考纲要求：理解数形结合的思想.了解圆锥曲线的简单应用.

教材复习

对相交弦长问题及中点弦问题要正确运用“设而不求”，常结合韦达定理 .

解决直线和圆锥曲线的位置关系问题时，经常转化为它们所对应的方程构成的方程组是否

有解或解的个数问题.对于消元后的一元二次方程，必须讨论二次项的系数和判别式，注意直线与圆锥曲线相切必有一个公共点，对圆与椭圆来说反之亦对，但对双曲线和抛物线来说直线与其有一公共点，可能是相交的位置关系.有时借助图形的几何性质更为方便.

涉及弦的中点问题，除利用韦达定理外，也可以运用“点差法”，但必须以直线与圆锥曲线相交为前提，否则不宜用此法.

直线与圆锥曲线相交的弦长计算：连结圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦；易求出弦端点坐标时用距离公式求弦长；一般情况下,解由直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组,得到关于(或)的一元二次方程,利用方程组的解与端点坐标的关系，结合韦达定理得到弦长公式： 

＝.

涉及垂直关系问题，一般是利用斜率公式及韦达定理求解，设、，是直线与圆锥曲线的两个交点，为坐标原点，则，

解析几何解题的基本方法：数形结合法，以形助数，用数定形.常用此法简化运算.

基本知识方法 

在几何问题中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题一种思路是进行一般计算推理求出其结果；另一种是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，然后再进行一般性证明或计算，即将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形式，证明该式是恒定的.如果试题以客观题形式出现，特殊方法往往比较奏效.

对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，设该直线（曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足的方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识加以解决.

可从特殊情况入手，先探求定点，再证明一般情况.

解析几何的最值和范围问题，一般先根据条件列出所求目标的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法、不等式法、单调性法、导数法以及三角函数最值法等求出它的最大值和最小值.

典例分析：

考点一  弦长问题

问题1．设直线过双曲线的一个焦点，交双曲线于、两点，为坐标原点，若，求的值.

考点二  焦点弦问题

问题2．过抛物线（）的焦点作一条直线交抛物线于、，

两点，设直线的倾斜角为.求证： ； 

考点三  范围与最值问题

问题3．（湖北）已知一条曲线在轴右边，上每一点到点的距离减去它到轴距离的差都是.(Ⅰ)求曲线的方程；（Ⅱ）是否存在正数，对于过点且与曲线有两个交点的任一直线，都有？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.

问题4．(浙江) 如图，椭圆：()的离心率为，

其左焦点到点的距离为．不过原点的直线

与相交于，两点，且线段被直线平分．

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ) 求的面积取最大时直线的方程．

考点四  定点定值问题

问题5．(陕西)已知动圆过定点, 且在轴上截得的弦的长为. 

    (Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹的方程；

    (Ⅱ) 已知点, 设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点, , 

若轴是的角平分线, 证明直线过定点. 

问题6．(山东) 已知直线与椭圆:交于，两不同点，且的面积,其中为坐标原点.

（Ⅰ）证明和均为定值；

（Ⅱ）设线段的中点为，求的最大值；（Ⅲ）略.

考点五   探索性问题

问题7．（湖北）直线：与双曲线：的右支交于不同的两点、.（Ⅰ）求实数的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数，使得以线段为直径的圆经过双曲线的右焦点？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

课后作业： 

（南通九校联考）过双曲线的右焦点作直线交双曲线于、两点，

若，则满足条件的直线有    条   条  条  无数条

已知双曲线: ，过点作直线，使与有且只有一个公共点，

则满足上述条件的直线共有        条条  条    条

（北京海淀区）若不论为何值，直线与直线总有公共点，则的取值范围是       

直线与椭圆公共点的个数是

                       随变化而改变

椭圆与直线交于两点，的中点为，且的斜率

为，则的值为                   

已知椭圆，则以为中点的弦的长度是        

若直线和椭圆恒有公共点，则实数的取值范围为           

过椭圆的一个焦点的直线交椭圆于、两点,求面积的最大值

中心在原点，焦点在轴上的椭圆的左焦点为，离心率为，过作直线交

椭圆于两点，已知线段的中点到椭圆左准线的距离是，则         

已知椭圆（）的右焦点为，过作直线与椭圆相交于、两点，若有，求椭圆离心率的取值范围.

抛物线的顶点任意作两条互相垂直的弦、，

求证：交抛物线的对称轴上一定点. 

走向高考： 

（福建）已知双曲线(，)的右焦点为，若过点且

倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是

（江西）是双曲线的右支上一点，分别是圆

和上的点，则的最大值为         

(安徽) 已知直线交抛物线于两点.若该抛物线上存在

点，使得为直角，则的取值范围为         

（全国Ⅰ）已知椭圆的左、右焦点分别为，．过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且，垂足为．

（Ⅰ）设点的坐标为，证明：；

（Ⅱ）求四边形的面积的最小值．下载本文