【题型归纳】
题型一 利用正、余弦定理解三角形
例1 在中，，，，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】因为，所以由余弦定理，
得，
所以，故选A．
例2 的内角,,的对边分别为，，，若，，，则 ．
【答案】
【解析】∵，，所以，，
所以，
由正弦定理得：解得．
例3 的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得
，
即，所以.
由正弦定理，得，即，得.故选.
【易错点】两角和的正弦公式中间的符号易错
【思维点拨】已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形.可用正弦定理，也可用余弦定理.
用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数.
题型二 角的正弦值和边的互化
例1 的三个内角，，所对的边分别为，，，，则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由正弦定理，得，
即，，∴．
例2 设的内角所对边的长分别为．若，则
则角_____.
【答案】
【解析】，，所以．
例3 在中，内角，，所对的边分别为，，．已知．
（1）求角的大小；
（2）设，，求和的值．
【答案】（1） （2），
【解析】(1)在中，由正弦定理，可得，
又由，得，
即，可得．
又因为，可得．
(2)在中，由余弦定理及，，，
有，故．
由，可得．因为，故．
因此，
所以，
例4 在中，内角，，所对的边分别为，，．已知
（1）求；
（2）若的面积为，求的周长．
【答案】（1） （2）
【解析】(1)由正弦定理得：
∵，∴
∴， ∵ ∴．
由余弦定理得：
∴ ∴ ∴周长为
题型三 利用正弦、余弦定理判定三角形的形状
例1 设，内角，，所对的边分别为，，．若, 则的形状为
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
【答案】B
【解析】∵，
∴由正弦定理得，
∴，∴，∴，∴是直角三角形．
例2 设，内角，，所对的边分别为，，，若，则为( )
A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形
【答案】C
【解析】由，得，
所以，即，所以，
因为在三角形中，所以，即为钝角，所以为钝角三角形.
例3 在中，已知，则的形状为（ ）
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形或直角三角形
【答案】
【解析】由已知可得,,即或,可得或,所以的形状为等腰三角形或直角三角形.
【易错点】诱导公式易出错
【思维点拨】1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.
2.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的.
题型四 和三角形面积有关的问题
例1 的内角，，的对边分别为，，，若的面积为，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】根据题意及三角形的面积公式知，
所以，所以在中，．故选C．
例2 在中，，，分别为内角，，所对的边长，若，，则的面积是
A．3 B． C． D．
【答案】
【解析】由可得①，由余弦定理及可得②．所以由①②得，所以．
例3 的内角的对边分别为 ，已知，，．
（1）求；
（2）设为边上一点，且，求的面积．
【答案】(1)4 (2)
【解析】（1）由，得，即，
又，所以，得.由余弦定理得.
又因为代入并整理得，解得.
（2）因为，由余弦定理得.
因为，即为直角三角形，则，得.
从而点为的中点，.
【易错点】给出三角函数值求角、余弦定理求边
【思维点拨】三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.
【巩固训练】
题型一 利用正、余弦定理解三角形
1.在中，若，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由正弦定理得：．
2.在中，角所对的边分别为，若，，则角的大
小为 ．
【答案】
【解析】由得，即，
因，所以.又因为
由正弦定理得，
解得，而则,故．
3.在中，，边上的高等于，则（ ）.
A. B. C. D.
【答案】
【解析】如图所示.依题意，，.
在中，由余弦定理得故选C.
4.在中，内角所对的边分别为.已知，，.
（1）求和的值；
（2）求的值.
【答案】见解析
【解析】（1）在中，因为，故由，可得.由已知及余弦定理，得，所以.
由正弦定理，得.
（2）由（Ⅰ）及，得，所以，
，故.
5. 如图中，已知点在边上，，，，，则的长为_______．
【答案】
【解析】∵
∴根据余弦定理可得，
．
题型二 角的正弦值和边的互化
1.在，内角所对的边长分别为．若，且，则=
A． B． C． D．
【答案】
【解析】边换后约去，得，所以，但B非最大角，所以．
2. 在，内角所对的边长分别为，若，且，则角的大小为________.
【答案】
【解析】由，根据正弦定理得，，代入得，由余弦定理得：，∴.
3.已知、、分别为三个内角、、的对边，．
（1）求；
（2）若，的面积为，求、．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）由正弦定理得：
（2）
，解得：．
题型三 利用正、余弦定理判定三角形的形状
1.在中，若，则△的形状是（ ）
A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定
【答案】
【解析】由已知可得，，所以△的形状是钝角三角形
2. 在中，、、分别为三个内角、、的对边，若，则的形状为( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形
【答案】D
【解析】∵，∴由正弦定理得，
∴,
∴，∴或，∴为等腰或直角三角形.
题型四 和三角形面积有关的问题
1.中，，，分别为内角，，所对的边长．已知．
（1）求的值；
（2）求的面积．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）在中，由题意知，
又因为，所有，
由正弦定理可得．
（2）由得，，
由，得．
所以
．
因此，的面积．
2. 在内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若，求△面积的最大值．
【答案】（1） （2）
【解析】
（1）因为，所以由正弦定理得：
，
所以，
即，因为0，所以，解得B=；
（2）由余弦定理得：，即，由不等式得：，当且仅当时，取等号，所以，解得，所以△ABC的面积为=，所以△面积的最大值为．
3. 设的内角所对边的长分别为，且有．
（1）求角A的大小；
（2）若，，为的中点，求的长．
【答案】(1) (2)
【解析】（1）
（2）
在中，．
4.在中，内角所对的边分别为，，.已知.
（1）求证：；
（2）若的面积，求出角的大小.
【答案】(1) 见解析 (2) 或
【解析】（1）由正弦定理得，
故，
于是,又，，故，所以 或，因此（舍去）或，所以
（2）由，得.由正弦定理得，
因为，得．又，，所以．
当时，由，，得；
当时，由，，得．
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