数 学Ⅰ

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．

1、已知集合,,则=    ．

【答案】

【解析】根据集合的交集运算，两个集合的交集就是所有既属于集合又属于集合的元素组成的集合，从所给的两个集合的元素可知，公共的元素为-1和3，所以答案为

【点评】本题重点考查的是集合的运算，容易出错的地方是审错题目，把交集运算看成并集运算。属于基础题，难度系数较小。

2、已知复数(为虚数单位），则的实部为    ．

【答案】21

【解析】根据复数的乘法运算公式，，实部为21，虚部为-20。

【点评】本题重点考查的是复数的乘法运算公式，容易出错的地方是计算粗心，把算为1。属于基础题，难度系数较小。

N

3、右图是一个算法流程图，则输出的的值是    ．

【答案】5

【解析】根据流程图的判断依据，本题是否成立，若不成立，则从1开始每次判断完后循环时，赋值为；若成立，则输出的值。本题经过4次循环，得到，成立，则输出的的值为5

【点评】本题重点考查的是流程图的运算，容易出错的地方是判断循环几次时出错。属于基础题，难度系数较小。

4、从这个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为的概率是    ．

【答案】

【解析】将随机选取2个数的所有情况“不重不漏”的列举出来：（1，2），（1，3）（1，6），（2，3），（2，6），（3，6），共6种情况，满足题目乘积为6的要求的是（1，6）和（2，3），则概率为。

【点评】本题主要考查的知识是概率，题目很平稳，考生只需用列举法将所有情况列举出来，再将满足题目要求的情况选出来即可。本题属于容易题，但同时也易在列举时粗心、遗漏，需要引起考生的注意。

5、已知函数与，它们的图象有一个横坐标为的交点，则的值是    ．

【答案】

【解析】根据题目中两个函数的图象有一个横坐标为的交点，所以将分别代入两个函数，得到，通过正弦值为，解出或，化简解得或，结合题目中的条件，确定出。

【点评】本题主要考查的是三角函数，由两个图象交点建立一个关于的方程，在解方程时，考生一般只想到第一种情况，忽略了在一个周期内，正弦值为的角有两个：和，然而最终答案却由第二种情况解出，此处为考生的易错点和薄弱点，主要是由于对正弦值为的角的惯性思维为，这个问题也是今年的热点问题，在模拟题中也经常出现，需要引起考生的重视。

6、在底部周长的树木进行研究，频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有    株树木的底部周长小于100cm.

【答案】24

【解析】从图中读出底部周长在的频率为，底部周长在的频率为，样本容量为60株，株是满足题意的。

第6题图               

【点评】本题考查统计部分的内容，重点考查频率分布直方图。频率分布直方图的纵轴表示，图中读出的数据并非是频率，需要乘以组距10以后才为频率。频率分布直方图近三年的江苏考卷中都未出现，今年也是作为高考热点出现了，希望引起重视。

7、 在各项均为正数的等比数列中，若，，则的值是     ．【答案】4

【解析】根据等比数列的定义，，所以由得，消去，得到关于的一元二次方程，解得，

【点评】本题重点考查等比数列的通项公式，将题中数列的项用和表示，建立方程解得，考查以为一个整体的整体思想去解方程，对于第7题考查此题，显得太过简单了，但此题也有易错点，考生易将等比看为等差。

8、设甲、乙两个圆柱的底面积分别为，体积分别为，若它们的侧面积相等，，则    ．

【答案】

【解析】由题意，，所以，圆柱的侧面积，，则，

【点评】本题考查了圆柱的体积，主要根据侧面积相同，由底面积的比值找到高、体积的比值，难度适中。

9、在平面直角坐标系xOy中，直线被圆截得的弦长

为     ．

【答案】

【解析】根据直线和圆的位置关系，直线与圆相交，求弦长，构建“黄金三角形”勾股定理，圆心为，，圆心到直线的距离，弦长==

【点评】本题主要考查直线和圆相交求弦长，直线和圆的位置关系向来都是热点和重点问题，本题考查的也是一个相对简单的问题，主要侧重计算。

10、已知函数，若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是    ．

【答案】

【解析】二次函数开口向上，在区间上始终满足，只需即可，，解得，则

【点评】本题主要考查二次函数含参数问题，将区间上恒成立转化为只需区间端点处成立，使得题目解答过程和思路都简单很多，如果对于对称轴和区间进行讨论亦可做出但较繁琐，考生可以自己尝试。

11、在平面直角坐标系xOy中，若曲线过点，且该曲线在点处的切线与直线平行，则的值是   ．

【答案】

【解析】根据点在曲线上，曲线在点处的导函数值等于切线斜率，，，将带入得，解得，则

【点评】本题主要考查导数的应用，求切线问题，题目很基础，点在曲线上，以及导函数在切点处的取值等于切线的斜率，而直线平行提供切线斜率，建立关于的方程组。

P

12、如图，在平行四边形中，已知，，则的值是    ．

【答案】22

【解析】以为基底，因为，

，

则

因为则，故

【点评】本题主要考查向量，向量的基底表示，向量的运算，本题关键在于选取哪两个向量为基底，根据题目中已知的两条边长，选为基底最为合适。向量一直都是高考的热点话题，本题的难度适中，希望引起考生的注意。

13．已知是定义在上且周期为3的函数，当时，

   在区间上有10个零点（互不相同），则实数的取值范围是    ．

【答案】

【解析】根据题目条件，零点问题即转化为数形结合，通过找与的图象交点去推出零点，先画出[0,3]上的图像，再将轴下方的图象对称到上方，利用周期为3，将图象平移至，发现若图象要与有10个不同的交点，则

【点评】本题主要考查函数零点问题，转为为数形结合，利用图象交点去解决问题，因为零点问题、数形结合是重要的考点和难点，但是本题考查的不是特别深，所以题目难度适中，只要能画出图象就可以解决问题。同时，这也是近年来高考的热点，同样需要注意。

14．若三角形的内角满足，则的最小值是    ．

【答案】

【解析】根据题目条件，由正弦定理将题目中正弦换为边，得，再由余弦定理，用去表示，并结合基本不等式去解决，化简为，消去就得出答案。

【点评】本题主要考查正、余弦定理，以及不等式，最终最值是在这样一个较为特殊的角处取的，题目做为填空题的压轴题，实在是简单了，没有过多的技巧与构造，只需要用正、余弦定理和不等式即可很轻松做出答案。

15.已知。

（1）求的值；

（2）求的值。

15.（1）∵α∈（，π），= 

∴=

∴=+=

（2）=12=，=2=

=+=+（）=

16.如图，在三棱锥PABC中，D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点。已知PA⊥AC，PA=6,BC=8，DF=5.

求证：（1）直线PA∥平面DEF;

（2）平面BDE⊥平面ABC.

（1）∵D,E,分别为PC,AC,的中点

∴DE∥PA

又∵DE 平面PAC，PA 平面PAC

∴直线PA∥平面DEF

（2）∵E,F分别为棱AC,AB的中点，且

BC=8，由中位线知EF=4

∵D,E,分别为PC,AC,的中点，且PA=6，由中位线知DE=3，又∵DF=5

∴DF²=EF²+DE²=25，∴DE⊥EF，又∵DE∥PA，∴PA⊥EF，又∵PA⊥AC，又∵AC  EF=E，AC 平面ABC，EF 平面ABC，∴PA⊥平面ABC，∴DE⊥平面ABC，∵DE 平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC

    17.如图，在平面直角坐标系xOy中，F1、F2 分别是椭圆的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连结BF2

y

 交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连结F1C.

（1）若点C的坐标为（，），且BF2 =，求椭圆的方程；

（2）若F1C⊥AB,求椭圆离心率e 的值。

（1）∵BF2 = ，

将点C（，）代入椭圆，

∴，

且c²+b²=a²

∴a= ，b=1, ∴椭圆方程为

（2）直线BA方程为y=x+b,与椭圆联立得

x²x=0. ∴点A（，），∴点C（，）

F1（）

直线CF1 斜率k= ，又∵F1C⊥AB ，∴·=

∴=1，∴e=

18. 如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC与河岸AB垂直，保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO=.

（1）求新桥BC的长：

（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？

18. （1）过点B作BE⊥OC于点E，

过点A作AD⊥BE于点F。

∵tan∠BCO=，设BC=5x ，CE=3x ，BE=4x ，

∴OE=，AF=170 ，EF=AO=60 ，BF=4x60

又∵AB⊥BC ，且∠BAF+∠ABF=90°，

∠CBE+∠BOC=90°，∴∠ABF +∠CBE=90°，∴∠CBE +∠BAF=90°，

∴tan∠BAF= =  = ，∴x=30 ，BC=5x=150m∴新桥BC的长为150m。

（2）以OC方向为x轴，OA为y轴建立直角坐标系。设点M（0，m），点A（0,60），B（80,120），C（170,0）直线BC方程为y=（x），

即4x+3y∴半径R= ，又因为古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，∴RAM 80 且R80 ，∴  80 ， 80，

∴35 ，∴R= 此时圆面积最大。∴当OM=10时圆形保护区面积最大。

19.已知函数+ ，其中e是自然对数的底数。

（1）证明：是R上的偶函数；

（2）若关于x 的不等式m+m1在（0，+）上恒成立，求实数m的取值范围；

（3）已知正数a满足:存在x0 [1，+），使得（x0 3 +3x0）成立，试比较 与的大小，并证明你的结论。

（1）∵x=+=，∴是R上的偶函数

（2）∵+2=21 ，∴，∴m（）1，∴m= ，

令= ，= ，∴x时

单调减，x时单调增，∴min== ，若关于x 的不等式m+m1在（0，+）上恒成立，则只要mmin恒成立 ，∴m 。∴m （]。

（3）由题正数a满足:存在x0 [1，+），使得（x0 3 +3x0）成立。即+（x0 3 +3x0）令=+（x 3 +3x），即min0。-

= +3a ，当x [1，+）时，0 ，min ==e+ -2a0 ，∴a +  。

要比较与的大小，两边同时取以e为底的对数。只要比较a-1与（e-1）lna的大小。令 = a-1-( e-1）lna ，

= 1- ，∵a +  + e-1，∴a（ + ）时y单调减，a（）时y单调增，又∵ + ，当a=1时，y=0，∴当a= + 时，y0，当a=e时，y=0。∴a=e-1时，y0。

∴当 + 时，y0，此时a-1（e-1）lna ，即。

当a=e时y0，此时a-1（e-1）lna ，即。

当ae时y0，此时a-1（e-1）lna ，即。

20.设数列{}的前n项和为.若对任意的正整数n,总存在正整数m,使得，则称{}是“H数列。”

（1）若数列{}的前n项和=（n），证明：{}是“H数列”；

（2）设数列{}是等差数列，其首项=1.公差d0.若{}是“H数列”，求d的值；

（3）证明：对任意的等差数列{}，总存在两个“H数列” {}

和{}，使得=（n）成立。

（1）证明：∵= ，∴==（n），又==2= ，∴（n）。∴存在m=n+1使得

（2）=1+（n-1）d ，若{}是“H数列”则对任意的正整数n,总存在正整数m,使得 。=1+（m-1）d成立。化简得m= +1+，且d0 

又m ， ，d，且为整数。

（3）证明：假设成立且设都为等差数列，则

n+=+（-1），

=++1，

∴= （）

同理= （）

取==k

由题==+（-1）++（-1）

=（）+（n-1）（）=（n+k-1））

可得{}为等差数列。即可构造出两个等差数列{}

和{}同时也是“H数列”满足条件。下载本文