2018年交附高二下数学期末试卷

第Ⅰ卷（共54分）

一、填空题（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，满分54分，将答案填在答题纸上）

1.函数的定义域为          ．

2.表面积为的球的体积为          ．

3.的二项展开式中，项的系数是          ．（用数字作答）

4.高一（10）班有男生人，女生人，若用分层抽样的方法从该班的全体同学中抽取一个容量为的样本，则抽取男生的人数为          人．

5.人并排站成一行，其中甲、乙两人必须相邻，那么不同的排法有          种.（用数学作答）

6.若交大附有名教职工，那么其中至少有两人生日在同一天的概率为          ．

7.设函数，则使得成立的的取值范围是          ．

8.在长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为          ．

9.一个正方体的个顶点可以组成          个非等边三角形.

10.将集合的元素分成互不相交的三个子集：，其中,，，且，，则满足条件的集合有          个．

11.设非空集合为实数集的子集，若满足下列两个条件：

（1），；

（2）对任意，都有，，， 

则称为一个数域，那么命题：

①有理数集是一个数域；②若为一个数域，则；③若，都是数域，那么也是一个数域；④若，都是数域，那么也是一个数域.

其中真命题的序号为          ．

12.已知函数在时有最大值，，并且时，的取值范围为，则          ．

第Ⅱ卷（共96分）

二、选择题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

13.设地球的半径为，地球上，两地都在北纬的纬度线上去，且其经度差为，则，两地的球面距离是（    ）

A．         B．       C.        D． 

14.对于不重合的两个平面与，给定下列条件： 

①存在平面，使得、都垂直于；

②存在平面，使得、都平行于；

③内有不共线的三点到的距离相等；

④存在异面直线，，使得，，， 

其中，可以判定与平行的条件有（    ）

A．个         B．个       C.个         D．个

15.一个正方体的展开如图所示，点，，为原正方体的顶点，点为原正方体一条棱的中点，那么在原来的正方体中，直线与所成角的余弦值为（    ）

A．         B．       C.         D． 

16.已知函数的图像是一条连续不断的曲线，若，，那么下列四个命题中

①必存在，使得；

②必存在，使得；

③必存在，使得；

④必存在，使得.

真命题的个数是（    ）

A．个         B．个       C.个         D．个

三、解答题 （本大题共5小题，共76分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 

17. 某公司生产一种产品，每年投入固定成本万元.此外，每生产件这种产品还需要增加投入万元.经测算，市场对该产品的年需求量为件，且当出售的这种产品的数量为（单位：百件）时，销售所得的收入约为（万元）.

（1）若该公司这种产品的年产量为（单位：百件），试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量的函数；

（2）当该公司的年产量为多少时，当年所得利润最大？最大为多少？

18. 解关于的不等式.（）

19. 如图，二面角的大小为，四边形是边长为的正方形，，为上的点，且平面.

（1）求证：；

（2）求二面角的大小；

（3）求点到平面的距离.

20. 设全体空间向量组成的集合为，为中的一个单位向量，建立一个“自变量”为向量，“应变量”也是向量的“向量函数”.

（1）设，，若，求向量；

（2）对于中的任意两个向量，，证明：；

（3）对于中的任意单位向量，求的最大值.

21. 对于函数，若关系式中变量是变量的函数，则称函数为可变换函数.例如：对于函数，若，则，所以变量是变量的函数，所以是可变换函数.

（1）求证：反比例函数不是可变换函数；

（2）试判断函数是否是可变换函数并说明理由；

（3）若函数为可变换函数，求实数的取值范围.

试卷答案

一、填空题

1.          2.           3.           4. 

5.                     6.              7.        8. 

9.                     10.             11. ①②③④      12. 

二、选择题

13-16:CBDA

三、解答题

17.解析：（1）由题意得：

；

（2）当时，函数对称轴为，

故当时，；

当时，函数单调递减，故，

所以当年产量为件时，所得利润最大.

18.解析：讨论法！

①当时，；

②当时：

，，因为，

故等式左边因式分解得：；

当时，；

当时，，此时解集为空集；

当时，；

19.解析：（1）证明：∵平面，∴，

∵二面角为直二面角，且，∴平面，

∴，∴平面.

（2）；（3）.

20.解析：（1）依题意得：，设，代入运算得：

或；

（2）设，，，则

从而得证；

（3）设与的夹角为，则，

则，故最大值为.

21.解析：（1）证明：假设是可变换函数，则，

因为变量是任意的，故当时，此时有关变量的一元二次方程无解，

则与假设矛盾，故原结论正确，得证；

（2）若是可变换函数，则，

则有关的两个函数：必须有交点，而连续且单调递减，值域为，

连续且单调递增，值域为，所以这两个函数与必定有交点，

即：变量是变量的函数，所以是可变换函数；

（3）函数为可变换函数，则，

若，则恒大于，即无交点，不满足题意；

若，则必定有交点，即方程有解，从而满足题意. 下载本文