＝90°，

∴∠BAE＝∠ODA，

在△ABE和△DAF中

，

∴△ABE≌△DAF（AAS），

∴S△ABE＝S△DAF，

∴图中阴影部分的面积＝S△AOD＝．

故答案为．

17．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AB＝5，AC＝6，DE⊥BC于点E，则OE＝　4　．

解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AD＝AB＝5，AC⊥BD，AO＝AC＝×6＝3，OB＝OD，

在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD＝＝＝4，

∴BD＝2OD＝8，

∵DE⊥BC，

∴∠DEB＝90°，

∵OD＝OB，

∴OE＝BD＝×8＝4，

故答案为：4．

18．如图，正方形ABCO的边长为1，CO、AO分别在x轴、y轴上，将正方形ABCO绕点O逆时针旋转45°，旋转后点B对应的点的坐标为　（0，）　．

解：连接OB，如图，

∵正方形ABCO的边长为1，

∴∠AOB＝45°，OB＝OA＝1，

∵正方形ABCO绕点O逆时针旋转45°，旋转后点B对应的点为B′，

∴∠B′OB＝45°，OB′＝OB＝，

∴点B′在y轴上，

∴点B′的坐标为（0，）．

故答案为（0，）．

19．如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为　　．

解：方法1、延长GE交AB于点O，作PH⊥OE于点H．

则PH∥AB．

∵P是AE的中点，

∴PH是△AOE的中位线，

∴PH＝OA＝（3﹣1）＝1．

∵直角△AOE中，∠OAE＝45°，

∴△AOE是等腰直角三角形，即OA＝OE＝2，

同理△PHE中，HE＝PH＝1．

∴HG＝HE+EG＝1+1＝2．

∴在Rt△PHG中，PG＝＝＝．

故答案是：．

方法2、如图1，

延长DA，GP相交于H，

∵四边形ABCD和四边形EFCG是正方形，

∴EG∥BC∥AD，

∴∠H＝∠PGE，∠HAP＝∠GEP，

∵点P是AE的中点，

∴AP＝EP，

∴△AHP≌△EGP，

∴AH＝EG＝1，PG＝PH＝HG，

∴DH＝AD+AH＝4，DG＝CD﹣CG＝2，

根据勾股定理得，HG＝＝2，

∴PG＝，

故答案为．

20．如图，矩形ABCD中，BC＝7cm，CD＝5cm，P、Q两点分别从B、C两点同时出发，沿矩形ABCD的边以1cm/s的速度逆时针运动，点P到达点C时两点同时停止运动．当点P的运动时间为　或　s时，△PQC为等腰三角形．

解：设运动时间为ts，

当点Q在CD上时，

∵△PQC为等腰三角形，∠C＝90°，

∴PC＝CQ，

∴7﹣t＝t，

∴t＝，

当点Q在AD上时，

∵△PQC为等腰三角形，

∴PQ＝CQ，

∴点Q在PC的垂直平分线上，

∴＝t﹣5，

∴t＝，

故答案为：或．

三、作图题

21．如图所示的正方形网格中（每个小正方形的边长是1，小正方形的顶点叫作格点），△ABC的顶点均在格点上，请在所给平面直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：

（1）以点C为旋转中心，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得△CA1B1，画出△CA1B1；

（2）作出△ABC关于点A成中心对称的△AB2C2；

（3）设AC2与y轴交于点D，则△B1DC的面积为　　．

解：（1）如图所示，△CA1B1 即为所求作图形；

（2）如图所示，△AB2C2 即为所求作图形；

（3）由C（4，﹣1）和C2（﹣2，1）可得直线CC2的解析式为y＝x+，

令x＝0，则y＝，即D（0，），

∴△B1DC的面积为﹣﹣＝．

故答案为：．

四、解答题（共52分）

22．为了解学生对各种球类运动的喜爱程度，小明采取随机抽样的方法对他所在学校的部分学生进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一种项目），对调查结果进行统计后，绘制了下面的统计图（1）和图（2）．

（1）此次被调查的学生共有　50　人，m＝　20%　；

（2）求喜欢“乒乓球”的学生的人数，并将条形统计图补充完整；

（3）若该校有2000名学生，估计全校喜欢“足球”的学生大约有多少人？

解：（1）此次被调查的学生共有：20÷40%＝50（人），m＝10÷50×100%＝20%，

即m的值是20%，

故答案为：50，20%；

（2）喜欢乒乓球的有：50﹣20﹣10﹣15＝5（人），

补全的条形统计图如右图所示；

（3）2000×20%＝400（人），

即全校喜欢“足球”的学生大约有400人．

23．如图，▱ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且BE＝DF．求证：AF＝EC．

【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形

∴AB＝CD，AB∥CD

∵BE＝DF

∴AE＝CF

∵AB∥CD

∴四边形CEAF是平行四边形

∴AF＝EC．

24．如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，点E在AD上，点F在BC边上，FE平分∠DFB．

（1）判断△DEF的形状，并说明理由；

（2）若点F是BC的中点，求AE的长．

解：（1）△DEF是等腰三角形，

理由如下：∵四边形ABCD是矩形，

∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，∠C＝90°，

∴∠BFE＝∠DEF，

∵FE平分∠DFB，

∴∠BFE＝∠DFE，

∴∠DEF＝∠DFE，

∴DE＝DF，

∴△DEF是等腰三角形；

（2）∵AB＝1，BC＝2，

∴CD＝1，AD＝2，

∵点F是BC的中点，

∴FC＝＝1，

Rt△DCF中，∠C＝90°，

∴DF＝，

∴DE＝DF＝，

∴AE＝AD﹣DE＝2﹣．

25．有一个腰长为cm，底边长为2cm的等腰三角形纸片，如图，小明沿着底边上的中线将纸片剪开，得到两个全等的直角三角形纸片，请用这两个直角三角形纸片拼一个成中心对称的四边形，画出所有可能的示意图（标注好各边长），并在图形下方直接写出该四边形的周长．

解：如图所示：

26．如图，△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，点C、D分别在OA、OB上的点，连接AD、BC，点H为BC中点，连接OH．

（1）如图1，求证OH＝AD，OH⊥AD；

（2）将△COD绕点O旋转到图2所示位置时，（1）中结论是否仍成立？若成立，证明你的结论；若不成立，请说明理由．

【解答】（1）证明：∵△OAB与△OCD为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，

∴OC＝OD，OA＝OB，

∵在△AOD与△BOC中，

，

∴△AOD≌△BOC（SAS），

∴∠ADO＝∠BCO，∠OAD＝∠OBC，BC＝AD，

∵点H为线段BC的中点，

∴OH＝HB，OH＝BC，

∴∠OBH＝∠HOB＝∠OAD，

又∵∠OAD+∠ADO＝90°，

∴∠ADO+∠BOH＝90°，

∴OH⊥AD，

∵AD＝BC，OH＝BC，

∴OH＝AD．

（2）结论：OH＝AD，OH⊥AD仍成立，

如图2中，延长OH到E，使得HE＝OH，连接BE，

∵点H是BC中点，

∴BH＝CH，

∴△BEH≌△CHO（SAS），

∴OE＝2OH，∠EBC＝∠BCO，

∴∠OBE＝∠EBC+∠OBC＝∠BCO+∠OBC＝180°﹣∠BOC，

∵∠AOB＝∠COD＝90°，

∴∠AOD＝180°﹣∠BOC＝∠OBE，

∵OB＝OA，OC＝OD

∴△BEO≌△ODA（SAS），

∴OE＝AD，∠EOB＝∠DAO，

∴OH＝OE＝AD，

∵∠AOB＝90°，

∴∠DAO+∠AOH＝∠EOB+∠AOH＝90°，

∴OH⊥AD．下载本文