一、试验目的

（1）.在理论学习的基础上。加深对FFT的理解，熟悉matlab中的有关函数。

（2）.应用FFT对典型 信号进行频谱分析。

（3）.了解应用FFT进行信号频谱分析过程中可能出现的问题。

（4）.应用FFT实现序列的线性卷积和相关。

二、实验内容

 1．观察高斯序列的时域和幅频特性，固定信号xa(n)中参数p=8,改变q的值使q分别等于2、4、8，观察他们的时域和幅频特性，了解当q取不同值时，对信号序列的时域和幅频特性的影响；固定q=8，改变p,使p分别等于8、13、14，观察参数p变化对信号序列的时域和幅频特性的影响，注意p等于多少时会发生明显的泄漏现象，混叠是否也随之出现？记录实验中观察到的现象，绘出相应的时域序列和幅频特性曲线。

(1)固定p=8，使q=2和4的时域和频域图

n=0:15

x=exp((16*n-n.^2-)./2)

subplot(2,2,1);

plot(n,x,'-o')

title('时域特性');

xlabel('n');

ylabel('y(n)')

y=abs(fft(x))

subplot(2,2,2);

stem(n,y,'-o')

xlabel('k');

ylabel('y(k)')

title('幅频特性');

x=exp((16*n-n.^2-)./4)

subplot(2,2,3);

plot(n,x,'-o')

title('时域特性');

xlabel('n');

ylabel('y(n)')

y=abs(fft(x))

subplot(2,2,4);

stem(n,y,'-o'); 

xlabel('k');

ylabel('y(k)')

title('幅频特性');

使q=8的时域和频域图

n=0:15

x=exp((16*n-n.^2-)./8)

plot(n,x,'-o')

title('时域特性');

xlabel('n');

ylabel('y(n)')

y=abs(fft(x))

stem(n,y,'-o')

xlabel('k');

ylabel('y(k)')

title('幅频特性');

(2)固定q=8，使q=8和13的时域和频域图

n=0:15

x=exp((16*n-n.^2-)./8)

subplot(2,2,1);

plot(n,x,'-o')

title('时域特性');

xlabel('n');

ylabel('y(n)')

y=abs(fft(x))

subplot(2,2,2);

stem(n,y,'-o')

xlabel('k');

ylabel('y(k)')

title('幅频特性');

x=exp((26*n-n.^2-169)./8)

subplot(2,2,3);

plot(n,x,'-o')

title('时域特性');

xlabel('n');

ylabel('y(n)')

y=abs(fft(x))

subplot(2,2,4);

stem(n,y,'-o')

xlabel('k');

ylabel('y(k)')

title('幅频特性');

使p=14的时域和频域图

x=exp((28*n-n.^2-196)./8)

plot(n,x,'-o')

title('时域特性');

xlabel('n');

ylabel('y(n)')

y=abs(fft(x))

stem(n,y,'-o')

xlabel('k');

ylabel('y(k)')

title('幅频特性');

实验结果分析：

由图形可知，当固定p,q取不同值时，随着q的增大，其相对应的时域幅值会增大，而且容易看出，它们的时域图关于n=8对称。

随着q值的增大，q分别等于2、4、8时，同一个n点所对应的幅度逐渐减小，幅度等于或近似等于零的点逐渐增多，这是由于q值的增大，导致时域中的幅值略微增大，但通过DFT变换之后将这种变化放大，使得其在幅频特性中q的影响变大了。时域的乘积对应频域的卷积，所以，加窗后的频谱实际是原信号频谱与矩形窗函数频谱的卷积，卷积的结果使频谱延伸到了主瓣以外，且一直延伸到无穷。

可知：其p值固定不变时，q值越小越容易发生泄漏现象，反之，q值越大，越接近其真实图形。当p=13时，x(n)被截断，出现了明显的泄漏，边缘幅度与x1(k)不同，因而带有混叠现象。

2观察衰减正弦序列xb(n)的时域和幅频特性，a=0.1,f=0.0625,检查谱峰出现位置是否正确，注意频谱的形状，绘出幅频特性曲线，改变f，使f分别等于0.4375和0.5625，观察这两种情况下，频谱的形状和谱峰出现位置，有无混叠和泄露现象？说明产生现象的原因。

f=0.0625的程序

n=0:15;

a=0.1;

f=0.0625;

x=exp(-a*n).*sin(2*pi*f*n);

plot(n,x,'-o')

title('时域特性');

xlabel('n');

ylabel('y(n)')

y=abs(fft(x))

stem(n,y,'-o')

xlabel('k');

ylabel('y(k)')

title('幅频特性')

f=0.4375的程序

n=0:15;

a=0.1;

f=0.4375;

x=exp(-a*n).*sin(2*pi*f*n);

plot(n,x,'-o')

title('时域特性');

xlabel('n');

ylabel('y(n)')

y=abs(fft(x))

stem(n,y,'-o')

xlabel('k');

ylabel('y(k)')

title('幅频特性')

f=0.5625的程序

n=0:15;

a=0.1;

f=0.5625;

x=exp(-a*n).*sin(2*pi*f*n);

plot(n,x,'-o')

title('时域特性');

xlabel('n');

ylabel('y(n)')

y=abs(fft(x))

stem(n,y,'-o')

xlabel('k');

ylabel('y(k)')

title('幅频特性')

实验结果分析：

由以上实验所得的图形可知，当a=0.1,f=0.0625时吗，频谱主瓣较宽，呈现主瓣中间较为平缓，两侧较高的想象，采样频率f太小，导致谱峰出现的位置不正确。当a=0.1，f分别等于0.4375，0.5625时，随着采样频率f的增大，频谱主瓣越来越窄，频谱中间较大，两侧较小，谱峰出现在w=7和9附近，混叠和泄漏现象相对减轻。且当f=0.5625时产生混叠现象，因为其f>0.5,不满足奈奎斯特采样定理。

3. 观察三角波和反三角波序列的时域和幅频特性，用N=8点FFT分析信号序列xc(n)和xd(n)的幅频特性，观察两者的序列形状和频谱曲线有什么异同？绘出两序列及其幅频特性曲线。在xc(n)和xd(n)末尾补零，用N=32点FFT分析这两个观察幅频特性发生了什么变化？两种情况下的FFT频谱还有相同之处吗？这些变化说明了什么？         

n2=[0 0 0 0 4 5 6 7];

A=[0 0 0 0 8 8 8 8];

x1=zeros(1,8);

n=n1+n2;

x1(1:4)=n(1:4);

x1(5:8)=A(5:8)-n(5:8);

subplot(2,2,1);

plot(n,x1); 

grid;

set(gca,'xtick',n);

xlabel('n');

ylabel('xc(n)');

title('三角波序列时域');

xk1=abs(fft(x1));

subplot(2,2,2);

stem(n,xk1);

grid;

set(gca,'xtick',n);

xlabel('k');

ylabel('幅度');

title('幅度特性');

B=[4 4 4 4 4 4 4 4];

x2=zeros(1,8);

n=n1+n2;

x2(1:4)=B(1:4)-n(1:4);

x2(5:8)=n(5:8)-B(5:8);

subplot(2,2,3);

plot(n,x2); 

grid;

set(gca,'xtick',n);

xlabel('n');

ylabel('xd(n)');

title('反三角波序列时域');

xk2=abs(fft(x2));

subplot(2,2,4);

stem(n,xk1);

grid;

set(gca,'xtick',n);

xlabel('k');

ylabel('幅度');

title('幅度特性');

实验结果分析：

由实验所得的图形知，的时域序列在n=4时取得最大值，两侧依次减小，且呈现对称趋势，而序列则相反，在n=4时，取得最小值，两侧依次增大，且呈现对称趋势，和的幅频特性曲线基本相同。

n1=[0 1 2 3 0 0 0 0];

n2=[0 0 0 0 4 5 6 7];

A=[0 0 0 0 8 8 8 8];

x1=zeros(1,8);

n=n1+n2;

x1(1:4)=n(1:4);

x1(5:8)=A(5:8)-n(5:8);

subplot(2,2,1);

plot(n,x1); 

grid;

set(gca,'xtick',n);

xlabel('n');

ylabel('xc(n)');

title('三角波序列时域，N=8');

xk1=abs(fft(x1));

subplot(2,2,2);

stem(n,xk1);

grid;

set(gca,'xtick',n);

xlabel('k');

ylabel('幅度');

title('幅度特性');

B=[4 4 4 4 4 4 4 4];

x2=zeros(1,8);

n=n1+n2;

x2(1:4)=B(1:4)-n(1:4);

x2(5:8)=n(5:8)-B(5:8);

subplot(2,2,3);

plot(n,x2); 

grid;

set(gca,'xtick',n);

xlabel('n');

ylabel('xd(n)');

title('反三角波序列时域，N=8');

xk2=abs(fft(x2));

subplot(2,2,4);

stem(n,xk1);

grid;

set(gca,'xtick',n);

xlabel('k');

ylabel('幅度');

title('幅度特性');

n1=[0 1 2 3 0 0 0 0];

实验结果分析：

由实验所得的图形知，N=32点时和的幅频特性都更加密集，使得“栅栏效应”减小，而对于来说变化更加明显，N=32时，认为的再之后补零，从而变动了DFT的点数，人为的改变了对真实频谱采样的点数和位置，相当于搬动了“尖桩栅栏”的位置，从而使得频谱的峰点和谷点暴露出来，频谱线变密。N=32时，和的频谱差别较大，但总体趋势仍然都是中间出现最小，两侧呈现对称趋势。

4. 一个连续信号含两个频率分量，经采样得 n=0,1,…N-1,已知N=16，分别为1/16,1/，观察其频谱；当N=128时不变，其结果有何不同，为什么？

n=0:1:15;

x1=sin(2*pi*0.125*n)+cos(2*pi*(0.125+1/16)*n);

subplot(2,2,1);

plot(n,x1,'-*');

xlabel('t/T  △f=1/16,N=15');

ylabel('x(n)');

title('时域特性');

xk1=abs(fft(x1));

subplot(2,2,2);

stem(n,xk1)

xlabel('k');

ylabel('X(k)');

title('频域特性');

x2=sin(2*pi*0.125*n)+cos(2*pi*(0.125+1/)*n);

subplot(2,2,3);

plot(n,x2,'-*');

xlabel('t/T  △f=1/,N=15');

ylabel('x(n)');

title('时域特性');

xk2=abs(fft(x2));

subplot(2,2,4);

stem(n,xk2)

xlabel('k');

ylabel('X(k)');

title('频域特性');

n=0:1:127;

x1=sin(2*pi*0.125*n)+cos(2*pi*(0.125+1/16)*n);

subplot(2,2,1);

plot(n,x1,'-*');

xlabel('t/T  △f=1/16,N=15');

ylabel('x(n)');

title('时域特性');

xk1=abs(fft(x1));

subplot(2,2,2);

stem(n,xk1)

xlabel('k');

ylabel('X(k)');

title('频域特性');

x2=sin(2*pi*0.125*n)+cos(2*pi*(0.125+1/)*n);

subplot(2,2,3);

plot(n,x2,'-*');

xlabel('t/T  △f=1/,N=15');

ylabel('x(n)');

title('时域特性');

xk2=abs(fft(x2));

subplot(2,2,4);

stem(n,xk2)

xlabel('k');

ylabel('X(k)');

title('频域特性');

实验结果分析：

由以上实验所得的实验图形知，N=16时，由x1(jw)和x2(jw)比较可以看出，越小，其每个相同的点所对应的幅度值越小，可以观察到两个明显的谱峰。当N=时，出现了多个谱峰，其中两个谱峰较为明显。当N=128时，由x3(jw)和x4(jw)看出，两序列的FFT频谱只能观测到两个谱峰，截取长度增加，谱线变的非常密集，频谱更接近真实值，泄漏和混叠现象变小，栅栏效应也相应变小，频谱的分辨率随之提高。

5．用FFT分别计算和的16点循环卷积和线性卷积，循环相关和线性相关。

n1=0:1:15;

p1=8;

q1=2;

x=exp(-(n1-p1).^2/q1);

n2=0:1:15;

a=0.1;

f2=0.0625;

y=(exp(-a*n2)).*sin(2*pi*f2*n2);

N=length(x);

n=0:N-1;

n3=0:30;

X=fft(x);

Y=fft(y);

x32=[x zeros(1,16)];

y32=[y zeros(1,16)];

X32=fft(x32);

Y32=fft(y32);

z16=ifft(X.*Y);

z32=ifft(X32.*Y32);

subplot(2,2,1);

plot(n,z16,'-*');

xlabel('n');

ylabel('z(n)');

title('循环卷积结果');

subplot(2,2,2);

plot(n3,z32(1:2*N-1),'-o');

xlabel('n');

ylabel('z(n)');

title('线性卷积结果');

rm16=real(ifft(conj(X).*Y));

rm32_0=real(ifft(conj(X32).*Y32));

rm32=[rm32_0(N+2:2*N) rm32_0(1:N)];

m=n;

subplot(2,2,3);

plot(m,rm16,'--');

xlabel('m');

ylabel('rm');

title('循环相关结果');

m=-(N-1):N-1;

subplot(2,2,4);

plot(m,rm32,'--o');

xlabel('m');

ylabel('rm');title('线性相关结果');

实验结果分析：

由实验所得的图形知，当L>N1+N2-1时，循环卷积不会发生混叠现象，所以在这个条件下，循环卷积是线性卷积的主值，线性卷积可由循环卷积得到。用循环卷积计算线性卷积通常也称为快速卷积。下载本文