1．如图，△ABC中，以BC为直径的圆交AB于点D，∠ACD=∠ABC．
（1）求证：CA是圆的切线；
（2）若点E是BC上一点，已知BE=6，tan∠ABC=，tan∠AEC=，求圆的直径．
2如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝2，∠B＝30°，C是弦AB上的任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交于⊙O于点D，连接AD．
(1)弦长AB等于 ▲ （结果保留根号）；
(2)当∠D＝20°时，求∠BOD的度数；
(3)当AC的长度为多少时，以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似？请写出解答过程．
3. 如图右，已知直线PA交⊙0于A、B两点，AE是⊙0的直径．点C为⊙0上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D。
(1)求证：CD为⊙0的切线；
(2)若DC+DA=6，⊙0的直径为l0，求AB的长度.
4．（已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B重合），连接PA、PB、PC、PD．
(1)如图①，当PA的长度等于 ▲ 时，∠PAB＝60°；
当PA的长度等于 ▲ 时，△PAD是等腰三角形；
(2)如图②，以AB边所在直线为x轴、AD边所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系（点A即为原点O），把△PAD、△PAB、△PBC的面积分别记为S1、S2、S3．坐标为（a，b），试求2 S1 S3－S22的最大值，并求出此时a，b的值．
6.（11金华）如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，10为半径作⊙O，分别与∠EPF 的两边相交于A、B和C、D，连结OA，此时有OA//PE．
（1）求证：AP=AO；
（2）若tan∠OPB=，求弦AB的长；
（3）若以图中已标明的点（即P、A、B、C、D、O）构造四边形，则能构成菱形的四个点为 ▲ ，能构成等腰梯形的四个点为 ▲ 或 ▲ 或 ▲ .
7．（芜湖市）（本小题满分12分）
如图，BD是⊙O的直径，OA⊥OB，M是劣弧上一点，过点M点作⊙O的切线MP交OA的延长线于P点，MD与OA交于N点．
（1）求证：PM＝PN；（2）若BD＝4，PA＝ AO，过点B作BC∥MP交⊙O于C点，求BC的长．
8．（黄冈市）（6分）如图，点P为△ABC的内心，延长AP交△ABC的外接圆于D，在AC延长线上有一点E，满足AD＝AB·AE，求证：DE是⊙O的切线.
9．（义乌市）如图，以线段为直径的⊙交线段于点，点是的中点，交于点，°，，．
（1）求的度数；
（2）求证：BC是⊙的切线；
（3）求的长度．
10. （兰州市）（本题满分10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB.
（1）求证：PC是⊙O的切线； （2）求证：BC=AB；
（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN·MC的值.
11．（本题满分14分）
如图（1），两半径为的等圆和相交于两点，且过点．过点作直线垂直于，分别交和于两点，连结．
（1）猜想点与有什么位置关系，并给出证明；
（2）猜想的形状，并给出证明；
（3）如图（2），若过的点所在的直线不垂直于，
且点在点的两侧，那么（2）中的结论是否成立，若成立请给出证明．
12．如图12，已知：边长为1的圆内接正方形中，为边的中点，直线交圆于点．
（1）求弦的长．
（2）若是线段上一动点，当长为何值时，三角形与以为顶点的三角形相似．
13.．（本小题满分10分）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，AB为直径， ABC=30°，CD是⊙O的切线，ED⊥AB于F，
(1)判断△DCE的形状；(2)设⊙O的半径为1，且OF=，求证△DCE≌△OCB．
14（08湖北襄樊24题）8．（本小题满分10分）
如图14，直线经过上的点，并且，，交直线于，连接．
（1）求证：直线是的切线；
（2）试猜想三者之间的等量关系，并加以证明；
（3）若，的半径为3，求的长．
15、⊙O的半径OD经过弦AB(不是直径)的中点C，过AB的延长线上一点P作⊙O的切线PE，E为切点，PE∥OD；延长直径AG交PE于点H；直线DG交OE于点F，交PE于点K．
（1）求证：四边形OCPE是矩形；（2）求证：HK＝HG； （3）若EF＝2，FO＝1，求KE的长．
16、如图，直角坐标系中，已知两点O(0,0) A(2,0)，点B在第一象限且△OAB为正三角形，△OAB的外接圆交轴的正半轴于点C，过点C的圆的切线交X轴于点D．
（1）求两点的坐标；（2）求直线的函数解析式；
（3）设分别是线段上的两个动点，且平分四边形的周长．
试探究：的最大面积？
17 如图（17），在平面直角坐标系中，的边在轴上，且，以为直径的圆过点．若点的坐标为，，A、B两点的横坐标，是关于的方程的两根．
（1）求、的值；
（2）若平分线所在的直线交轴于点，试求直线对应的一次函数解析式；
（3）过点任作一直线分别交射线、（点除外）于点、．则的是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
18、如图，在中，是的中点，以为直径的交
的三边，交点分别是点．的交点为，且，
．
（1）求证：．
（2）求的直径的长．
答案
1、解：
3、解： (1)证明：连接OC,
∵点C在⊙0上，0A=OC,∴∠OCA=∠OAC，∵CD⊥PA，∴∠CDA=90°，
有∠CAD+∠DCA=90°，∵AC平分∠PAE，∴∠DAC=∠CAO。
∴∠DC0=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°。
又∵点C在⊙O上，OC为⊙0的半径，∴CD为⊙0的切线．
(2)解：过0作0F⊥AB，垂足为F，∴∠OCA=∠CDA=∠OFD=90°，
∴四边形OCDF为矩形，∴0C=FD，OF=CD.
∵DC+DA=6，设AD=x，则OF=CD=6-x，∵⊙O的直径为10，∴DF=OC=5，∴AF=5-x，
在Rt△AOF中，由勾股定理得.即，化简得：
解得或。由AD 6、解：（1）∵PG平分∠EPF， ∴∠DPO=∠BPO ， ∵OA//PE，∴∠DPO=∠POA ， ∴∠BPO=∠POA，∴PA=OA； ……2分 （2）过点O作OH⊥AB于点H，则AH=HB=AB，……1分 ∵ tan∠OPB=，∴PH=2OH， ……1分 设OH=，则PH=2， 由（1）可知PA=OA= 10 ，∴AH=PH－PA=2－10， ∵， ∴， ……1分 解得（不合题意，舍去），， ∴AH=6， ∴AB=2AH=12； ……1分 （3）P、A、O、C；A、B、D、C 或 P、A、O、D 或P、C、O、B. 8、证明：连结DO， ∵AD＝AB·AE，∠BAD＝∠DAE， ∴△BAD∽△DAE， ∴∠ADB＝∠E. 又∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ACB＝∠E，BC∥DE， 又∵OD⊥BC， ∴OD⊥DE，故DE是⊙O的切线 9、（解：（1）∵∠BOE=60° ∴∠A ＝∠BOE ＝ 30° （2）在△ABC中 ∵ ∴∠C=60°…1分 又∵∠A ＝30° ∴∠ABC=90°∴……2分 ∴BC是⊙的切线 （3）∵点M是的中点 ∴OM⊥AE 在Rt△ABC中 ∵ ∴AB=6 ∴OA= ∴OD= ∴MD = 10、解：（1）∵OA=OC,∴∠A=∠ACO ∵∠COB=2∠A ,∠COB=2∠PCB ∴∠A=∠ACO=∠PCB ∵AB是⊙O的直径 ∴∠ACO+∠OCB=90° ∴∠PCB+∠OCB=90°,即OC⊥CP ∵OC是⊙O的半径 ∴PC是⊙O的切线 （2）∵PC=AC ∴∠A=∠P ∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P ∵∠COB=∠A+∠ACO,∠CBO=∠P+∠PCB ∴∠CBO=∠COB ∴BC=OC ∴BC=AB (3)连接MA,MB ∵点M是弧AB的中点 ∴弧AM=弧BM ∴∠ACM=∠BCM ∵∠ACM=∠ABM ∴∠BCM=∠ABM ∵∠BMC=∠BMN ∴△MBN∽△MCB ∴ ∴BM2=MC·MN ∵AB是⊙O的直径，弧AM=弧BM ∴∠AMB=90°,AM=BM ∵AB=4 ∴BM= ∴MC·MN=BM2=8 11、解：（1）在上证明：过点，．又的半径也是，点在上． （2）是等边三角形 证明：，． 是的直径，是的直径，即，在上，在上． 连结，则是的中位线．． ，则是等边三角形． （3）仍然成立．证明：由（2）得在中所对的圆周角为． 在中 所对的圆周角为． 当点在点的两侧时， 在中所对的圆周角，在中所对的圆周角， 是等边三角形． 12、解：1）如图1．过点作于点．在中， 又 的度数为 （2）如图2．当时有得：．即点与点重合， 如图3，当时，有得，即 当或时，三角形与以点为顶点的三角形相似． 13、解： (1)∵∠ABC=30°，∴∠BAC=60°．又∵OA=OC, ∴△AOC是正三角形． 又∵CD是切线，∴∠OCD=90°，∴∠DCE=180°-60°-90°=30°． 而ED⊥AB于F，∴∠CED=90°-∠BAC=30°．故△CDE为等腰三角形． (2)证明：在△ABC中，∵AB=2，AC=AO=1，∴BC==． OF=,∴AF=AO+OF=． 又∵∠AEF=30°,∴AE=2AF=+1． ∴CE=AE-AC==BC． 而∠OCB=∠ACB-∠ACO=90°-60°=30°=∠ABC,故△CDE≌△COB. 14、解： （1）证明：如图3，连接．，，． 是的切线． （2）．是直径，．． 又，，． 又， ．． （3），．，． 设，则． 又，． 解之，得，．，．． 15、解：(1)∵AC＝BC，AB不是直径，∴OD⊥AB，∠PCO＝90°(1分) ∵PE∥OD,∴∠P＝90°，∵PE是切线，∴∠PEO＝90°，(2分) ∴四边形OCPE是矩形.(3分) (2)∵OG＝OD,∴∠OGD＝∠ODG.∵PE∥OD,∴∠K＝∠ODG.(4分) ∵∠OGD＝∠HGK,∴∠K＝∠HGK,∴HK＝HG.(5分) (3)∵EF＝2，OF＝1,∴EO＝DO＝3.(6分)∵PE∥OD， ∴∠KEO＝∠DOE，∠K＝∠ODG. ∴△OFD∽△EFK，(7分)∴EF∶OF＝KE∶OD＝2∶1,∴KE＝6.(8分) 16、解:（1），．作于，为正三角形， ，．．连，，， ．． （2），是圆的直径，又是圆的切线，． ，．． 设直线的函数解析式为， 则，解得．直线的函数解析式为． （3），，，，四边形的周长． 设，的面积为，则，． ．当时，． 点分别在线段上，，解得． 满足，的最大面积为． 17、 解：（1）以为直径的圆过点，，而点的坐标为， 由易知，， 即：，解之得：或．，， 即．由根与系数关系有：，解之，． （2）如图（3），过点作，交于点， 易知，且，在中，易得， ， ， 又，有，， ，则，即，易求得直线对应的一次函数解析式为：． 解法二：过作于，于，由，求得 又求得．即，易求直线解析式为：． （3）过点作于，于．为的平分线，． 由，有由， 有， 即 18、解：（1）连接 是圆直径，，即 ，． ． 在中． 2分 （2）是斜边的中点，，， 又由（1）知，． 又，与相似 4分 又， ，， 设，，， 直径．下载本文
