摘要：在数字信号处理中，数字滤波器是一种被广泛使用的信号处理部件，可改变信号中所含频率分量的相对比例或滤除某些频率分量，使其达到所需的效果，具有举足轻重的作用。在数字信号处理系统中，FIR(有限冲激响应)数字滤波器是一类结构简单的最基本的原件，具有严格的相频特性，能保证信号在传输过程中不会有明显的失真，是相当稳定的系统，其确保线性相位的功能进一步使它得到了广泛的应用。本综述分析了FIR数字滤波器的特征和设计的基本原理,得到了满足系统要求的数字滤波器的设计方法。

关键词：数字信号处理，FIR数字滤波器，设计方法

1引言

1.1背景

    现在几乎在所有的工程技术领域中都会涉及到信号的处理问题，其信号表现形式有电、磁、机械以及热、光、声等。数字滤波技术可以在放大信号的同时去除噪声和干扰，而在模拟信号中信号和噪声同时被放大，数字信号还可以不带误差地被存储和恢复、发送和接收、处理和操纵。许多复杂的系统可以用高精度、大信噪比和可重构的数字技术来实现。目前，数字信号处理已经发展成为一项成熟的技术，并且在许多应用领域逐步代替了传统的模拟信号处理系统，如通讯、故障检测、语音、图像、自动化仪器、航空航天、生物医学工程、雷达等。 

数字信号处理中一个非常重要且应用普遍的技术就是数字滤波。所谓数字滤波，是指其输入、输出均为数字信号，通过一定的运算关系改变输入信号所含的频率成分的相对比例或滤除某些频率成分，达到提取和加强信号中的有用成份，消弱干扰成份的目的。数字滤波作为数字信号处理的重要组成部分有着十分广泛的应用前景，可作为应用系统对信号的前置处理。数字滤波器无论是在理论研究上还是在如通讯、雷达、图象处理、数字音频等实际应用上都有着很好的技术前景和巨大的实用价值。

1.2现状与前沿

    在近代电信设备和各类控制系统中，滤波器应用极为广泛。在所有的电子部件中，使用最多，技术最为复杂的即为滤波器。滤波器的优劣直接决定产品的优劣，所以，对滤波器的研究和生产历来为各国所重视。

    目前，国外有许多院校和科研机构在研究基于FPGA的DSP应用，比较突出的有Denmark大学的研究小组正在从事FPGA实现数字滤波器的研究。而我国在DSP技术起步较早，产品的研究开发成绩斐然，基本上与国外同步发展。

    随着电子工业的发展，对滤波器的性能要求越来越高。我国电子产品要想实现大规模集成，滤波器集成化仍然是个重要课题。总之，滤波器的发展始终是顺应电子系统的发展趋势的。如何进一步实现滤波器的小型化、集成化、高效化将是今后很长一段时间内不变的研究和发展主题。

2  FIR数字滤波器的原理

2.1 FIR数字滤波器的结构特点    

    如果滤波器的输人和输出都是离散时间信号，则该滤波器的冲激响应也必然是离散的，这种滤波器称之为数字滤波器。该滤波器通过对时域中离散的采样数据作差分运算实现滤波。与IIR滤波器相比，FIR（有限长单位冲激响应）的实现是非递归的，总是稳定的。FIR数字滤波器的特征是冲激响应只能延续一定时间并且很容易实现严格的线性相位，使信号经过处理后不产生相位失真、舍入误差小、稳定等优点，能够设计具有优良特性的多带通滤波器、微分器和希尔伯特变换器。FIR数字滤波器有以下几个特点:

(1)系统的单位冲激响应h(n)在有限个值处不为零；

(2)系统函数H(z)在处收敛，在处只有零点，有限z平面只有零点，而全部极点都在z=0处；

(3)结构上主要是非递归结构。

    FIR数字滤波器的输出y(n)可以表示为          （2-1)

式中，N是FIR数字滤波器的抽头数；x(i)表示第i时刻的输入样本；h(i)是FIR数字滤波器的第i级抽头系数。因此系统函数为                       (2-2) 

                   图2-1  FIR数字滤波器结构示意图                                

2.2  FIR数字滤波器设计的基本步骤

(1)确定性能指标。在设计滤波器之前，必须首先根据工程实际需要确定滤波器的技术指标。实际应用中，数字滤波器常被用来实现选频操作。因此指标的形式一般在频域中给出幅度技术指标要求。

(2)性能指标的逼近。用一个因果稳定的离散线性移不变系统函数去逼近性能要求。

(3)用有限精度算法来实现系统函数。这里包括选择运算结构，选择合适的字长以及有效数字的处理方法等。

(4)滤波器的技术实现。包括采用通用计算机软件或专用数字滤波器的硬件来实现或采用通用的数字信号处理器来实现。

3  FIR数字滤波器的设计方法 

3.1频率取样法

    一个有限长的序列，如果满足频率采样定理，可以通过频谱的有限个采样点的值被准确地得以恢复。频率取样法是指在脉冲响应h(n)为有限长度的条件下，根据频域取样定理，对所要求的频率响应进行取样，从样点中恢复原来的频率特性，达到设计滤波器的目的。频率采样法设计的基本思想是把给出的理想频率响应进行取样，通过 IDFT 从频谱样点直接求得有限脉冲响应。

频率取样法先对理想频响抽样，得到样值H(k)。再利用插值公式直接求出系统函数 H(z)以便实现之，或者求出频响以便与理想频响作比较。在[O，2π]区间上对进行N点采样，等效于时域以N为周期延拓。

设理想频响的采样是H(k)，k=0，1,⋯,N-1，则其IDFT是

                                     （3-1）

则FIR数字滤波器的系统函数可写为：

                        （3-2）

所以当采样点数N已知后，便是常数，只要采样值H(k)确定，则系统函数H(z)就可以确定，要求的FIR数字滤波器就设计出来了。

频率取样法设计的关键是正确确定数字频域系统函数H(k)在 Ω∈[0，2π]内的N个样点，其约束条件为

  0≤k≤N-1                         （3-3）

频率取样法的阻带衰耗比较小，可以通过增加过渡带样点的方法增大阻带衰耗。对于一个无限长的序列，用频率采样法必然有一定的逼近误差,误差的大小取决于理想频响曲线的形状, 理想频响特性变换越平缓, 则内插函数值越接近理想值,误差越小。为了提高逼近的质量，可以通过在频率相应的过渡带内插入比较连续的采样点，扩展过渡带使其比较连续，从而使得通带和阻带之间变换比较缓慢，以达到减少逼近误差的目的。

3.2窗函数法

窗函数法是设计FIR数字滤波器最常用、最简单的方法，窗函数设计滤波器的基本思想，是把给定的频率响应通过离散时间傅里叶反变换IDTFT(Inverse Discrete Time Fourier Transform)，求得脉冲响应，然后利用加窗函数对它进行截断和平滑，以实现一个物理可实现且具有线性相位的FIR数字滤波器的设计目的。其核心是从给定的频率特性，通过加窗确定有限长单位脉冲响应序列 h(n)。窗函数设计滤波器的基本思想，是把给定的频率响应通过离散时间傅里叶反变换IDTFT，求得脉冲响应，然后利用加窗函数对它进行截断和平滑，以实现一个物理可实现且具有线性相位的FIR数字滤波器的设计目的。其核心是从给定的频率特性，通过加窗确定有限长单位脉冲响应序列 h(n)。窗函数法的设计过程如下：

窗函数所必须满足的特性：

1.窗谱主瓣尽可能地窄，以获得较陡的过渡带；

2.尽量减少窗谱的最大旁瓣的相对幅度，也就是能量尽量集中于主瓣，使肩峰和纹波减小，就可增多阻带的衰减。

    3.窗函数的频率特性的旁瓣在当ω趋近于π的过程中，其能量迅速趋于零。

这就给窗函数序列的形状和长度选择提出了严格的要求。当预期滤波器频率特性的性能指标确定之后，先找出相近的理想滤波器频率特性模型，用表示。再求出其脉冲响应序列的表达式:

                         （3-4）

这时，定义数据窗为向量ω=[ω(0),ω(1)，⋯ ,ω(N)]，拓展ω为偶函数窗，即ω(n)=ω(n)。对h(n)加窗后形成一被截断的脉冲序列：h(n)=h(n)ω(n)，(n=0，±1，⋯ ，±N)，由此而得一因果FIR数字滤波器，该滤波器应能达到的要求。

常见的窗函数有矩形窗、三角窗、汉宁窗、哈明窗、布莱克曼窗和凯泽窗.若设计指标所要求的频响为, 可以将用一个矩形窗RN (n)进行截断, 从而得到一个长度为N 的单位脉冲响应序列h (n).矩形窗虽然简便,但存在明显的吉布斯效应, 主瓣和第一旁瓣之比只有13 d B , 为了克服这些缺陷, 设计时可根据给定的滤波器技术指标, 选择滤波器长度M 和窗函数ω(n),使其具有最窄宽度的主瓣和最小旁瓣.

3.3最优化方法

由于频率采样基本设计法的逼近误差一般不能满足工程指标要求，通常采用以下两种改进措施：

（1） 设置适当的过渡带，使希望逼近的幅度特性从通带比较平滑地过渡到阻带，消除阶跃突变，从而使逼近误差减小。而实质是对幅度采样增加过渡带采样点，以加宽过渡带为代价换取通带和阻带内波纹幅度的减小。

（2） 采用优化设计法，以便根据设计指标选择优化参数（过渡带采样点的个数m好h(n)的长度N）进行优化设计。

    尽管窗函数法与频率采样法在FIR数字滤波器的设计中有着广泛的应用, 但两者对波动与通阻带边界不易控制，在实际应用存在着一定的局限性，都不是最优化的设计。FIR数字滤波器的最优化设计是将所有抽样值皆作为变量，在某一优化准则下，通过计算机进行迭代运算，以得到最优的结果。

设计FIR数字滤波器可以有两种最优化准则，即均方误差最小准则和最大误差最小化准则。

3.3.1 均方误差最小准则

若以E(ejω)表示逼近误差，则

                           （3-5）

那么均方误差为 

      （3-6）

就是选择一组时域采样值使得最小。这一方法注重的是在整个-π～π频率区间内总误差的全局最小，但不能保证局部频率点的性能，有些频点可能会有较大的误差。

3.3.2最大误差最小化准则

最大误差最小化可表示为：

                                  （3-7）                

    其中F是根据要求预先给定的一个频率取值范围，可以是通带，也可以是阻带。其概念是通过改变N个频率采样值（或时域h(n)值），使频响误差在给定频带范围内最大逼近误差达到最小。

该准则也称等波纹切比雪夫逼近准则，设计滤波器逼近理想频率响应。即通过对通带和阻带使用不同的加权函数,实现在不同频段(通常指的是通带和阻带) 的加权误差最大值相同,从而实现其最大误差在满足性能指标的条件下达到最小值，即使得和H()之间的最大绝对误差最小。

3.4 总结

比较以上三种滤波器的设计方法，在同样的阶数下，等波纹切比雪夫逼近法是一种优化设计，是将所有抽样值作为变量，在某个优化准则下，通过计算机迭代运算，获得最佳的频率特性和衰耗特性，具有通带和阻带平坦，过渡带窄等优点。但是存在计算复杂, 计算量较大的缺点 。

频率采样设计法是一种优化设计方法，可以设计某些特殊滤波器，且其设计过程简单，它在设计非标准滤波器时是非常有用的，它可以处理任何不规则形状的响应。但阻带衰减明显，若适当选取过渡带样点值，会取得较窗函数设计法略好的衰耗特性。其缺点是设计时使用的变量仅限于过渡带上的几个采样值, 截止频率不容易控制。即通过插值得到的频率响应只是理想频率的采样点的响应。

窗函数设计法设计简单，很实用。在阶数较低时，阻带特性基本满足设计要求，当滤波器阶数较高时，使用汉宁窗、海明窗、布莱克曼窗和凯泽窗即可以达到阻带衰耗要求。缺点是通带、阻带的截止频率不容易控制，这也使得其在语音、图像处理的程序上的应用十分的有限。

在数字信号处理中，通过以上滤波器的设计方法的处理可以得到相对稳定的信号，但很多方法还存在缺点和不足，影响其使用范围和使用效果，如何进一步实现滤波器的小型化、集成化、高效化工作还有待于进一步的提高。

4  发展趋势

长期以来，信号处理技术一直用于转换、产生模拟或数字信号，其中最为频繁应用的领域就是信号的滤波。数字滤波是语音、图像处理、模式识别和谱分析等应用中的一个基本处理部件，它可以满足滤波器对幅度和相位特性的严格要求，避免模拟滤波器无法克服的电压漂移、温度漂移和噪声等问题。FIR数字滤波器可以在设计任意幅频特性的同时，保证严格的线性相位特性，所以FIR数字滤波器被广泛地应用于视频和通信电路中, 用数字滤波器对信号进行处理是目前的发展方向。另外，数字信号滤波器的设计在图像处理，数据压缩等方面的应用也取得了令人瞩目的进展和成就。在将来的研究工作中，减小滤波器的阶数、波器的体积, 并最终降低滤波器的成本，使得设计出来的滤波器更为简单经济, 是重要的研究方向。

5   结束语

FIR数字滤波器的冲激响应是有限长序列, 其系统函数为一个多项式, 它所含的极点多为原点, 所以FIR数字滤波器是稳定的。数字滤波器的应用十分广泛, 通过滤波器可以滤除输入信号中不需要的成分, 改善波形质量。FIR数字滤波器以它优越的性能，在数字信号处理领域中占有很重要的地位，是现代电子技术中必须掌握的设计技术。

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