注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共4页，满分为160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题纸交回．
2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题纸上．
3．作答必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效．如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
2011．11
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
1． 已知集合，，则 ▲ .
2． 已知复数的实部为，模为，则复数的虚部是 ▲ .
3． 命题：“，”的否定是 ▲ .
4． 设定义在区间上的函数的图象与图
象的交点横坐标为，则的值为 ▲ .
5． 已知是上的奇函数，且时，，则不等
式的解集为 ▲ .
6． 已知数列与均为等比数列，且，则
▲ .
7． 若集合，则整数的最小值为 ▲ .
8． 如图，表示第i个学生的学号，表示第i个学生的成绩，
已知学号在1~10的学生的成绩依次为401、392、385、359、372、327、354、361、345、337，
则打印出的第5组数据是 ▲ .
9． “，且”是“”成立的 ▲ 条件．
（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”中选填一种）
10．记当时，观察下列等式：
，
，
，
，
，
可以推测， ▲ .
11．如图，三次函数的零点为，则该函数的单调减区间为 ▲ .
12．已知函数的图象在点处的切线与轴的交点的横坐标为，其中，，
则 ▲ .
13．已知中心为的正方形的边长为2，点、分别为线段、上的两个不同点，且，则的取值范围是 ▲ .
14．已知偶函数：满足，，对任意的，都有
，（注：表示中较大的数），则的可能值是 ▲ .
二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．(本小题满分14分)
平面直角坐标系中，已知向量且．
（1）求与之间的关系式；
（2）若，求四边形的面积．
16．(本小题满分14分)
设定义在上的函数的最小正周期为．
（1）若，，求的最大值；
（2）若，，求的值．
17．(本小题满分14分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
（1）求的值；
（2）试判断△ABC的形状，并说明理由．
18．(本小题满分16分)
如图，某兴趣小组测得菱形养殖区的固定投食点到两条平行河岸线的距离分别为
4m、8m，河岸线与该养殖区的最近点的距离为1m，与该养殖区的最近点的距离为2m．
（1）如图甲，养殖区在投食点的右侧，若该小组测得，请据此算出养殖区的面积；
（2）如图乙，养殖区在投食点的两侧，试在该小组未测得的大小的情况下，估算出养
殖区的最小面积．
19．(本小题满分16分)
若函数为定义域上单调函数，且存在区间（其中），使得当时，
的取值范围恰为，则称函数是上的正函数，区间叫做等域区间．
（1）已知是上的正函数，求的等域区间；
（2）试探究是否存在实数，使得函数是上的正函数？若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
20．(本小题满分146分)
设为关于n的k次多项式．数列{an}的首项，前n项和为．对于任意的正
整数n，都成立．
（1）若，求证：数列{an}是等比数列；
（2）试确定所有的自然数k，使得数列{an}能成等差数列．
附加题部分
21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做两小题，每小题10分，共计20分，解答时应写
出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．（几何证明选讲）
如图，从圆外一点作圆的两条切线，切点分别为，
与交于点，设为过点且不过圆心的一条弦，
求证：四点共圆．
B．（矩阵与变换）
设矩阵，若矩阵的属于特征值1的一个特征向量为，属于特征值2的一个特
征向量为，求实数的值．
C．（极坐标与参数方程）
在极坐标系中，已知点，求以为直径的圆的极坐标方程．
D．（不等式选讲）
设正实数，满足，求证： ．
【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．如图，正四棱柱中，设，，
若棱上存在点满足平面，求实数的取值范围．
23．设是给定的正整数，有序数组同时满足下列条件：
①,； ②对任意的,都有．
（1）记为满足“对任意的，都有”的有序数组的个数，求；
（2）记为满足“存在，使得”的有序数组的个数，求．
2012届高三年级期中考试
数学Ⅰ
2011．11
参及评分建议
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
1． 已知集合，，则 ▲ .
2． 已知复数的实部为，模为，则复数的虚部是 ▲ .
3． 命题：“，”的否定是 ▲ .
4． 设定义在区间上的函数的图象与图象的交点横坐标为，则的
值为 ▲ .
5． 已知是上的奇函数，且时，，则不等
式的解集为 ▲ .
6． 已知数列与均为等比数列，且，则
▲ .
7． 若集合，则整数的最小值为 ▲ .
8． 如图，表示第i个学生的学号，表示第i个学生的成绩，
已知学号在1~10的学生的成绩依次为401、392、385、359、
372、327、354、361、345、337，则打印出的第5组数据是 ▲ .
9． “，且”是“”成立的 ▲ 条件．
（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”中选填一种）
10．记当时，观察下列等式：
，
，
，
，
，
可以推测， ▲ .
11．如图，三次函数的零点为，则该函数的单调减区间为 ▲ .
12．已知函数的图象在点处的切线与轴的交点的横坐标为，其中，，
则 ▲ .
13．已知中心为的正方形的边长为2，点、分别为线段、上的两个不同点，且
，则的取值范围是 ▲ .
14．已知偶函数：满足，，对任意的，都有
，（注：表示中较大的数），则的可能值是 ▲ .
【填空题答案】
1. ； 2. ； 3. ； 4. ； 5. ；
6. ； 7. ； 8. ； 9. 充分不必要； 10. ；
11. ； 12. ； 13.； 14. 1 .
二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．(本小题满分14分)
平面直角坐标系中，已知向量且．
（1）求与之间的关系式；
（2）若，求四边形的面积．
【解】（1）由题意得, , ………………………2分
因为，
所以，即，①……………………………4分
（2）由题意得，， ………………6分
因为，
所以，即，② …………8分
由①②得或………………………………………………10分
当时，，，则…………12分
当时，，，则………14分
所以，四边形的面积为16．
16．(本小题满分14分)
设定义在上的函数的最小正周期为．
（1）若，，求的最大值；
（2）若，，求的值．
【解】（1）当，时， ，
化简得， …………………………………………………………2分
因为，所以，即，
所以，的最大值为8．……………………………………………………………6分
（2）当时，
， ……………………………………………………………10分
因为，所以，…………………………………………………12分
此时，，所以．…………………………………………14分
17．(本小题满分14分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
（1）求的值；
（2）试判断△ABC的形状，并说明理由．
【解】（1）由得，
在△ABC中，，……………………………………………………3分
由得，
由正弦定理得，
所以，；……………………………………………………………7分
（2）△ABC为等边三角形，下证之：………………………………………………………9分
由知
不失一般性，可设，
则，
消去得，即，
所以，，即证．……………………………………………14分
18．(本小题满分16分)
如图，某兴趣小组测得菱形养殖区的固定投食点到两条平行河岸线的距离分别为
4m、8m，河岸线与该养殖区的最近点的距离为1m，与该养殖区的最近点的距离为2m．
（1）如图甲，养殖区在投食点的右侧，若该小组测得，据此算出养殖区的面积；
（2）如图乙，养殖区在投食点的两侧，试在该小组未测得的大小的情况下，估算出养
殖区的最小面积．
【解】（1）如图甲，设与所成夹角为，则与所成夹角为，
对菱形的边长“算两次”得………………………………2分
解得，…………………………………………………………4分
所以，养殖区的面积；……6分
（2）如图乙，设与所成夹角为，则与所成夹角为
，
对菱形的边长“算两次”得，………………8分
解得，………………………………………10分
所以，养殖区的面积，……12分
由得
，……………………………………14分
经检验得，当时，养殖区的面积． …………………16分
答：（1）养殖区的面积为；（2）养殖区的最小面积为．
19．(本小题满分16分)
若函数为定义域上单调函数，且存在区间（其中），使得当时，
的取值范围恰为，则称函数是上的正函数，区间叫做等域区间．
（1）已知是上的正函数，求的等域区间；
（2）试探究是否存在实数，使得函数是上的正函数？若存在，请求出
实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
【解】（1）因为是上的正函数，且在上单调递增，
所以当时， 即 …………………………………………………3分
解得，
故函数的“等域区间”为；………………5分
（2）因为函数是上的减函数，
所以当时，即……………………7分
两式相减得，即，……………………9分
代入得，
由，且得，……………………11分
故关于的方程在区间内有实数解，………13分
记，
则解得．………………………16分
20．(本小题满分146分)
设为关于n的k次多项式．数列{an}的首项，前n项和为．对于任意的正
整数n，都成立．
（1）若，求证：数列{an}是等比数列；
（2）试确定所有的自然数k，使得数列{an}能成等差数列．
【证】（1）若，则即为常数，不妨设（c为常数）．
因为恒成立，所以，即．
而且当时， ①
， ②
①－②得．
若an=0，则，…，a1=0，与已知矛盾，所以．
故数列{an}是首项为1，公比为的等比数列． ……………………………4分
【解】（2）(i) 若k=0，由（1）知，不符题意，舍去．
(ii) 若k=1，设（b，c为常数），
当时， ③
， ④
③－④得．…………………………………7分
要使数列{an}是公差为d（d为常数）的等差数列，必须有（常数），
而a1=1，故{an}只能是常数数列，通项公式为an =1，
故当k=1时，数列{an}能成等差数列，其通项公式为an =1，此时．…9分
(iii) 若k=2，设（，a，b，c是常数），
当时， ⑤
， ⑥
⑤－⑥得，……………………………12分
要使数列{an}是公差为d（d为常数）的等差数列，必须有
，且d=2a，
考虑到a1=1，所以．
故当k=2时，数列{an}能成等差数列，其通项公式为，
此时（a为非零常数）．………………………14分
(iv) 当时，若数列{an}能成等差数列，则的表达式中n的最高次数为2，故数列{an}
不能成等差数列．
综上得，当且仅当k=1或2时，数列{an}能成等差数列．………………16分
数学Ⅱ（选修物理）
附加题部分
参及评分细则
21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做两小题，每小题10分，共计20分，解答时应写
出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．（几何证明选讲）
如图，从圆外一点作圆的两条切线，切点分别为，
与交于点，设为过点且不过圆心的一条弦，
求证：四点共圆．
【证明】因为，为圆的两条切线，所以垂直平分弦，
在中，， ………………4分
在圆中，，
所以，， ……………8分
又弦不过圆心，所以四点共圆． ……………10分
B．（矩阵与变换）
设矩阵，若矩阵的属于特征值1的一个特征向量为，属于特征值2的一个特
征向量为，求实数的值．
【解】由题意得 ………………6分
化简得所以 ………10分
C．（极坐标与参数方程）
在极坐标系中，已知点，求以为直径的圆的极坐标方程．
【解】设点为以为直径的圆上任意一点，
在中，，
故所求圆的极坐标方程为． …………10分
D．（不等式选讲）
设正实数，满足，求证： ．
【证明】由得， ……………3分
又正实数，满足，
即，（当且仅当时取“=”） ………6分
所以，即证． ………10分
【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．如图，正四棱柱中，设，，
若棱上存在点满足平面，求实数的取值范围．
【解】如图，以点为原点，分别为轴建立
空间直角坐标系，则，，
设，其中， ………………3分
因为平面，
所以，
即， ………………6分
化简得， …………………………8分
故判别式，且，
解得2． …………………………10分
23．设是给定的正整数，有序数组同时满足下列条件：
①,； ②对任意的,都有．
（1）记为满足“对任意的，都有”的有序数组的个数，求；
（2）记为满足“存在，使得”的有序数组的个数，求．
【解】（1）因为对任意的，都有，
所以，； …………………………4分
（2）因为存在，使得，
所以或，
设所有这样的为，
不妨设，则（否则）；
同理，若，则，
这说明的值由的值（2或2）确定， …………6分
又其余的对相邻的数每对的和均为0，
所以， ………………………8分
． …………………………10分下载本文
