一、函数的基本概念问题
1．抽象函数的定义域问题
例1已知函数的定义域是[1，2]，求的定义域．
例2已知函数的定义域是[－1，2]，求函数的定义域．
2．抽象函数的值域问题
例4 设函数(x) 定义于实数集上，对于任意实数x、y， (x + y) = (x) (y)总成立，且存在x≠x，使得(x)≠( x)，求函数(x)的值域．
3．抽象函数的解析式问题
例5 设对满足 x≠0，x≠1的所有实数 x ，函数(x) 满足(x) + () = 1 + x，求(x) 的解析式．
二、寻觅特殊函数模型问题
1．指数函数模型
例6 设定义于实数集R上，当x＞0时，＞1 ，且对于任意实数x、y ，有(x + y) =·，同时(1) = 2，解不等式(3x－x)＞4．
2．对数函数模型
例7 已知函数满足：⑴() = 1；⑵函数的值域是[－1，1]；⑶在其定义域上单调递减；⑷＋= (x·y) 对于任意正实数x、y 都成立．解不等式·≤．
3．幂函数模型
例8 已知函数对任意实数x、y都有=·，且=1， =9，当0≤x＜1时，0≤＜1时．
⑴判断的奇偶性；
⑵判断在[0，＋∞上的单调性，并给出证明；
⑶若a≥0且≤，求a的取值范围．
三、研究函数的性质问题
1．抽象函数的单调性问题
例9 设(x) 定义于实数集上，当x＞0时， (x)＞1 ，且对于任意实数x、y，有(x + y) = (x) ·(y)，求证： (x) 在R 上为增函数．
2．抽象函数的奇偶性问题
例10 已知函数(x) (x∈R，x≠0）对任意不等于零实数x、x 都有(x·x) = (x) + (x)，试判断函数(x) 的奇偶性．
3．抽象函数的周期性问题
例11 函数定义域为全体实数，对任意实数 a、b，有(a＋b)＋(a－b) =2 (a) ·(b)，且存在C＞0 ，使得= 0 ，求证(x) 是周期函数．
4．抽象函数的对称性问题
例12 已知函数y =满足+= 2002，求+的值．
四、抽象函数中的网络综合问题
例13 定义在R上的函数满足：对任意实数m，n，总有=·，且当x＞0时，0＜＜1．
⑴判断的单调性；
练习：
1．设,求f(x+1)关于直线x=2对称的曲线方程。
2．函数y=f(x)在(0,2)上是增函数，函数y=f(x+2)是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．f(1) 4. 若函数f (x)=x2+bx+c 对一切实数都有f (2＋x) = f (2－x)则（ ） （A） f (2) （A）直线y=0 (B) 直线 x=0 (C) 直线 y=1 (D)直线 x=1 6、设函数y= f (x)定义在实数集R上，且满足 f (x－1)= f (1－x)，则函数y= f (x)的图象关于（ ）对称。 （A）直线y=0 (B) 直线 x=0 (C) 直线y=1 (D)直线 x=1 7、设函数f (x)=(x＋a)3 对任意实数x 都有 f (2+x) =－f (2－x) ,则 f (－3)+f (3) = ( ) (A) －124 (B) 124 (C) －56 (D) 56 8、已知实系数多项式函数f (x) 满足f (1－x) = f (3＋x) , 并且方程 f (x)=0有四个根，求这四个根之和。 9、函数 f(x)的定义域为R，且满足 f (12－x) = f (x) ,方程f (x) =0 有 n个实数根，这n个实数根的和为1992，那么n为（ ） （A） 996 （B） 498 （C） 332 （D） 116 10、设f (x) 是定义在实数集R上的函数，且满足 f (10+x) = f (10－x)与 f (20－x)= －f (20+x)，则f (x)是 （ ） （A）偶函数，又是周期函数， （B）偶函数，但不是周期函数 （C）奇函数，又是周期函数， （D）奇函数，但不是周期函数 11、设y=f (x) 是定义在实数集R上的函数，且满足 f (－x) = f (x)与f (4－x)=f (x)，若当 x∈[0,2]时，f (x) =-－x2 +1 ,则当x∈[－6 , －4 ]时f (x)= （ ） （A）－x2 +1 (B) －(x－2)2 +1 (C)－(x+4)2 +1 (D) － (x+2)2 +1 12、设f (x)= x2 +1 , 若g (x)的图象与y= f (x+2) 的图象关于点 （1，1）对称，求g (x).下载本文
