学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．设是虚数单位，则复数的虚部是（ ）

A．1 ．2 ． ．

2．要得到函数的图象，只要将函数的图象

A．向左平移个单位 ．向右平移3个单位

C．向左平移3个单位 ．向右平移个单位

3．棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标，在一批棉花中随机抽到了60根棉花的纤维长度（单位：mm），按从小到大排序结果如下：

25    28    33    50    52    58    59    60    61    62    82    86    113    115    140    143    146    170    175    195    202    206    233    236    238    255    260    263    2    265    293    293    294    296    301    302    303    305    305    306    321    323    325    326    328    340    343    346    348    350    352    355    357    357    358    360    370    380    383    385．

请你估算这批棉花的第75百分位数是（ ）

A．334 ．327 ．328 ．329

4．在四边形中，，则（ ）

A．是矩形 ．是菱形 ．是正方形 ．是平行四边形

5．若函数的最大值为1．则实数（ ）

A．1 ． ．3 ．

6．已知，为平面向量，且，，则，夹角的余弦值等于（ ）

A． ．－ ． ．－

7．中，，，则（ ）

A． ． ． ．或

8．设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）

A． ．

C． ．

二、多选题

9．某城市为促进家庭节约用电，计划制定阶梯电价，阶梯电价按年月均用电量从低到高分为一、二、三、四档，属于第一档电价的家庭约占10%，属于第二档电价的家庭约占40%．属于第三档电价的家庭约占30%，属于第四档电价的家庭约占20%．为确定各档之间的界限，从该市的家庭中抽查了部分家庭，调查了他们上一年度的年月均用电量（单位：千瓦时），由调查结果得下面的直方图．由此直方图可以做出的合理判断是（ ）

A．年月均用电量不超过80千瓦时的家庭属于第一档

B．年均用电量低于200千瓦时，且超过80千瓦时的家庭属于第二档

C．年月均用电量超过240千瓦时的家庭属于第四档

D．该市家庭的年月均用电量的平均数大于年月均用电量的中位数

10．已知，是互不重合的直线，，是互不重合的平面，下列四个命题中正确的是（ ）

A．若，，，，则

B．若，，，则

C．若，，，则

D．若，，，则

11．如图，在正方体中，下列命题正确的是（ ）

A．与所成的角为

B．与所成的角为

C．与平面所成的角为

D．平面与平面所成的二面角是直二面角

12．下面四个命题中的真命题为（ ）

A．若复数满足，则

B．若复数满足，则

C．若复数，满足，则

D．若复数，则

三、填空题

13．一个正方体的项点都在半径为的球面上，则该正方体的体积为______．

14．农场种机的甲，乙两种水稻，在面积相等的两块稻田中连续6年的产量如下：

15．写出一个最小正周期为的奇函数______．（写一个即可）

四、双空题

16．如图，菱形的边长为1，，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．则______，的余弦值为______．

五、解答题

17．在条件：①，②③，．且，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中：

中，内角，，所对边长分别是，，．若，，______．求的面积．

（选择多个条件时，按你第一个选择结果给分）

18．一木块如图所示，点在平面内，过点将木块锯开：

（1）使直线和平行于截面，在木块表面应该怎样画线（保留作图痕迹，简要说明）．

（2）若是的重心，在条件（1）下求锯开的两个多面体的体积之比，

19．在一个文艺比赛中，10名专业评委和10名观众代表各组成一个评委小组．给参赛选手甲，乙打分如下：（用小组，小组代表两个打分组）

小组：

甲：7.5    7.5    7.8    7.8    8.0    8.0    8.2    8.3    8.4    9.5

乙：7.0    7.8    7.8    7.8    8.0    8.0    8.3    8.3    8.5    8.5

小组：

甲：7.4    7.5    7.5    7.6    8.0    8.0    8.2    8.9    9.0    9.0

乙：6.9    7.5    7.6    7.8    7.8    8.0    8.0    8.5    9.0    9.9

（1）选择一个可以度量打分相似性的量，并对每组评委的打分计算度量值，根据这个值判断小组与小组那个更专业？

（2）根据（1）的判断结果，计算专业评委打分的参赛选手甲、乙的平均分；

（3）若用专业评委打分的数据．选手的最终得分为去掉一个最低分和一个最高分之后．剩下8个评委评分的平均分．那么，这两位选手的最后得分是多少？若直接用10位评委评分的平均数作为选手的得分，两位选手的排名有变化吗？你认为哪种评分办法更好？（只判断不说明）．（以上计算结果保留两位小数）

20．如图，在边长为2的正方形中（图1）．点是中点，点是中点，将，，分别沿，，折起．使，，三点重合于点（图2）

（1）求证：

（2）设是的中点，求直线PM与平面所成角的正弦值．

21．如图，已知直线．垂直于直线、，．点是的中点，是上一动点，作，且使与直线交于，设．

（1）写出的周长关于角的函数解析式；

（2）求的最小值．

22．如图，要测量河对岸的塔高．请设计一个方案，包括：（1）指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）：（2）用文字和公式写出计算的长的步骤．

参

1．B

【分析】

首先根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据复数的相关概念判断即可；

【详解】

解：，其虚部为2，

故选：．

2．A

【分析】

由题意利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．

【详解】

解：将函数y＝cos2x的图象象左平移个单位，可得函数y＝cos（2x+3）的图象，

故选A．

【点睛】

本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．

3．A

【分析】

共60个数，计算出第75百分位数是第几个，然后从所给数据中找到．

【详解】

，从表中知第45与46两个数的平均值．

故选：A．

4．D

【分析】

根据向量加法的平行四边形法则可得，以为邻边做平行四边形ABCD，可得，进而可判断.

【详解】

根据向量加法的平行四边形法则可得，

以为邻边做平行四边形ABCD，如图，

可得，

所以四边形ABCD为平行四边形.

故选：D

5．B

【分析】

首先利用三角恒等变换公式将函数化简，再利用正弦型函数的性质的应用求出结果．

【详解】

解：

，

即，

当，即时，

函数的最大值为，解得．

故选：．

6．C

【分析】

先根据向量减法得，再根据向量夹角余弦值的坐标公式计算即可得答案.

【详解】

∵，∴．

又，∴，

∴．

又，，

∴．

故选：C.

7．A

【分析】

计算出的值，分析出角为锐角，利用同角三角函数的基本关系、两角和的余弦公式可求得的值.

【详解】

因为，则角为锐角，可得，由正弦定理可得，

故角为锐角，所以，，

所以，

.

故选：A.

8．C

【分析】

由图可得：函数图象过点，即可得到，结合是函数图象与轴负半轴的第一个交点即可得到，即可求得，再利用三角函数周期公式即可得解.

【详解】

由图可得：函数图象过点，

将它代入函数可得：

又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，

所以，解得：

所以函数的最小正周期为

故选：C

【点睛】

本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.

9．ACD

【分析】

利用频率分布直方图，由求解频率的方法以及中位数和平均数的含义，依次对四个选项进行分析判断即可．

【详解】

对于A，年月均用电量不超过80千瓦时的家庭的频率为，属于第一档，故选项A正确；

对于B，年均用电量低于200千瓦时，且超过80千瓦时的家庭的频率为，不属于第二档，故选项B错误；

对于C，年月均用电量超过240千瓦时的家庭的频率为，属于第四档，故选项C正确；

对于D，由频率分布直方图可知，该组数据多集中在200以前的小数据，所以中位数应该较小，平均数因受极大值的影响，平均数应该大于中位数，故选项D正确．

故选：ACD．

10．BD

【分析】

根据空间直线与平面间的位置关系判断．

【详解】

解：对于A，若，，，，则与相交或平行，故A错误；

对于B，若，，，则由线面平行的性质得，故B正确；

对于C，若，，，则或，故C错误；

对于D，若，，，则由面面垂直的判定定理得，故D正确.

故选：BD.

11．BCD

【分析】

根据异面直线所成的角、直线和平面所成的角的概念作出这些角，再求大小即可判断ABC，对于D，利用线面垂直的判定定理判断

【详解】

解：不妨设正方体的棱长为1，

对于A，如图，因为∥，所以与所成的角，即为与所成的角，即，因为，所以，所以A错误，

对于B，如图，因为∥，所以为异面直线与所成的角，因为为等边三角形，所以，即与所成的角为，所以B正确，

对于C，如图，因为∥，所以四点共面，连接交于，所以，因为平面，平面，所以，因为，所以平面，即平面，所以与平面所成的角为，因为平面，所以，因为，为锐角，所以，所以与平面所成的角为，所以C正确，

对于D，如图，因为平面，平面，所以，因为，，所以平面，因为平面，所以平面平面，所以平面与平面所成的二面角是直二面角，所以D正确，

故选：BCD

12．AD

【分析】

根据实数和复数的定义，逐个选项判断即可.

【详解】

若复数满足，则，故命题为真命题；

复数满足，则，故命题为假命题；

若复数，满足，但，故命题为假命题；

若复数，则，故命题为真命题.

故选：

【点睛】

本题考查复数的基础知识，属于基础题.

13．

【分析】

根据正方体外接球的半径计算公式，可以推出正方体的边长，进而求出正方体的体积

【详解】

设正方体的边长为，则外接球的半径，所以，所以正方体的体积 

故答案为：

14．甲

【分析】

通过已知数据求出甲乙两种水稻的平均值和方差，来比较哪种水稻产量比较稳定

【详解】

甲水稻的产量均值

甲水稻的产量方差 

乙水稻的产量均值

乙水稻的产量方差 

甲和乙的均值是相同的，但是甲的方差比乙的方差小，所以甲的产量比较稳定

故答案为：甲

15．(答案不唯一)

【分析】

题目为开放性题目，符合要求即可

【详解】

根据题目，最小正周期为，首先想到的就是三角函数，又因为是奇函数，所以想到正弦函数，由得：，所以，

故答案为：

16． 

【分析】

根据题意，由向量的线性运算可得，进而由数量积的计算公式可得的值，设，由向量夹角的定义可得和的夹角为，求出的模和的值，由向量夹角的计算公式计算可得的值，即可得答案．

【详解】

解：根据题意，菱形的边长为1，，则，所以，

是边上靠近点的三等分点，则，

则，则，

故，

设，即和的夹角为，即和的夹角为，

是的中点，则，，

则，则；

，

则，

即的余弦值为；

故答案为：，．

17．

【分析】

选择条件①：利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合三角形的内角和定理、两角和的正弦公式、辅助角公式进行化简运算，推出，然后由，得解；

选择条件②：结合已知条件和余弦定理，可得，再由，得解；

选择条件③：结合平面向量共线的条件和正弦定理，推出，再由，得解．

【详解】

解：选择条件①：由正弦定理知，，

，

，

，

，

化简得，，

，，即，

，，即，

，

的面积．

选择条件②：

，，

由余弦定理知，，

，，

的面积．

选择条件③：

，，且，

，

由正弦定理知，，

，

，，即，

，，，

的面积．

18．（1）答案见解析；（2）

【分析】

（1）根据题意，结合线面平行的性质作图即可；

（2）由题知与的相似比为，三棱锥与三棱锥高的比为，进而根据体积公式即可求解.

【详解】

解：（1）过平面内一点作直线，交于点，交于点，

再在平面中，过点作，交与，连接，此时直线和平行于截面，即截面即为所求截面.如图，

（2）若是的重心，

所以与的相似比为，三棱锥与三棱锥高的比为，

设三棱锥的高为，

所以 

所以，

所以锯开的两个多面体的体积比为

19．（1）小组A更专业；（2）甲均分8.1，乙均分8；（3）甲均分8，乙均分8.06，两位选手排名有变化，我认为去掉一个最高分，一个最低分后更合理

【分析】

（1）通过方差来判断打分的专业性比较合理

（2）在（1）中计算方差时，需要先计算平均值，所以可以直接用（1）中的数据

（3）去掉最高分和最低分之后，重新计算均值即可

【详解】

（1）小组A的打分中，

甲的均值

甲的方差

乙的均值

乙的方差

小组B的打分中，

甲的均值

甲的方差

乙的均值

乙的方差

由以上数据可得，在均值均差0.01的情况下，小组B的打分方差较大，所以，小组A的打分更专业

（2）由（1）可得：小组A为专业评委，所以：

选手甲的平均分

选手乙的平均分

（3）由专业评委的数据，去掉一个最高分，去掉一个最低分后，甲乙的均值分别为：

去掉一个最低分，一个最高分之后，乙的均值高于甲，按照10个数据计算时，甲的均值高于乙的均值，排名不同。

我认为去掉一个最低分，一个最高分的评分方法更好

20．（1）见解析；（2）.

【分析】

（1）根据已知条件，利用线面垂直的判定定理证明；

（2）根据线面角的定义作出线面角，利用三角形的中线长定理求得PM,利用等体积法求得P到平面DEF的距离，进而得到所求.

【详解】

（1）证明：由题意，作出几何图形，如下：

由题意可得PE、PF、PD三条侧棱两两互相垂直，

由，，，PE、平面 PEF，

平面PEF，

 又平面 PEF，；

（2）∵原正方形的边长为2，∴DF=,EF=.PE=PF=1,PD=2.

如图所示，DF的中点为M,连接PM,

∵△EPF为直角三角形，斜边DF=，∴PM=.

设P在平面DEF中的射影为O,连接PO,OM,则∠PMO为直线PM与平面所成角.

取EF的中点N,连接DN,则DN⊥EF,DN=,

四面体的体积,

,

∴.

即直线PM与平面所成角的正弦值为.

21．（1），其中；（2）.

【分析】

（1）将、用的代数式加以表示，利用勾股定理求得，进而可得出，并求出该函数的定义域；

（2）设，化简得出，结合的取值范围可得出函数的最小值.

【详解】

（1）因为，故，

为的中点，则，所以，，，

所以，，

所以，，其中；

（2）设，

，则，所以，，

且有，则，

所以，，

当且仅当时，取得最小值.

22．答案见解析.

【分析】

先在地面取两点，，保持，，在同一直线上，再测量的长度，，两点关于塔顶的仰角大小，而后利用正弦定理求出的长.

【详解】

(1)如图，在地面取一点，测得塔顶的仰角，往远离河岸且保持与在同一直线上的方向移动的距离到达点，测得塔顶的仰角.

(2)在中，由正弦定理得，，

即，.

在中，因为，所以.下载本文