【本讲教育信息】
一. 教学内容：
第二十四章 圆（下）
第二节 圆的切线——切线长及三角形的内切圆
二. 教学目标：
1. 掌握切线长定义和切线长定理。
2. 掌握三角形的内心、内切圆、圆的外切三角形等概念。
3. 运用以上相关内容解决实际问题。
三. 重点、难点：
（一）重点：切线长定义及切线长定理。
（二）难点：运用相关内容进行论证、计算并简单作图。
四. 教学过程：
（一）知识点：
1. 切线长：从圆外一点引圆的切线，这点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
如图：A为⊙O外一点，AP切⊙O于P点
∴AP的长是点A到⊙O的切线长
2. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
如图：∵PA，PB切⊙O于A、B两点
∴PA=PB，∠OPA=∠OPB
3. 三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形称为这个圆的外切三角形。
如图：△ABC的三边AB、BC、CA切⊙O于D、E、F三点
∴⊙O是三角形的内切圆
点是三角形的内心（三角形角平分线的交点）
△ABC是⊙O的外切三角形
【典型例题】
例1. 已知：如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，OP交AB于C点，AB=8，AB的弦心距为3，求PA的长。
解：连结OA
∵PA、PB切⊙O于A、B两点
∴∠1=∠2，PA=PB
∴OP垂直平分AB
∴，OC=3
∵PA切⊙O于A点
∴OA⊥AP
由勾股定理，可得
∵OA⊥AP，AC⊥OP
∴∠1=∠OAC
∵sin∠1=，sin∠OAC=
∴，解得
例2. 已知：如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，AC是⊙O的直径，OP交AB于D，若AC=4，PD=3，求BC的长。
解：∵PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点
∴OA⊥AP，OP⊥AB于D，AD=BD
∴cos∠AOP=，cos∠AOP
∴
∵，OP=OD＋DP
∴
解得OD=1或OD=－4（不合题意，舍去）
∴OD=1
∵D为AB的中点，O点为AC的中点
∴CB=2OD=2
例3. 已知：如图，⊙O内切于△ABC，若∠ACB=90°，∠AOC=105°，求AC及△ABC的面积。
解：⊙O内切于△ABC，且∠ACB=90°
∴OA、OC分别是∠BAC、∠BCA的平分线
∴∠OCA=∠BCA=45°，∠OAC=∠CAB
∵∠AOC=105°
∴∠OAC=180°－（105°＋45°）=30°
∴∠BAC=60°
∴∠B=30°
∴
由勾股定理，在Rt△ABC中
，可得
∴
∴AC=，
例4. 已知：如图，⊙O内切于△ABC，D、E、F分别为AB、BC、AC上的切点，若△ABC的周长为60，且AB：BC：AC=4：5：6，求AD、BE、CF的长。
解：在△ABC中，周长为60，AB：BC：AC=4：5：6
设AB=4x，BC=5x，CA=6x
∴
∴x=4
∴AB=16，BC=20，AC=24
∵⊙O内切于△ABC，AB、BC、CA分别切⊙O于D、E、F点
∴BD=BE，CE=CF，AD=AF
设BD=BE=x，CE=CF=y，AD=AF=z
∴ 得
∴AD=10，BE=6，CF=14
例5. 已知：如图，△ABC三边分别为a,b,c，它的内切圆的半径为r，求△ABC的面积。
解：设⊙O与BC、AC、AB相切于D、E、F点
连结OA、OB、OC、OD、OE、OF
∴OE⊥AC，OF⊥AB，OD⊥BC
∴
∴
小结：切线长及切线长定理和三角形的内切圆是在切线的判定及性质的基础上，进一步对切线的深入研究，要求同学在深入理解切线的判定和性质的基础上，注意理解概念并灵活应用。
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1. 已知⊙O的直径为10cm，过⊙O外一点P向⊙O引两条切线PA，PB，分别切⊙O于A、B点，四边形OAPB的面积为，求PO的长。
2. 已知：PA、PB切⊙O于A、B两点，锐角∠APB的余弦值等于，⊙O的直径为10cm，求AB的长。
3. 已知：⊙O是△ABC的内切圆，D是切点，BD=3，DC=2，△ABC的周长是16，求AB的长。
4. 已知：如图，AB是⊙O的直径，CB⊥BA，连结AC交⊙O于F，DE切⊙O于D交BC于E，求证：BE=EC。
5. 已知：⊙O与△ABC的BC、AC、AB边相切，切点是D、E、F。求证：∠FDE=90o－∠A。
6. 已知：如图，△ABC的内切圆分别和AB、BC、CA切于点D、E、F。⊙O的半径，AC=5，BC=8，∠C=60°，求AB的长。
【试题答案】
1. 10
2.
3. 6
4. 提示：连结BD、OD。
5. 提示：连结OE、OF。
提示：连结OC、OE。下载本文
