基本不等式巩固练习

一、选择题

1.若均为正数，，则的大小关系是    

A.     B.     C.     D. 

2.，且，则中最小的是    

A.     B.     C. 2ab    D. 

3.已知，，则m，n之间的大小关系是    

A.     B.     C.     D. 

4.在中，角所对的边分别为，，的平分线交AC于点D，且，则的最小值为（ ）

A. 12    B. 32    C. 24    D. 18

5.已知，则的最小值为（ ）

A. 4    B. 5    C. 6    D. 7

6.某产品的产量第一年的增长率为p，第二看的增长率为q，设这两年平均增长率为x，则有    

A.     B.     C.     D. 

7.已知，，若，则（ ）

A. 有最小值    B. 有最小值

C. 有最大值    D. 有最大值

8.设非零实数a、b，则“”是“”成立的

A. 充分不必要条件    B. 必要不充分条件

C. 充要条件    D. 既不充分也不必要条件

9.建造一个容积为，深为的长方体无盖水池，若池底的造价为每平方米120元，池壁的造价为每平方米80元，则这个水池的最低造价为

A. 1120元    B. 1280元    C. 1760元    D. 1960元

10.若实数x，y满足，则的取值范围为

A.     B.     C.     D. 

二、填空题

11.已知均为正数，且，则的最________值是________，此时________，________．

12.若，则的最小值是______．

13.已知实数a，b，c满足，，则实数a的取值范围是          ．

14.P为椭圆上异于顶点的任意一点，过P作直线PA、PB分别与圆相切于A、B两点，则直线AB与两坐标轴围成的三角形面积最小值为___________．

15.已知，则取得最大值时x的值为______ ．

若，，且，则的最小值为______ ．

三、计算题

16.已知都是正数，求证：．

17.用篱笆围成一个面积为的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短？最短的篱笆长多少？用长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

18.

19.若，且．

求ab的最小值；

是否存在，使得

20.若正数a，b满足，求的最小值；

若正数x，y满足，求xy的取值范围。

答案和解析

1.D

解：因为均为正数

，当且仅当时等号成立

故，

2.C

解：，，且，

，

又，

，

这四个中最小的是2ab．

故选C．

3.A

解：，，当且仅当时取等号，

由，则，

，

4.B

解：由题意得，

即，

得，

则

，

当且仅当，即时，取等号，

5.B

解：因为，所以，

，

当且仅当，即时等号成立．

6.C

解：由题得．

又．

．

7.A

解：，，且，

，，，当且仅当时取等号，

，

有最小值8，故A正确；

由上可知，当时取等号，当a逐渐接近于0，此时b逐渐接近于4，ab逐渐接近于0，ab没有最小值，故没有最小值，故B错误；

同样当a逐渐接近于0，此时b逐渐接近于4，趋近于，没有最大值，故C错误；

，由于只有最大值，没有最小值，只有最大值，没有最小值，

没有最大值，故D错误．

故选：A．

8.B

解：由可得，当且仅当时取等号，

当时，，则不成立，即充分性不成立；

若，则，即，可以推出成立，即必要性成立．

故“”是“”成立的必要不充分条件．

9.C

解：容积是，深2m，

底面积为，

设长xm，则宽，无盖长方体水池的底面面积为4，四个侧面面积为，

造价

，

当且仅当：，即时取等号．

10.A

解：，

，

，

又，

，

．

11.小；4；；

解： ．

当且仅当，即时等号成立，又，．

12.6

解：因为，所以，当且仅当即时取等号，

则，

当且仅当即，时取等号，

13.

解法一：将变形为，将变形表示为，进而得b，c为方程的两实根，结合韦达定理进行求解即可．

解法二：将变形为，再利用不等式求解即可．

【解答】

解：解法一：由，可得，

由，

可得，

所以，

即，

因此可得b，c为方程的两实根，

所以，

即，解得

解法二：由，可得，

由，可得，

所以，

由，得

即

解得

14.

解：设为椭圆上的点，则，

，

即，当且仅当时等号成立，

以OP为直径的圆的方程为，

整理得，

又圆，

两圆方程相减得，直线AB的方程为，

 令，得，

令，得，

则直线AB与两坐标轴围成的三角形面积，

则三角形面积最小值为．

15.

解：由，得，

所以有，

当且仅当，即时，取等号．

故答案为．

【分析】

本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题．

由条件利用基本不等式求得，再利用基本不等式求得的最小值． 

解：，，且且， 

， 

， 

当且仅当时取等号． 

，当且仅当时取等号， 

的最小值为 

故答案为 ．

16.：都是正数，

当且仅当时，取等号，

当且仅当时，取等号，

当且仅当时，取等号．，

即．

17.解：设矩形菜园的长为，宽为，

则，篱的长为．

由，可得，

所以等号当且仅当时成立，

此时此时

所以这个矩形的长、宽各都为10m时，所用篱笆最短，最短的篱笆长

设矩形的长和宽分别为xm，ym，，，

，

，

，，

矩形的面积，

当且仅当时取“”，

当长和宽都为9m时，面积最大为．

18.解：由已知得 ，

所以 ，

得 ，即，

当且仅当即时取“”号，

故 ab的最小值是2．

因为，

当且仅当时取“”号，

由得，

当且仅当时取“”号，

所以，，

即不存在，使得．

19.解：因为，所以，

当且仅当，时取等号，

所以最小值为18；

因为，当且仅当时取等号，

所以，

即，

所以．下载本文