学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．设集合，2，，，3，，则（    ）

A．，2，3， ．，2， ．，3， ．，3，

2．下列函数中，在区间上单调递增的是（    ）

A． ． ． ．

3．在等差数列中,，则（ ）

A．5 ．8 ．10 ．14

4．已知向量，，则（    ）

A． ． ． ．

5．若a>b>0，cA．> ．<

C．> ．<

6．已知互相垂直的平面交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则

A．m∥l ．m∥n ．n⊥l ．m⊥n

7．设是等比数列，下列说法一定正确的是（   ）

A．成等比数列 ．成等比数列

C．成等比数列 ．成等比数列

8．在轴上与点的距离为3的点是（    ）

A． ． ． ．和

9．设，若，则（    ）

A．2 ．4 ．6 ．8

10．若，，则（    ）

A． ． ． ．

11．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为

A． ． ． ．

12．若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（ ）

A． ． ． ．

13．在中，，，分別为内角，，所対边的边长，若，，则的值是（    ）

A．3 ．6 ．9 ．12

14．平行于直线且与圆相切的直线的方程是（  ）

A．或 ．或

C．或 ．或

15．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为(  )

A．1010.1 ．10.1 ．lg10.1 ．

二、填空题

16．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是____.

17．不等式的解集为_______________.

18．已知函数，则函数的零点个数为______________.

19．已知函数的图象关于直线对称，则的值是________．

20．要制作一个容器为4m3，高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元）

三、解答题

21．计算：.

22．已知点、.

（1）求直线的方程，并判断直线的倾斜角是锐角还是钝角；

（2）若点在轴上，且，求的面积.

23．如图，四棱锥中，点是底面正方形的中心，平面，点在棱上.

（1）若是的中点，求证：平面；

（2）求证：平面平面.

24．在中，，，.

（1）求，的值；

（2）求的值.

25．中华人民共和国关于（环境空气质量指数（）技术规定（试行）》（HJ633-2012）中.关于空气质量指数的划分如下表所示：

（1）求、、和的值；

（2）利用样本估计总体的思想，估计该市一年中空气质量指数的平均数为多少；

（3）该市计划通过对环境进行综合治理，使得今后每年的空气质量指数比上一年降低，至少经过多少年后该市的空气质量可以达到优良水平？

（参考数据：，）

参

1．A

【分析】

直接由并集的运算可得答案.

【详解】

，2，，，3，，

，2，3，.

故选：A．

【点睛】

考查集合的并集运算，属于基础题.

2．A

【分析】

根据解析式直接判断出单调性即可.

【详解】

可知在区间上单调递增，故A正确；和在上单调递减，故BC错误；是常数函数，不单调，故D错误.

故选：A.

3．B

【解析】

试题分析：设等差数列的公差为，由题设知，，所以，

所以，

故选B.

考点：等差数列通项公式.

4．A

【分析】

利用即可求出.

【详解】

，，

，，

，

，.

故选：A.

5．D

【分析】

首先根据不等式的性质以及题中的条件，得到，又因为a>b>0，利用不等式的性质可得，得到结果，也可以利用特值法代入得到结果.

【详解】

方法1：∵c－d>0，∴，

又a>b>0，∴，∴.

故选：D.

方法2：令a＝3，b＝2，c＝－3，d＝－2.则＝－1，＝－1，排除选项A，B.

又＝－，＝－，∴，排除选项C.

故选：D.

【点睛】

该题考查的是有关不等式的问题，涉及到的知识点有不等式的性质，属于基础题目.

6．C

【解析】

试题分析：

由题意知，．故选C．

【考点】空间点、线、面的位置关系．

【思路点睛】解决这类空间点、线、面的位置关系问题，一般是借助长方体（或正方体），能形象直观地看出空间点、线、面的位置关系．

7．D

【解析】

项中，故项说法错误；项中，故项说法错误； 项中，故项说法错误；故项中，故项说法正确，故选D.

8．D

【分析】

设出点坐标，根据空间两点间坐标公式即可求出.

【详解】

设所求点的坐标为，

则由题可得，解得或1，

故在轴上与点的距离为3的点是或.

故选：D.

9．A

【分析】

分和两种情况代入解析式求解.

【详解】

当时，，解得，不符合，

当时，，解得，符合，

.

故选：A.

10．A

【分析】

由两角差的正切公式计算．

【详解】

由题意．

故选：A．

【点睛】

本题考查两角差的正切公式，属于基础题．

11．C

【解析】

分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.

详解：以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则,所以,

因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，选C.

点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.

12．B

【解析】

试题分析：本题是几何概型问题，矩形面积2，半圆面积，所以质点落在以AB为直径的半圆内的概率是，故选B．

考点：几何概型．

13．B

【分析】

由题可得，再结合余弦定理可求出.

【详解】

，即，

由余弦定理得，解得.

故选：B.

14．A

【解析】

设所求直线为，

由直线与圆相切得，

，

解得．所以直线方程为或．选A.

15．A

【分析】

由题意得到关于的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.

【详解】

两颗星的星等与亮度满足,令,

.

故选A.

【点睛】

本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.

16．.

【分析】

由题意首先求得平均数，然后求解方差即可.

【详解】

由题意，该组数据的平均数为，

所以该组数据的方差是.

【点睛】

本题主要考查方差的计算公式，属于基础题.

17．

【分析】

运用绝对值解法求解，将结果写成集合即可.

【详解】

解：由得，

即

所以不等式的解集为.

故答案为：.

【点睛】

解绝对值不等式的基本方法：

（1）利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；

（2）当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；

（3）利用绝对值的几何意义，数形结合求解.

18．3

【分析】

根据函数零点定义，在分段函数的每一段求得零点，加起来就是零点的个数.

【详解】

解：当时，，

令得或（舍掉），

当时，，

令得或，

所以函数的零点个数为3个.

故答案为：3.

【点睛】

函数零点个数的判定有下列几种方法：

（1）直接求零点：令，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点；

（2）零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在上是连续的曲线，且，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点；

（3）画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.

19．.

【解析】

分析：由对称轴得，再根据范围求结果.

详解：由题意可得，所以，因为，所以

点睛：函数（A>0,ω>0）的性质：(1)；

(2)最小正周期；(3)由求对称轴；(4)由求增区间; 由求减区间.

20．160

【分析】

本题根据题意建立函数关系式，再运用基本不等式求最值即可.

【详解】

设该容器的总造价为元，长方体的底面矩形的长，因为无盖长方体的容积为，高为，所以长方体的底面矩形的宽为，依题意，得

故答案为：160

【点睛】

本题考查实际问题建立函数关系，基本不等式求最值问题，是中档题.

21．

【分析】

根据指数幂和对数运算法则即可求出.

【详解】

解：原式.

故答案为：.

22．（1），直线的倾斜角为钝角；（2）.

【分析】

（1）求出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程，根据直线斜率可得出结论；

（2）设点，由题意可得，利用斜率公式可求得的值，然后求出、，利用三角形的面积公式可求得的面积.

【详解】

（1），所以，直线的方程为，即，

又，所以，直线的倾斜角为钝角；

（2）设点的坐标为.

，即，，，所以，，即.

，，

因此，.

23．（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】

（1）根据三角形中位线定理，结合线面平行的判定定理进行证明即可；

（2）根据线面垂直的判定定理，结合面面垂直的判定定理进行证明即可.

【详解】

证明：（1）连接.

∵是的中点，是的中点，∴，

又∵平面，平面，

∴平面.

（2）∵平面，平面.

∴.

又∵是正方形，，

平面，平面，且，

∴平面，

∵平面，

∴平面平面.

24．（1）；；（2）.

【分析】

（1）由余弦定理结合已知即可求出；

（2）求出，根据正弦定理求出，即求出.

【详解】

解：（1）由余弦定理，

得.

因为，所以.

解得，.

（2）由得.

由正弦定理得.

在中，.

所以.

25．（1），，，；（2）；（3）经过5年后.

【分析】

（1）根据表中数据可直接列式求出；

（2）用每组中间值作代表，列出式子即可求出；

（3）由题可得，根据指数函数的单调性结合参考数据可得出.

【详解】

解：（1）因为，

，

，

.

（2）

.

（3）设经过年后该市的空气质量可以达到优良水平，则

，

即，而，

因为函数为减函数，

，，

所以当时，，不符合要求；

当时，有，符合要求.

所以至少经过5年后该市的空气质量将达到优良水平.下载本文