考点 分段函数
分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 本文就几种具体的题型做了一些思考, 解析如下：
1．求分段函数的定义域和值域
例1．求函数的定义域、值域.
2．求分段函数的函数值
例2．已知函数求.
3．求分段函数的最值
例3．求函数的最大值.
4．求分段函数的解析式
例4．在同一平面直角坐标系中, 函数和的图象关于直线对称, 现将的图象沿轴向左平移2个单位, 再沿轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数的表达式为（ ）
5．作分段函数的图像
例5．函数的图像大致是（ ）
6．求分段函数得反函数
例6已知是定义在上的奇函数, 且当时, , 设的反函数为, 求的表达式.
7．判断分段函数的奇偶性
例7．判断函数的奇偶性.
8．判断分段函数的单调性
例8．判断函数的单调性.
例9．写出函数的单调减区间.
9．解分段函数的方程
例10．设函数, 则满足方程的的值为
10．解分段函数的不等式
例11．设函数, 若, 则得取值范围是（ ）
例12．设函数, 则使得的自变量的取值范围为（ ）
A． B.
C. D.
反馈练习
1．（2013新课标全国Ⅰ，5分）已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是( )
A．(－∞，0] B.(－∞，1]
C．[－2,1] D．[－2,0]
2．（2013福建，4分）已知函数f(x)＝则f＝________.
3．（2013北京，5分）函数f(x)＝的值域为________．
4．（2012江西，5分）若函数f(x)＝则f(f(10))＝( )
A．lg 101 B．2
C．1 D．0
5．（2011北京，5分）根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为
f(x)＝(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是( )
A．75,25 B．75,16
C．60,25 D．60,16
6．（2012江苏，5分）设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝其中a，b∈R.若f()＝f()，则a＋3b的值为________．
7．（2011江苏，5分）已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．
函数的概念和性质
考点一 分段函数
分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 本文就几种具体的题型做了一些思考, 解析如下：
1．求分段函数的定义域和值域
例1．求函数的定义域、值域.
【解析】
作图, 利用“数形结合”易知的定义域为, 值域为.
2．求分段函数的函数值
例2．已知函数求.
【解析】
因为, 所以.
3．求分段函数的最值
例3．求函数的最大值.
【解析】当时, , 当时, , 当时, , 综上有.
4．求分段函数的解析式
例4．在同一平面直角坐标系中, 函数和的图象关于直线对称, 现将的图象沿轴向左平移2个单位, 再沿轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数的表达式为（ ）
【解析】
当时, , 将其图象沿轴向右平移2个单位, 再沿轴向下平移1个单位, 得解析式为, 所以, 当时, , 将其图象沿轴向右平移2个单位, 再沿轴向下平移1个单位, 得解析式, 所以, 综上可得, 故选A.
5．作分段函数的图像
例5．函数的图像大致是（ ）
解析：在定义范围讨论，当0 6．求分段函数得反函数 例6已知是定义在上的奇函数, 且当时, , 设的反函数为, 求的表达式. 【解析】 设, 则, 所以, 又因为是定义在上的奇函数, 所以, 且, 所以, 因此 , 从而可得. 7．判断分段函数的奇偶性 例7．判断函数的奇偶性. 【解析】 当时, , , 当时, , 当, , 因此, 对于任意都有, 所以为偶函数. 8．判断分段函数的单调性 例8．判断函数的单调性. 【解析】 显然连续. 当时, 恒成立, 所以是单调递增函数, 当时, 恒成立, 也是单调递增函数, 所以在上是单调递增函数; 或画图易知在上是单调递增函数. 例9．写出函数的单调减区间. 【解析】, 画图易知单调减区间为. 9．解分段函数的方程 例10．（01年上海）设函数, 则满足方程的的值为 【解析】 若, 则, 得, 所以（舍去）, 若, 则, 解得, 所以即为所求. 10．解分段函数的不等式 例11．设函数, 若, 则得取值范围是（ ） 【解析1】 首先画出和的大致图像, 易知时, 所对应的的取值范围是. 【解析2】 因为, 当时, , 解得, 当时, , 解得, 综上的取值范围是. 故选D. 例12．设函数, 则使得的自变量的取值范围为（ ） A． B. C. D. 【解析】 当时, , 所以, 当时, , 所以, 综上所述, 或, 故选A项. 【点评：】 以上分段函数性质的考查中, 不难得到一种解题的重要途径, 若能画出其大致图像, 定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解, 方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解, 使问题得到大大简化, 效果明显. 反馈练习 1．（2013新课标全国Ⅰ，5分）已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是( ) A．(－∞，0] B.(－∞，1] C．[－2,1] D．[－2,0] 解析：本题考查一次函数、二次函数、对数函数、分段函数及由不等式恒成立求参数的取值范围问题，意在考查考生的转化能力和利用数形结合思想解答问题的能力．当x≤0时，f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤0，所以|f(x)|≥ax化简为x2－2x≥ax，即x2≥(a＋2)x，因为x≤0，所以a＋2≥x恒成立，所以a≥－2；当x＞0时，f(x)＝ln(x＋1)＞0，所以|f(x)|≥ax化简为ln(x＋1)＞ax恒成立，由函数图象可知a≤0，综上，当－2≤a≤0时，不等式|f(x)|≥ax恒成立，选择D. 答案：D 2．（2013福建，4分）已知函数f(x)＝则f＝________. 解析：本题主要考查分段函数的求值，意在考查考生的应用能力和运算求解能力．∵f＝－tan＝－1，∴f＝f(－1)＝2×(－1)3＝－2. 答案：－2 3．（2013北京，5分）函数f(x)＝的值域为________． 解析：本题主要考查分段函数的概念、性质以及指数函数、对数函数的性质，意在考查考生对函数定义域、值域掌握的熟练程度． 分段函数是一个函数，其定义域是各段函数定义域的并集，值域是各段函数值域的并集．当x≥1时，logx≤0，当x<1时，0<2x<2，故值域为(0,2)∪(－∞，0]＝(－∞，2)． 答案：(－∞，2) 4．（2012江西，5分）若函数f(x)＝则f(f(10))＝( ) A．lg 101 B．2 C．1 D．0 解析：f(10)＝lg 10＝1，故f(f(10))＝f(1)＝12＋1＝2. 答案：B 5．（2011北京，5分）根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为 f(x)＝(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是( ) A．75,25 B．75,16 C．60,25 D．60,16 解析：因为组装第A件产品用时15分钟，所以＝15(1)，所以必有4 6．（2012江苏，5分）设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝其中a，b∈R.若f()＝f()，则a＋3b的值为________． 解析：因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，所以f()＝f(－)，且f(－1)＝f(1)，故f()＝f(－)，从而＝－a＋1,3a＋2b＝－2. ① 由f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝，故b＝－2a. ② 由①②得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10. 答案：－10 7．（2011江苏，5分）已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________． 解析：①当1－a＜1，即a＞0时，此时a＋1＞1，由f(1－a)＝f(1＋a)，得2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，计算得a＝－(舍去)；②当1－a＞1，即a＜0时，此时a＋1＜1，由f(1－a)＝f(1＋a)，得2(1＋a)＋a＝－(1－a)－2a，计算得a＝－，符合题意，所以综上所述，a＝－. 答案：－下载本文
