数 学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟.
参考公式
如果事件A、B互斥，那么P(A＋B)＝P(A)＋P(B).
如果事件A、B相互，那么P(A·B)＝P(A)·P(B).
如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)＝CPk(1－p)n－k.
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程为( )
A.(x－2)2＋y2＝5 B.x2＋(y－2)2＝5
C.(x＋2)2＋(y＋2)2＝5 D.x2＋(y＋2)2＝5
2.(cos－sin)(cos＋sin)＝( )
A.－ B.－
C. D.
3.若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则使得f(x)<0的x的取值范围是( )
A.(－∞，2) B.(2，＋∞)
C.(－∞，－2)∪(2，＋∞) D.(－2,2)
4.设向量a＝(－1,2)，b＝(2，－1)，则(a·b)(a＋b)等于( )
A.(1,1) B.(－4，－4)
C.－4 D.(－2，－2)
5.不等式组的解集为( )
A.(0，) B.(，2)
C.(，4) D.(2,4)
6.已知α、β均为锐角，若p∶sinα C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件： ①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ； ②存在平面γ，使得α、β都平行于γ； ③存在直线l⊂α、直线m⊂β使得l∥m； ④存在异面直线l、m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β. 其中，可以判定α与β平行的条件有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8.若(1＋2x)n展开式中含x3的项的系数等于含x的项的系数的8倍，则n等于( ) A.5 B.7 C.9 D.11 9.若动点(x，y)在曲线＋＝1(b>0)上变化，则x2＋2y的最大值为( ) A. B. C.＋4 D.2b 10.有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中心.已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39，则该塔形中正方体的个数至少是( ) A.4 B.5 C.6 D.7 第Ⅱ卷(非选择题 共100分) 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 11.若集合A＝{x∈R│x2－4x＋3<0}，B＝{x∈R│(x－2)(x－5)<0}，则A∩B＝ . 12.曲线y＝x3在点(1,1)处的切线与x轴、直线x＝2所围成的三角形的面积为 . 13.已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tanα＝ . 14.若x2＋y2＝4，则x－y的最大值是 . 15.若10把钥匙中只有2把能打开某锁，则从中任取2把能将该锁打开的概率为 . 16.已知A(－，0)，B是圆F：(x－)2＋y2＝4(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为 . 三、解答题：本大题共6小题，共76分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分13分) 若函数f(x)＝＋sinx＋a2sin(x＋)的最大值为＋3，试确定常数a的值. 18.(本小题满分13分) 加工某种零件需经过三道工序.设第一、二、三道工序的合格率分别为，，，且各道工序互不影响. (Ⅰ)求该种零件的合格率； (Ⅱ)从该种零件中任取3件，求恰好取到一件合格品的概率和至少取到一件合格品的概率. 19.(本小题满分13分) 设函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax＋8，其中a∈R. (Ⅰ)若f(x)在x＝3处取得极值，求常数a的值； (Ⅱ)若f(x)在(－∞，0)上为增函数，求a的取值范围. 20.(本小题满分13分) 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，E是AB上一点，PE⊥EC.已知PD＝，CD＝2，AE＝，求 (Ⅰ)异面直线PD与EC的距离； (Ⅱ)二面角E－PC－D的大小. 21.(本小题满分12分) 已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0). (Ⅰ)求双曲线C的方程； (Ⅱ)若直线l：y＝kx＋与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且·>2(其中O为原点)，求k的取值范围. 22.(本小题满分12分) 数列{an}满足a1＝1且8an＋1an－16an＋1＋2an＋5＝0 (n≥1).记bn＝ (n≥1). (Ⅰ)求b1、b2、b3、b4的值； (Ⅱ)求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前n项和Sn. 2005年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷) 1.A [解析]法(一)：利用轨迹法，设P(x，y)为所求圆上一点，其关于原点(0,0)对称的点P1(－x，－y)必在已知圆上，将(－x，－y)代入已知圆方程即可得答案A. 法(二)：已知该圆圆心为(－2,0)，其关于原点对称的点(2,0)为所求圆的圆心，两对称圆半径相同，利用圆的标准方程得答案A. 2.D [解析] ＝cos2－sin2＝cos＝. 3.D [解析]利用偶函数的关于轴对称的性质，则有f(x)在(0，＋∞)上为减函数且f(－2)＝0，作出一个符合条件的图象(如图)得：f(x)＜0的解集为(－2，2). 4.B [解析]a·b＝－1×2＋2×(－1)＝－4 a＋b＝(1,1)⇒a·b(a＋b)＝(－4，－4). 5.C. [解析]原不等式组化为 解集为(，4). 6.B [解析]充分性或必要性成立，都须证明，而不成立只须举反例.充分性不成立，如当α＝β＝45°，有sinα＜sin(α＋β)，但α＋β＝，充分性不成立，易证0＜α＜α＋β＜，则sinα＜sin(α＋β)成立. 7.B [解析]①中α⊥γ β⊥γ，则α与β可平行也可垂直，③中α与β可相交，可平行.由线面平行的性质以及面面平行的性质与判定可确定②，④正确. 8.A [解析]含x3项的系数为C×23，含x项的系数为C×2，由C×23＝8C×2 得n＝5. 9.A [解析]利用三角函数设参结合二次函数求最值. 设x＝2sinθ y＝bcosθ，则k＝x2＋2y＝4sin2θ＋2bcosθ＝－4cos2θ＋2bcosθ＋4＝－4(cosθ－)2＋4＋(│cosθ│≤1) 当0＜＜1即0＜b＜4时 cosθ＝ k大＝4＋ 当≥1时 b≥4 cosθ＝1时k大＝2b. 10.C 11.{x│2＜x＜3} 12. [解析]f′(x)＝3x2 f′(1)＝3 过点(1,1)的切线方程为y＝3x－2，它与x轴交点为(，0)与x＝2交点为(2,4)，S△＝×(2－)×4＝. 13.1 [解析]cos(α＋β)＝sin(α－β)⇒cosαcosβ－sinαsinβ＝sinαcosβ－cosαsinβ⇒cosβ(cosα－sinα)＋sinβ(cosα－sinα)＝0⇒(cosα－sinα)(cosβ＋sinβ)＝0 由α、β均为锐角得cosα－sinα＝0⇒tanα＝1 14.2 [解析]解法(一)：设参法：设x＝2cosθ y＝2sinθ x－y＝2cosθ－2sinθ＝2cos(θ＋)，当cos(θ＋)＝1时(x－y)max＝1. 解法二：设k＝x－y，由整理成一元二次方程，利用Δ≥0，即可求最大值. 15. [解析]1－＝ 16. x2＋y2＝1 [解析]由图知PA＝PB，PA＋PF＝BF＝r，结合椭圆定义，知点P的轨迹为椭圆，其中c＝ a＝1 b2＝，从而求得答案. 17.解：f(x)＝＋sinx＋ a2sin(x＋)＝＋sinx＋a2sin(x＋) ＝sinx＋cosx＋a2sin(x＋)＝sin(x＋)＋a2sin(x＋) ＝(＋a2)sin(x＋) 因为f(x)的最大值为＋3，sin(x＋)的最大值为1，则＋a2＝＋3，所以a＝±. 18.(Ⅰ)解：P＝××＝. (Ⅱ)解法一： 该种零件的合格品率为，由重复试验的概率公式得： 恰好取到一件合格品的概率为 C··()2＝0.1，至少取到一件合格品的概率为 1－()3＝0.973. 解法二： 恰好取到一件合格品的概率为 C··()2＝0.1，至少取到一件合格品的概率为 C··()2＋C ()2·＋C ()3＝0.973. 19.解：(Ⅰ)f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a＝6(x－a)(x－1). 因f(x)在x＝3取得极值，所以f′(3)＝6(3－a)(3－1)＝0. 解得a＝3.经检验知当a＝3时，x＝3为f(x)的极值点. (Ⅱ)令f′(x)＝6(x－a)(x－1)＝0得x1＝a，x2＝1. 当a<1时，若x∈(－∞，a)∪(1，＋∞)，则f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，a)和(1，＋∞)上为增函数，故当0≤a<1时，f(x)在(－∞，0)上为增函数. 当a≥1，若x∈(－∞，1)∪(a，＋∞)，则f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，1)和(a，＋∞)上为增函数，从而f(x)在(－∞，0)上也为增函数. 综上所述，当a∈[0，＋∞)时，f(x)在(－∞，0)上为增函数. 20.解法一：(Ⅰ)因PD⊥底面，故PD⊥DE，又因EC⊥PE，且DE是PE在面ABCD内的射影，由三垂线定理的逆定理知EC⊥DE，因此DE是异面直线PD与EC的公垂线. 设DE＝x，因△DAE∽△CED，故＝，即x2＝1，x＝±1(负根舍去). 从而DE＝1，即异面直线PD与EC的距离为1. (Ⅱ)过E作EG⊥CD交CD于G，作GH⊥PC交PC于H，连接EH.因PD⊥底面，故PD⊥EG，从而EG⊥面PCD. 因GH⊥PC，且GH是EH在面PDC内的射影，由三垂线定理知EH⊥PC. 因此∠EHG为二面角的平面角. 在面PDC中，PD＝，CD＝2，GC＝2－＝， 因△PDC∽△GHC，故GH＝PD·＝， 又EG＝＝＝， 故在Rt△EHG中，GH＝EG，因此∠EHG＝， 即二面角E－PC－D的大小是. 解法二：(Ⅰ)以D为原点，、、分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系. 由已知可得D(0,0,0)、P(0,0，)、C(0,2,0)，设A(x,0,0)(x＞0)， 则B(x,2,0)， E(x，，0)，＝(x，，－)，＝(x，－，0). 由PE⊥CE得·＝0， 即x2－＝0，故x＝. 由·＝(，，0)·(，－，0)＝0得DE⊥CE，又PD⊥DE，故DE是异面直线PD与CE的公垂线.易得||＝1，故异面直线PD、CE的距离为1. (Ⅱ)作DG⊥PC，可设G(0，y，z).由·＝0得 (0，y，z)·(0,2，－)＝0，即z＝y，故可取＝(0,1，). 作EF⊥PC于F，设F(0，m，n)，则＝(－，m－，n). 由·＝0得(－，m－，n)·(0,2，－)＝0， 即2m－1－n＝0， 又由F在PC上得n＝－m＋，故m＝1，n＝，＝(－，，). 因⊥，⊥，故平面角E－PC－D的平面角θ的大小为向量与的夹角. 故cosθ＝＝，θ＝， 即二面角E－PC－D的大小为. 21.解：(Ⅰ)设双曲线方程为 －＝1 (a>0，b>0). 由已知得a＝，c＝2，再由a2＋b2＝22，得b2＝1. 故双曲线C的方程为－y2＝1. (Ⅱ)将y＝kx＋代入－y2＝1得 (1－3k2)x2－6kx－9＝0. 由直线l与双曲线交于不同的两点得 即k2≠且k2<1. ① 设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则 xA＋xB＝，xA＋xB＝， 由·>2得xAxB＋yAyB>2，而 xAxB＋yAyB＝xAxB＋(kxA＋)(kxB＋) ＝(k2＋1)xAxB＋k(xA＋xB)＋2 ＝(k2＋1)＋k＋2＝. 于是>2，即>0，解此不等式得 22.解：(Ⅰ)a1＝1，故b1＝＝2； a2＝，故b2＝＝； a3＝，故b3＝＝4； a4＝，故b4＝. (Ⅱ)因(b1－)(b3－)＝×＝()2， (b2－)2＝()2，(b1－)(b3－)＝(b2－)2 故猜想{bn－}是首项为，公比q＝2的等比数列. 因an≠2，(否则将an＝2代入递推公式会导致矛盾) 故an＋1＝ (n≥1). 因bn＋1－＝－＝－＝， 2(bn－)＝－＝＝bn＋1－，b1－≠0， 故{bn－}确是公比为q＝2的等比数列. 因b1－＝，故bn－＝·2n， bn＝·2n＋ (n≥1). 由bn＝得anbn＝bn＋1， 故Sn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝(b1＋b2＋…＋bn)＋n ＝＋n＝(2n＋5n－1).下载本文
