1.已知等差数列{an}满足，.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，求数列{bn}的前n项和.
2.已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且an和Sn满足：.
（1）求{an}的通项公式；
（2）设数列，求{bn}的前n项和.
3.已知数列{an}的前n项和为Sn，且.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）设，证明：.
4.设数列{an}满足：，，．
（1）求{an}的通项公式及前n项和Sn；
（2）已知{bn}是等比数列，且，．求数列{bn}的前n项和．
5.数列{an}满足，.
（1）证明：为等差数列，并求{an}的通项公式；
（2）求数列{an}的前n项之和为Sn.
6.等差数列{an}的前n项和为Sn，若，.
（1）求{an}的通项公式；
（2）设，求{bn}的前n项和.
7.正项数列{an}的前项和Sn满足：，，
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令，数列{bn}的前n项和为，证明：对于任意的都有.
8.设数列{an}的前n项和为Sn，，且，.
（1）求证：数列为等比数列；
（2）求数列{Sn} 的前n项和
9.已知{an}为等差数列，各项都为正数的等比数列{bn}的前n项和为Sn，且，，，．
（1）求､的通项公式；
（2）求和．
10.已知正项数列{an}的首项，若满足.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若，数列{bn}的前n项和为，求.
11.设Sn为数列{an}的前n项和，且，.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记，求数列{bn}的前n项和.
12.已知数列{an}的前n项和为Sn，，．
（1）求{an}的通项公式；
（2）对任意的正整数n，设，记数列{bn}的前n项和为，求证：．
13.已知等差数列{an}的公差d＞0，a2=7，且a1，a6，5a3成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足，且b1=，求数列{bn}的前n项和Tn．
14.已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，，.
（1）证明：当时，；
（2）若是与的等比中项，求数列的前n项和.
15.已知数列{an}是等差数列，{bn}是递增的等比数列，且，，，．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）若，求数列{cn}的前n项和Sn．
16.已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且an和Sn满足：．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设，求{bn}的前n项和；
（3）在（2）的条件下，对任意，都成立，求整数的最大值．
17.已知数列{an}前n项和为，数列{bn}等差数列，且满足，前9项和为153.
（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（2）设，数列{cn}的前n项和为.
18.已知数列{an}的前n项和为Sn，满足．
（1）求证：是常数数列；
（2）求和：．
19.已知数列{an}是等比数列，若，且，，成等差数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若，求数列{bn}的前n项和Sn．
20.已知函数（）的所有正数的零点构成递增数列{an}（）.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{bn}满足，求数列{bn}的前n项和.
21.各项均为正数的数列{an}中，，是数列{an}的前n项和，对任意，有.
(1)求常数的值；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)记，求数列{bn}的前n项和.
22.
设数列{an}的前n项和为Sn，已知、、成等差数列，且．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若，{bn}的前n项和为，求使成立的最大正整数n的值．
23.设数列{an}的前n项和为Sn，且．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，求数列{bn}的前n项和Tn．
24.设数列的前项和为，在①，，成等差数列.②，，成等差数列中任选一个，补充在下列的横线上，并解答.
在公比为2的等比数列中，____________
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
25.已知数列{an}中，，．
（1）记，证明：数列{bn}为等比数列；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）记cn＝2nanan＋1，求数列{cn}的前n项和Sn．
26.已知等差数列{an}是递增数列，且a1a5=9，a2+a4=10.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn=(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn.
27.已知等比数列{an}的公比，，且，，成等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记，求数列{bn}的前n项和．
28.在数列{an}中，，.
（1）设，证明：{bn}是等比数列，并求{an}的通项公式；
（2）设Sn为数列{an}的前n项和，证明：.
29.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足，.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）数列{bn}满足，记数列{bn}的前n项和为，求证: .
30.已知数列{an}的前n项的和为Sn，且满足.
（1）求数列{an}的通项公式an及Sn；
（2）若数列{bn}满足，求数列{bn}的前n项的和Tn.
31.在数列{an}中，，，.
（1）证明为等比数列；
（2）求an.
32.公差不为0的等差数列{an}中，前n项和记为Sn．若a1＝1，且S1，2S2，4S4成等比数列，
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列的前项n项和Tn．
33.已知等差数列{an}满足.
（1）求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；
（2）记数列的前n项和为，若，求n的最小值.
34.已知等差数列{an}中，，．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列{bn}的前n项和Sn．
35.已知{an}为等差数列，前n项和为Sn，，.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记数列前n项和为，证明：.
36.已知数列{an}、{bn}满足：，，.
（1）证明：是等差数列，并求数列{bn}的通项公式；
（2）设，求实数a为何值时恒成立．
37.已知数列{an}满足，，，且（）.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，求数列{bn}的前n项和Sn.
38.已知数列{an}中，，
（1）求证：是等差数列；
（2）若，且数列，数列的前n项和为，求的取值范围.
39.设等差数列的公差为2，等比数列的公比为2，且，．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列的前n项和Sn．
40.Sn为数列{an}的前n项和．已知，．
（1）证明是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）数列{bn}为等差数列，且，求数列的前n项和．
41.Sn为等差数列{an}的前n项和，已知，.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求Sn，并求Sn的最小值
42.已知{an}是各项均为正数的等比数列，为，的等差中项.且.
（1）求{an}的通项公式；
（2）设，求的前n项和.
43.已知数列{an}的前n项和为Sn，且，数列{bn}满足，．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
44.已知数列{an}的前n项和为Sn，且.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）若，求数列{bn}的前n项和.
45.已知数列{an}的前n项和Sn满足，且，数列{bn}中，，，.
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）若，求{cn}的前n项的和.
46.数列{an}的前n项和为Sn，已知，（，2，3，…）．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列{Sn}的前n项和．
试卷答案
1.
（1）；（2）
分析：
（1）设的公差为，由，可求出，进而可求出数列的通项公式；
（2）由（1）知，利用裂项相消求和法可求出.
解答：（1）设等差数列的公差为，
∵，∴，
解得，∴.
（2）由（1）知，∴，
∴.
2.
（1）（2）
【分析】
(1)首先求得的值，然后结合递推关系式整理可得数列为等差数列，结合等差数列通项公式可得数列的通项公式；
(2)结合(1)的结论首先求得数列的通项公式，然后错位相减求解其前n项和即可.
【详解】（1）当时，，解得：，
当且时，，
∴，
整理可得：，
∵，∴，∴，
∴数列以2为首项，4为公差的等差数列，
∴.
（2）由（1）知，
，
则①
则，②
由①-②得
化简得.
【点睛】本题的核心是考查错位相减求和.一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解．
3.
（1）证明见解析（2）证明见解析
【分析】
（1）由已知当时，可得，整理为
，根据等比数列的定义，即可证明结论；
（2）由（1）求出，进而求出，根据取等号），要证成立，转化为证等比数列前项和小于或等于，即可证明结论.
【详解】解：（1）当时，
由
，
令，
则，
故为等比数列；
（2）由（1）得，
，，
时，取等号），
所以原式
，
所以成立.
【点睛】本题考查数列前项和与通项的关系，考查用定义证明数列是等比数列，考查证明数列和的不等号，将通项放缩是解题的关键点也是难点，属于中档题.
4.
（1），；（2）.
【分析】
（1）由已知可知是以1为首项，公差为3的等差数列，写出其通项公式、前n项和公式即可.
（2）由（1）求出、，结合等比数列通项公式求公比，写出的前项和．
【详解】（1）∵，，
∴，，
∴数列是以1为首项，公差为3的等差数列，
∴，
．
（2）由（1）可知，
∴，，
∴，．设等比数列的公比为，则，
∴，
∴数列的前项和．
5.
（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）将等式两边同除以，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求；
（2）运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，化简可得所求和．
【详解】（1）由已知，
由定义知为等差数列，且公差为，首项为，
故.
（2）由已知，
故，
相减得：，
即，
所以.
【点睛】本题考查等差数列的定义和通项公式，等比数列的求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，化简运算能力，属于中档题．
6.
（1）；（2）.
【分析】
（1）根据题意建立关于和方程，即可求出通项公式；
（2）利用裂项相消法即可求出.
【详解】（1）的首项为，公差为，
因为，所以解得
所以.
（2），
所以.
7.
（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）利用与的关系，结合等差数列的性质，即可得出数列的通项公式；
（2）由得出数列的通项公式，结合裂项相消法和不等式的性质证明即可.
【详解】（1）解：∵正项数列的前项和满足：
，①
则，②
①②得
即
即
又，，.
又，所以数列是以2为首项2为公差的等差数列.所以.
（2）证明：由于，则
.
【点睛】本题主要考查了由求以及裂项相消法求数列的和，属于中档题.
8.
（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1），，，变形为，即可得证.
（2）由（1），利用乘公比错位相减法、等比数列求和公式即可得出.
【详解】（1）证明：∵，.
∴，
∴，
∴数列为等比数列，首项为1，公比为2，.
（2）由（1）可得：，
∴
∴数列的前项和.
∴，
∴，
∴.
【点睛】本题主要考查了等比数列的证明，通项公式的求法，乘公比错位相减法求和、等比数列求和公式等知识，属于中档题.
9.
（1）an=2n；bn=3n，n∈N*；（2）2n2+4n．
分析：（1）根据等差等比数列的通项公式及求和公式列出方程组求解即可；
（2）变形后根据等差数列的求和公式求和即可.
解答：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，q>0，
由b1=3，S3=39，a1=b2﹣7，a40=b4﹣1，可得3+3q+3q2=39，a1=3q﹣7，a1+39d=3q3﹣1，
解得q=3，d=2，a1=2，
则an=2+2(n﹣1)=2n；bn=3•3n﹣1=3n，n∈N*；
（2）a1+2a2+2a3+……+2an+an+1=2(a1+a2+a3+……+an+an+1)﹣a1﹣an+1
=2•(n+1)(2+2n+2)﹣2﹣2(n+1)=2n2+4n．
10.
（1） ；（2）.
分析：（1）由已知得，可得出数列是以2为首项，2为公比的等比数列，根据等比数列的通项公式可得答案.
（2）运用错位相减法可求得答案.
解答：（1）正项数列的首项，因为，
所以，解得或（舍去），
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以.
（2）因为，所以
，
上面两式作差得
所以.
11.
分析：（1）由等比数列的定义、通项公式，解方程可得首项，进而得到所求通项公式；
（2）由等比数列的求和公式和对数的运算性质，可得，根据裂项相消法求和即可．
解答：（1）由，可得数列为等比数列，且公比为2，
由，可得，解得，
则，
（2）因为，
所以，
可得.
12.
（1）；（2）证明见解析.
分析：
（1）根据，令，即可求得的值，当时，，两式相减，可得，根据等比数列的定义，即可求得的通项公式；
（2）由（1）可得，即可求得的通项公式，利用裂项相消法，即可求得的表达式，即可得证.
解答：（1）由题意，知，，①
令得，，
因为，所以．
当时，，②
所以①-②得：，即，
所以．
所以数列是首项为，以为公比的等比数列，
所以．
（2）由（1）得，则，
所以．
所以．
因为，所以，
所以．
点拨：解题的关键为：需数列掌握等比数列的定义、裂项相消求和法，并灵活应用，常见的裂项形式有（1）；
（2）；（3）；（4）.
13.
（1）（2）
【分析】
（1）用首项和公差表示出已知条件求得和后可得通项；
（2）由累加法求得，即得，再用裂项相消法求得．
【详解】解：（1）∵a1，a6，5a3成等比数列
∴
∴
整理得
∴或
当时，
由解得，满足题意
当时，
由解得，不合题意，
∴
（2）由（1）知，当n≥2时，
∵，
∴当n≥2时，，
又，∴，，
当
.
14.
（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1）由，得到时，，两式相减，化简整理得
，即可得到当时，；
（2）由（1）和题设条件，得到数列是以1为首项，1为公差的等差数列，求得，进而得到，利用乘公比错位相减法，即可求解.
【详解】（1）因，可得当时，，
两式相减得：，
所以，即.
因为数列的各项均为正数，所以当时，.
（2）由（1）得：，，
因为是与等比中项，所以，即，
解得，
又，所以，
所以，从而对恒成立，
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，
所以，
所以
两式相减得：，
所以.
【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等.
15.
（1）；；（2）．
分析：（1）根据题设条件，列出方程组，求得公差和公比的值，即可求得数列和的通项公式；
（2）由（1）求得，结合裂项法，即可求解.
解答：（1）设等差数列的公差为，递增等比数列的公比为，
由，，，，
可得，解得或(舍去)，
所以数列的通项公式为，数列的通项公式为．
（2）由（1）知
所以
，
所以，数列的前项和．
16.
（1）；（2）；（3）7．
分析：
（1）由所给等式根据的关系证明数列为等差数列，确定数列的首项与公差即可写出通项公式；（2）利用裂项相消法求和；（3）作差证明数列是递增数列，根据题意，解不等式即可.
解答：（1）∵，①
∴，②
①-②得．
∴，化简．
∵，∴．
∴是以1为首项，2为公差的等差数列．
∴．
（2）．
∴
．
(3)由(2)知，
．
∴数列是递增数列，则，
∴，解得，
∴整数的最大值是7．
17.
（1），，，；（2）.
【分析】
（1）运用数列的递推式：时，，时，，可得；再设的公差为d，由等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，进而得到；
（2）求得，再由数列的裂项相消求和，化简可得所求和.
【详解】解：（1）由，可得，
时，，对也成立，
则，，
由数列等差数列，公差设d，满足，前9项和为153，
可得，，即，解得，，
则，；
（2），
则前n项和.
【点睛】此题考查等差数列的基本量计算，考查裂项相消求和法，考查计算能力，属于基础题
18.
（1）证明见解析；（2）
【分析】
(1)由得,化简可得即可证得结论;
(2)由(1)可求得,利用裂项求和即可得出结果.
【详解】解：（1）证明：由得，
两式相减得，即，
在中，令，得，
故，即是常数数列，得证．
（2）由（1）知，即，
．
【点睛】本题考查利用与的关系证明数列为常数列,考查利用递推公式求数列的通项公式,考查通过裂项求数列的和,难度一般.
19.
（1）由，，成等差数列，可得，
设数列的公比为，则，则，
设，则在上单调递增，
而，故满足的的值为3．
由得，故，
故的通项公式为．
（2）由（1）可得
，
∴
．
20.
（1）（）；（2）.
【分析】
（1）令可得出（），根据题意确定数列的首项和公差，即可求得数列的通项公式；
（2）求出，然后利用错位相减法可求得.
【详解】（1），
令，得，所以（），
所以（），这就是函数的全部零点，
所以数列是以首项为，公差为1的等差数列，
所以（）；
（2）因为，所以，
则，①
，②
①−②得：，
所以.
【点睛】本题考查函数的零点，考查等差数列通项公式的求法，考查错位相减法求和，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.
21.
（1）（2）（3）
【分析】
(1)令中n=1即得p的值.(2)利用项和公式求数列的通项公式.(3)先求出，再利用错位相减法求数列的前项和.
【详解】解：(1)由及，得：，
∴.
(2)由①，得②
由②－①，得，
即：，
∴，
由于数列各项均为正数，∴，即，
∴数列是首项为1，公差为的等差数列，
∴数列的通项公式是.
(3)由，得：，∴，
∴
，
.
22.
（1）；（2）8．
【分析】
（1）本题首先可根据、、成等差数列得出以及，然后两式相减，得出，最后根据求出，即可求出的通项公式；
（2）本题可根据题意得出并将其转化为，然后通过裂项相消法求和得出，最后根据得出，通过计算即可得出结果.
【详解】（1）因为、、成等差数列，所以，
当，有，
两式相减，可得，即，
由题意易知，故是公比为2的等比数列，，
因为，所以，解得，
故的通项公式为.
（2）因为，，
所以，
故，
因为，所以，解得，
故成立的最大正整数的值为8.
【点睛】本题考查数列通项公式的求法以及裂项相消法求和，考查等差中项以及等比数列前项和公式的应用，常见的裂项有、、等，考查计算能力，是中档题.
23.
（1）；（2）．
【分析】
（1）由得出数列是等比数列，（先求出），可得通项公式；
（2）由（1）得，用错位相减法求和．
【详解】解：（1）当时，，解得．
因为，①
所以当时，，②
①-②得，，所以．
故数列是首项为1，公比为2的等比数列，其通项公式为．
（2）由题知，，
所以，③
，④
③-④得，
．
所以．
24.
条件选择见解析（1）；（2）.
【分析】
（1）若选①，根据三个数成等差数列，建立等量关系，求得，进而求得通项公式；若选②，根据，，成等差数列，建立等量关系，求得，进而求得通项公式；
（2）将代入，求得，，裂项之后求和得结果.
【详解】（1）选①：因为，，成等差数列，所以，
所以，解得，所以.
选②：因为，，成等差数列，所以，即，
所以，解得，所以；
（2）因为，所以，
所以，，
所以.
【点睛】本题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有三数成等差数列的条件，等比数列的通项公式，裂项相消法求和，考查学生的运算求解能力.
25.
解：（1）证明：由
故数列{bn}是公比为2的等比数列
（2）由及（1）有bn＝2n 可得，可得
（3）由
．
26.
（1）；（2）.
【分析】
（1）设{an}的公差为d，由题意得从而可求出，进而可得数列{an}的通项公式；
（2）由（1）可得bn===().然后利用裂项相消法求和即可
【详解】解：（1）设{an}的公差为d，因为a1a5=9，a2+a4=10，
所以解得或，
由于数列为递增数列，则，
所以
所以.
（2）由于，则bn===().
所以Sn=b1+b2+…+bn=(1++…+)=(1)=.
27.
（1）；（2）
【分析】
（1）由等比数列的通项公式与等差数列的性质列式求得，则通项公式可求；
（2）把数列的通项公式代入，再由错位相减法求数列的前项和．
【详解】解：（1）由，，成等差数列，
得，即，
，解得．
又因为
；
（2）由（1）知．
，
，
，
．
【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查等差数列的性质，训练了利用错位相减法求数列的前项和，属于中档题．
28.
（1）证明见解析；（2）证明见解析；
【分析】
（1）根据题意，得到，进而可证明结论成立；得出，从而可求出；
（2）由（1）的结果，得到，根据错位相减法，即可求出，从而可证明结论成立.
【详解】（1）因为，，所以.
又，所以是首项为，公比为的等比数列.
于是，故.
（2）.
两边同乘以得.
以上两式相减得.
故.
【点睛】本题主要考查等比数列的证明，以及错位相减法求数列的和，属于常考题型.
29.
（1）；（2）证明见解析
【分析】
（1）根据与的关系，可得，从而判断为等比数列，利用等比数列的通项公式即可求解.
（2）由（1）得，，利用等差数列的求和公式可得，再利用裂项求和法可求出，令，根据，利用不等式的性质得到结果.
【详解】（1）因为，①
当时，，②
由①-②得，即，
当时，，，
所以数列为等比数列，其首项为，公比为2，
所以；
（2）由（1）得，，
所以，
所以，
.
因为所以.
【点睛】本题考查了与的关系、等比数列的通项公式、等差数列的前项和公式、裂项求和法以及证明不等式，综合性比较强，属于中档题.
30.
（1），；（2）.
【分析】
（1）根据，得到，证明数列是等比数列，由等比数列的通项公式与求和公式，即可求出结果；
（2）由（1）求得，分和两种情况，结合等比数列的求和公式，即可求出结果.
【详解】（1）由得：，即，
由得：，两式相减得: ，
即，即数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
则，
则；
（2）由（1）知：，则，
则当时，
，
当时，
，
则.
【点睛】本题主要考查求等比数列的通项公式与求和公式，以及数列的求和问题，属于常考题型.
31.
（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）由，构造出的关系，然后利用等比数列的通项公式即可求解.
（2）由（1）得，利用累加法求解通项即可
【详解】解：（1）由得
，
又，所以是以1为首项，以2为公比的等比数列.
（2）由（1）得，所以，.
所以时，
..
因此，.
当时，也满足上式，
故.
【点睛】本题考查利用构造法和累加法求数列的通项公式问题，属于一般题
32.
（1）；（2）.
【分析】
（1）由条件可知，代入等差数列的前项和公式，整理为关于的方程求解通项公式；（2）由（1）可知，利用裂项相消法求和.
【详解】解：（1）由已知可得：，
即：，
解得（舍）或
所以，
（2）由（1）可得，
所以；
所以
.
【点睛】本题考查等差数列和等比数列的点到综合，以及裂项相消法求和，属于基础题型，本题的难点是第二问，注意能使用裂项相消法的类型.
33.
（1），；（2）100
【分析】
(1)根据等差数列的通项公式列出方程组结合前项和公式求解即可得到数列的通项公式及前项和；
(2)利用裂项求和得到，解不等式即可得到最小值.
【详解】（1）设等差数列的公差为.依题意有
解得
所以.
（2）因为，
所以.
因为，即，
所以.所以的最小值为
【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式、前项和以及裂项求和，属于中档题.
34.
(Ⅰ) ； （Ⅱ） .
【分析】
（Ⅰ）利用已知条件求出数列的首项与公差，然后求解数列的通项公式．
（Ⅱ）化简数列的通项公式，利用等差数列以及等比数列求和公式求解即可．
【详解】（Ⅰ）设等差数列的首项为，公差为，则
解得．
所以．
（Ⅱ）由（I）可得
所以．
【点睛】本题考查数列的递推关系式以及数列求和方法的应用，考查计算能力．
35.
（1），；（2）证明见解析
【分析】
本题第（1）题先设等差数列的公差为d，然后根据已知条件列出关于首项与公差为d的方程组，解出与d的值，即可计算出数列的通项公式；第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列的通项公式，将通项公式进行转化可发现数列是以为首项，为公比的等比数列，再根据等比数列的求和公式计算出前n项和，再应用放缩法即可证明结论.
【详解】解：（1）由题意，设等差数列的公差为d，则
，
整理，得，解得，
∴，.
（2）证明：由（1），可知，
故，
∴数列是以为首项，为公比的等比数列.
∴，
又，所以为单调递增数列，
∴，
∴.
【点睛】本题主要考查等差数列的基本量计算和等比数列的判别．考查了转化与化归思想，放缩法，定义法，逻辑推理能力和数算能力，属于中档题．
36.
（1）见解析，；（2）
【分析】
（1）由已知变形为，再构造，从而证明数列是等差数列，并求通项公式；
（2）由（1）可知，再写出，利用裂项相消法求和，恒成立整理为恒成立，分，和三种情况讨论时恒成立求的取值范围.
【详解】（1）∵，
∴，∴．
∴数列是以-4为首项，-1为公差的等差数列．
∴，∴．
（2）∵．
∴，
∴．
由条件可知恒成立即可满足条件，设，
当时，恒成立，
当时，由二次函数的性质知不可能成立．
当时，对称轴，在为单调递减函数．
，∴，∴时恒成立．
综上知：时，恒成立．
【点睛】本题考查证明由递推公式求通项公式，裂项相消法求和，以及数列和函数结合的综合性问题，意在考查转化与化归，讨论的思想和计算能力，属于中高档习题.
37.
（1）；（2）.
【分析】
（1）首先变形判断为以3为首相，3为公比的等比数列，得，通过累加法可求数列的通项公式；
（2）由（1）得：，通过错位相减法和分组求和法可得数列前n项和.
【详解】（1）已知，
则，且，
则为以3为首相，3为公比的等比数列，
所以，
经检验也满足上式，
故；
（2）由（1）得：，
令，①
则，②
①－②可得，
则，
即.
【点睛】本题考查数列的通项与求和，解题的关键是明确数列通项的特征，从而选择合适的方法.
38.
（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1）依题意两边同时取倒数可得，即可得证；
（2）首先求出的通项公式，即可得到，再利用裂项相消法求和得到，再说明其增减性，即可得到的取值范围.
【详解】解：（1），
，
，
是以1为首项，2为公差的等差数列.
（2）由（1）可得，
所以，
因为，
所以是递增数列，
的最小值为，又因为
【点睛】本题考查由递推公式证明数列为等差数列，裂项相消法求和，属于中档题.
39.
（1）
（2）
【分析】
（1）根据题意可得，，联立解方程可得数列的通项公式；
（2）通过分组求和法可得数列的前n项和.
【详解】解：（1）因为，，所以，，
依题意可得，， ，
故；
（2）由（1）可知，，
故
.
【点睛】本题考查等差数列，等比数列的通项公式，考查分组法求和，是基础题.
40.
（1）见解析，．（2）．
【分析】
（1）先利用定义法证明是等比数列，再由与的关系求出的通项公式；
（2）先利用数列与的关系求出，然后利用裂项相消法求．
【详解】（1）证明：因为，所以．又，
所以是以为首项，以2为公比的等比数列．
∵，
∴．
当时，；经检验，也符合．
∴．
（2）∵数列为等差数列，且，
∴公差．
∴．
∵，
∴
．
【点睛】本题考查了等比数列与等差数列的定义及通项公式和裂项相消法求和，属于中档题．
41.
（1）；（2），时，的最小值为.
【分析】
（1）利用等差数列的通项公式以及前项和公式求出，，代入通项公式即可求解.
（2）利用等差数列的前项和公式可得，配方即可求解.
【详解】（1）设的公差为 ，
由，，
即，解得，
所以.
（2），
，
所以当时，的最小值为.
42.
（1）；（2）.
【分析】（1）由等差中项的性质列出关系式， 解出的值，再代入，解出的值，可求出数列的通项公式；（2）由对数的运算性质和等差数列前项和计算，代入可得，裂项相消法求前项和即可.
【详解】（1）∵为、的等差中项，
∴，即
，
且，，又；
（2）
，
.
【点睛】本题考查数列基本量的计算和裂项相消法求和，属于基础题.
易错点睛：裂项相消求和需要注意裂项时常数的配凑和消项时前后项剩余的项数.
43.
（1）（2）
【分析】
由得是以为首项，2为公比的等比数列，从而得的通项公式；
由与得为公差为2的等差数列，得，又，得，从而得．
【详解】当时，，
时，
得：
是以为首项，2为公比的等比数列，
，，
，
，
，为公差为2的等差数列，
，
又，
，
．
【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的推导，通项公式的应用，裂项求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
44.（1）答案见解析（2）
（1）当时，，则.
当时，因为，所以，
则，即.
从而，即.
因为，所以.
所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列.
（2）由（1）可得，即.
因为，所以.
则，
故.
【点睛】本题考查了等比数列的证明以及裂项相消的方法求数列的前n项和，需注意第一问只需数列的第n项与第n-1项之比为非零常数即可;属于基础题.
45.（1）,；（2）.
（1）由得（）．两式相减得，即（）．又得，所以数列是等比数列，公比为2，首项为1，故．由可知是等差数列，公差，
则．
（2），
①，
②．
①②得
故．
【点睛】本题考查了等差数列、等比数列的通项公式的求法以及用错位相减法求数列和的方法,属于基础题.
46.（1）证明见解析；（2）．
解析:（1）因为，即，
又因为，可得，所以，
又，可得，
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列．
（2）由（1）可得，所以，
则，
，
①②得：
，
所以．
【点睛】本题考查了递推关系结合等比数列的定义，证得数列是等比数列；利用错位相减法求解数列的前项和，需注意：①适用条件：若数列为等差数列，数列为等比数列，求解数列的前项和；②在写出和的表达式时，应注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出；③作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号；④作差后，作差部分应用为的等比数列求和，属于基础题.下载本文
