一.选择题（3分×8=24分）
1．（3分）（2015•郑州模拟）下列各组数中，互为相反数的两个数是（ ）
| A． | ﹣3和+2 | B． | 5和 | C． | ﹣6和6 | D． | ﹣和 |
| A． | B． | C． | D． |
| A． | ＞ | B． | S甲2＞S乙2 | C． | ＞S甲2 | D． | ＞S乙2 |
| A． | 2a+2=3a2 | B． | （﹣b3）2=﹣b6 | C． | c2•c3=c5 | D． | （m﹣n）2=m2﹣n2 |
| A． | 110° | B． | 115° | C． | 120° | D． | 130° |
| A． | B． | C． | D． |
| A． | 14 | B． | 18 | C． | 20 | D． | 22 |
①4ac﹣b2＞0；②4a+c＜2b；③b+c＜0；④n（an+b）﹣b＜a（n≠1）．
正确结论的个数是（ ）
| A． | 4个 | B． | 3个 | C． | 2个 | D． | 1个 |
二.填空题（3分×7=21分）
9．（3分）（1998•杭州）求值：2sin30°= ．
10．（3分）（2015•郑州模拟）电视台统计显示，南京青奥会开幕式直播有超过2亿观众通过央视收看，2亿用科学记数法可记为 ．
11．（3分）（2015•郑州模拟）请写出一个大于1而小于5的无理数 ．
12．（3分）（2015•郑州模拟）在平面直角坐标系中，直线y=﹣2x+11与直线y=x+的交点坐标为（4，3），则方程组的解为 ．
13．（3分）（2015•郑州模拟）冯老师为了响应市“绿色出行”的号召，上下班由自驾车改为骑自行车．已知冯老师家距学校15km，自驾车的速度是自行车速度的2倍，骑自行车所用时间比自驾车所用时间多h．如果设骑自行车的速度为x km/h，则由题意可列方程为 ．
14．（3分）（2015•郑州模拟）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B与CD的中点重合，若AB=2，BC=3，则△FCB′与△B′DG的面积之比为 ．
15．（3分）（2015•郑州模拟）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，把△ABO放大为原来的2倍，则点A的对应点A′的坐标是 ．
三.解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（8分）（2015•郑州模拟）课堂上，王老师出了这样一道题：已知x=2015﹣5，求代数式÷（1+）的值．
小明觉得直接代入计算太复杂了，同学小刚帮他解决了问题，并解释说：“结果与x无关”解答过程如下：
原式=÷…①
=÷ …②
=×…③
=…④
（1）从原式到步骤①，用到的数学知识有： ；
（2）步骤②中的空白处的代数式为： ；
（3）从步骤③到步骤④，用到的数学知识有： ．
17．（9分）（2015•郑州模拟）在信息快速发展的社会，“信息消费”已成为人们生活的重要部分．郑州市的一个社区随机抽取了部分家庭，调查每月用于信息消费的金额，数据整理成如图所示的不完整统计图．已知A、B两组户数直方图的高度比为1：5，请结合图中相关数据回答下列问题．
（1）A组的频数是 ，本次调查样本的容量是 ；
（2）补全直方图（需标明各组频数）；
（3）若该社区有1500户住户，请估计月信息消费额不少于300元的户数是多少？
18．（9分）（2007•长春）如图①，将一组对边平行的纸条沿EF折叠，点A，B分别落在A′，B′处，线段FB′与AD交于点M．
（1）试判断△MEF的形状，并证明你的结论；
（2）如图②，将纸条的另一部分CFMD沿MN折叠，点C，D分别落在C′，D′处，且使MD′经过点F，试判断四边形MNFE的形状，并证明你的结论；
（3）当∠BFE= 度时，四边形MNFE是菱形．
19．（9分）（2015•郑州模拟）住在郑东新区的小明知道“中原第一高楼”有多高，他登上了附近的另一座高层酒店的顶层某处．已知小明所处位置距离地面有160米高，测得“中原第一高楼”顶部的仰角为37°，测得“中原第一高楼”底部的俯角为45°，请你用初中数学知识帮小明解决这个问题．（请你画出示意图，并说明理由）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
20．（9分）（2015•郑州模拟）如图，已知反比例函数y1=（k1＜0）与一次函数y2=k2x+1（k2≠0）相交于A、B两点，AC⊥x轴于点C，若△OAC的面积为1，且tan∠AOC=2．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）请直接写出B点的坐标，并指出当x为何值时，反比例函数y1的值小于一次函数y2的值．
21．（10分）（2015•郑州模拟）某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元，每天都客满．旅馆装修后要提高租金，经市场调查，如果一间客房日租金每增加10元，则客房每天少出租6间，不考虑其他因素，旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？比装修前日租金的总收入增加多少元？
22．（10分）（2015•郑州模拟）如图①，正方形AEFG的边长为1，正方形ABCD的边长为3，且点F在AD上．
（1）求S△DBF；
（2）把正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转45°得图②，求图②中的S△DBF；
（3）把正方形AEFG绕点A旋转一周，在旋转的过程中，S△DBF存在最大值与最小值，请直接写出最大值 ，最小值 ．
23．（11分）（2015•郑州模拟）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OB=2，OC=8，抛物线的对称轴是直线x=﹣2．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E做EF∥AC交线段BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）在（2）的基础上说明S是否存在最大值？若存在，请求出S的最大值，并求出此点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．
2015年河南省郑州市中考数学一模试卷
参与试题解析
一.选择题（3分×8=24分）
1．（3分）（2015•郑州模拟）下列各组数中，互为相反数的两个数是（ ）
| A． | ﹣3和+2 | B． | 5和 | C． | ﹣6和6 | D． | ﹣和 |
| 考点： | 相反数．菁优网版权所有 |
| 分析： | 根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案． |
| 解答： | 解：A、绝对值不同，不是相反数，故A错误； B、互为倒数，故B错误； C、互为相反数，故C正确； D、绝对值不同，不是相反数，故D错误； 故选：C． |
| 点评： | 本题考查了相反数，在一个数的前面加上符号就是这个数的相反数． |
2．（3分）（2015•郑州模拟）如图所示的几何体是由一个正方体切去一个小正方体形成的，从正面看到的平面图形为（ ）
| A． | B． | C． | D． |
| 考点： | 简单组合体的三视图．菁优网版权所有 |
| 分析： | 根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． |
| 解答： | 解：从正面看是一个大正方形，大正方形的右上角是一个小正方形，故A符合题意， 故选：A． |
| 点评： | 本题考查了简单组合体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图． |
3．（3分）（2015•郑州模拟）黄河农场各用10块面积相同的试验田种植甲、乙两种麦子，收获后对两种麦子产量（单位：吨/亩）的数据统计如下：=0.61，=0.59，S甲2=0.01，S乙2=0.002，则由上述数据推断乙种麦子产量比较稳定的依据是（ ）
| A． | ＞ | B． | S甲2＞S乙2 | C． | ＞S甲2 | D． | ＞S乙2 |
| 考点： | 方差．菁优网版权所有 |
| 分析： | 根据方差的定义判断，方差越小数据越稳定． |
| 解答： | 解：∵乙品种麦子产量比较稳定， ∴方差小的为乙， ∴S甲2＞S乙2． 故选B． |
| 点评： | 本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． |
4．（3分）（2015•长沙县模拟）下列各式计算正确的是（ ）
| A． | 2a+2=3a2 | B． | （﹣b3）2=﹣b6 | C． | c2•c3=c5 | D． | （m﹣n）2=m2﹣n2 |
| 考点： | 幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法；完全平方公式．菁优网版权所有 |
| 分析： | 根据合并同类项法则，积的乘方，同底数幂的乘法，完全平方公式分别求出每个式子的值，再判断即可． |
| 解答： | 解：A、2a和2不能合并，故本选项错误； B、结果是b6，故本选项错误； C、结果是c5，故本选项正确； D、结果是m2﹣2mn+n2，故本选项错误； 故选C． |
| 点评： | 本题考查了合并同类项法则，积的乘方，同底数幂的乘法，完全平方公式的应用，主要考查学生的计算能力和判断能力，难度不是很大． |
5．（3分）（2015•郑州模拟）如图，△ABC中，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∠A=50°，则∠BOC等于（ ）
| A． | 110° | B． | 115° | C． | 120° | D． | 130° |
| 考点： | 三角形内角和定理；角平分线的定义．菁优网版权所有 |
| 分析： | 根据三角形的内角和定理和角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB的度数，再根据三角形的内角和等于180°即可求出∠BOC的度数． |
| 解答： | 解：∵∠A=50°， ∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣50°=130°， ∵BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线， ∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=×130°=65°， ∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣65°=115°． 故选B． |
| 点评： | 本题主要利用三角形的内角和定理和角平分线的定义，熟练掌握定理和概念是解题的关键． |
6．（3分）（2015•郑州模拟）第22届冬季奥运会于2014年2月7日在俄罗斯索契开幕，到冰壶比赛场馆服务的大学生志愿者中，有3名来自莫斯科国立大学，有5名来自圣彼得堡鼓励大学，现从这8名志愿者中随机抽取1人，这名志愿者来自莫斯科国立大学的概率是（ ）
| A． | B． | C． | D． |
| 考点： | 概率公式．菁优网版权所有 |
| 分析： | 用莫斯科国立大学的学生数除以学生的总数即可求得本题的答案． |
| 解答： | 解：共有3+5=8人，莫斯科国立大学有3名志愿者， 故随机抽取1人，恰为莫斯科国立大学学生的概率为， 故选D． |
| 点评： | 考查了概率公式，明确概率的意义是解答问题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． |
7．（3分）（2015•郑州模拟）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=12，BD=8，CD=6，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（ ）
| A． | 14 | B． | 18 | C． | 20 | D． | 22 |
| 考点： | 中点四边形．菁优网版权所有 |
| 分析： | 利用勾股定理列式求出BC的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH=FG=AD，EF=GH=BC，然后代入数据进行计算即可得解． |
| 解答： | 解：∵BD⊥CD，BD=8，CD=6， ∴BC===10， ∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点， ∴EH=FG=AD，EF=GH=BC， ∴四边形EFGH的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC， 又∵AD=12， ∴四边形EFGH的周长=12+10=22． 故选D． |
| 点评： | 本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键． |
8．（3分）（2015•郑州模拟）观察二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，下列四个结论：
①4ac﹣b2＞0；②4a+c＜2b；③b+c＜0；④n（an+b）﹣b＜a（n≠1）．
正确结论的个数是（ ）
| A． | 4个 | B． | 3个 | C． | 2个 | D． | 1个 |
| 考点： | 二次函数图象与系数的关系．菁优网版权所有 |
| 分析： | 首先根据开口方向确定a的取值范围，根据对称轴的位置确定b的取值范围，根据抛物线与y轴的交点确定c的取值范围，根据抛物线与x轴是否有交点确定b2﹣4ac的取值范围，根据图象和x=﹣2的函数值即可确定4a﹣2b+c的取值范围，根据b、c的取值范围可以确定b+c＜0是否成立．根据二次函数的最值问题得到an2+bn+c＜a+b+c（n≠﹣1），即n（an+b）﹣b＜a，则可对④进行判断． |
| 解答： | 解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0，4ac﹣b2＜0，故①错误． 根据图象知道当x=﹣2时，y=4a﹣2b+c＜0，4a+c＜2b，故②正确； ∵抛物线开口朝下， ∴a＜0， ∵对称轴x=1=﹣， ∴b＞0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方， ∴c＞0，b+c＞0，故③错误； ∵x=1时，函数值有最大值a+b+c， ∴an2+bn+c＜a+b+c（n≠﹣1）， ∴n（an+b）﹣b＜a，所以④正确． 故选：C． |
| 点评： | 本题考查了二次函数的图象与系数的关系，根据函数图象解答问题，体现了数形结合的数学思想方法． |
二.填空题（3分×7=21分）
9．（3分）（1998•杭州）求值：2sin30°= 1 ．
| 考点： | 特殊角的三角函数值．菁优网版权所有 |
| 分析： | 根据特殊教的三角函数值直接解答． |
| 解答： | 解：2sin30°=2×=1． |
| 点评： | 本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，要掌握特殊角度的三角函数值． |
10．（3分）（2015•郑州模拟）电视台统计显示，南京青奥会开幕式直播有超过2亿观众通过央视收看，2亿用科学记数法可记为 2×108 ．
| 考点： | 科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有 |
| 分析： | 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． |
| 解答： | 解：将2亿=200000000用科学记数法表示为：2×108． 故答案为：2×108． |
| 点评： | 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． |
11．（3分）（2015•郑州模拟）请写出一个大于1而小于5的无理数 ．
| 考点： | 估算无理数的大小．菁优网版权所有 |
| 专题： | 开放型． |
| 分析： | 根据已知和无理数的定义写出一个无理数即可． |
| 解答： | 解：一个大于1而小于5的无理数有，，，等， 故答案． |
| 点评： | 本题考查了对估算无理数的大小的应用，注意：无理数是指无限不循环小数，此题是一道开放型的题目，答案不唯一． |
12．（3分）（2015•郑州模拟）在平面直角坐标系中，直线y=﹣2x+11与直线y=x+的交点坐标为（4，3），则方程组的解为 ．
| 考点： | 一次函数与二元一次方程（组）．菁优网版权所有 |
| 分析： | 直接根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解得到答案． |
| 解答： | 解：∵直线y=﹣2x+11与直线y=x+的交点坐标为（4，3）， ∴方程组的解为． 故答案为为． |
| 点评： | 本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． |
13．（3分）（2015•郑州模拟）冯老师为了响应市“绿色出行”的号召，上下班由自驾车改为骑自行车．已知冯老师家距学校15km，自驾车的速度是自行车速度的2倍，骑自行车所用时间比自驾车所用时间多h．如果设骑自行车的速度为x km/h，则由题意可列方程为 ．
| 考点： | 由实际问题抽象出分式方程．菁优网版权所有 |
| 分析： | 由题目中的关键语句“骑自行车所用时间比自驾车所用时间多小时”，找到等量关系列出分式方程求解即可． |
| 解答： | 解：设自行车速度为x km/h，则汽车的速度为2xkm/h，依题意得： ﹣=． 故答案为：﹣=． |
| 点评： | 此题考查从实际问题中抽象出分式方程，寻找题中时间之间的关系是解决问题的关键． |
14．（3分）（2015•郑州模拟）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B与CD的中点重合，若AB=2，BC=3，则△FCB′与△B′DG的面积之比为 16：9 ．
| 考点： | 翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有 |
| 分析： | 设BF=x，则CF=3﹣x，B'F=x，在Rt△B′CF中，利用勾股定理求出x的值，继而判断△DB′G∽△CFB′，根据面积比等于相似比的平方即可得出答案． |
| 解答： | 解：设BF=x，则CF=3﹣x，B'F=x， ∵点B′为CD的中点， ∴B′C=1， 在Rt△B′CF中，B'F2=B′C2+CF2，即x2=1+（3﹣x）2， 解得：x=，即可得CF=3﹣=， ∵∠DB′G+∠DGB'=90°，∠DB′G+∠CB′F=90°， ∴∠DGB′=∠CB′F， ∴Rt△DB′G∽Rt△CFB′， 根据面积比等于相似比的平方可得：=（）2=（）=． 故答案为：16：9． |
| 点评： | 此题考查的是翻折变换，解答本题的关键是求出FC的长度，然后利用面积比等于相似比的平方进行求解，难度一般． |
15．（3分）（2015•郑州模拟）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，把△ABO放大为原来的2倍，则点A的对应点A′的坐标是 （﹣8，4）或（8，﹣4） ．
| 考点： | 位似变换；坐标与图形性质．菁优网版权所有 |
| 分析： | 根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，即可求得答案． |
| 解答： | 解：∵点A的坐标分别为（﹣4，2），以原点O为位似中心，把△ABO放大为原来的2倍， 则A′的坐标是：（﹣8，4）或（8，﹣4）． 故答案为：（﹣8，4）或（8，﹣4）． |
| 点评： | 此题考查了位似图形与坐标的关系．此题比较简单，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标比等于±k． |
三.解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（8分）（2015•郑州模拟）课堂上，王老师出了这样一道题：已知x=2015﹣5，求代数式÷（1+）的值．
小明觉得直接代入计算太复杂了，同学小刚帮他解决了问题，并解释说：“结果与x无关”解答过程如下：
原式=÷…①
=÷ …②
=×…③
=…④
（1）从原式到步骤①，用到的数学知识有： 因式分解，通分，分解因式中的完全平方公式和平方差公式，分式的基本性质 ；
（2）步骤②中的空白处的代数式为： （或） ；
（3）从步骤③到步骤④，用到的数学知识有： 约分（或分式的基本性质） ．
| 考点： | 分式的化简求值．菁优网版权所有 |
| 专题： | 阅读型． |
| 分析： | （1）根据分式的基本性质可得出结论； （2）把除号后面的分式化简即可； （3）根据约分的步骤可得出结论． |
| 解答： | 解：原式=÷…① =÷ …② =×…③ =…④ （1）故答案为：因式分解，通分，分解因式中的完全平方公式和平方差公式，分式的基本性质； （2）故答案为：（或）； （3）故答案为：约分（或分式的基本性质）． |
| 点评： | 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． |
17．（9分）（2015•郑州模拟）在信息快速发展的社会，“信息消费”已成为人们生活的重要部分．郑州市的一个社区随机抽取了部分家庭，调查每月用于信息消费的金额，数据整理成如图所示的不完整统计图．已知A、B两组户数直方图的高度比为1：5，请结合图中相关数据回答下列问题．
（1）A组的频数是 2 ，本次调查样本的容量是 50 ；
（2）补全直方图（需标明各组频数）；
（3）若该社区有1500户住户，请估计月信息消费额不少于300元的户数是多少？
| 考点： | 频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表；扇形统计图．菁优网版权所有 |
| 分析： | （1）根据A、B两组户数直方图的高度比为1：5，即两组的频数的比是1：5，据此即可求得A组的频数；利用A和B两组的频数的和除以两组所占的百分比即可求得总数，即样本容量； （2）利用总数乘以百分比即可求得C组的频数，从而补全统计图； （3）利用总数1500乘以对应的百分比即可． |
| 解答： | 解：（1）A组的频数是：10×=2； 调查样本的容量是：（2+10）÷（1﹣8%﹣28%﹣40%）=50； （2）C组的频数是：50×40%=20，如图， ． （3）∵1500×（28%+8%）=540， ∴全社区捐款不少于300元的户数是540户． |
| 点评： | 本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． |
18．（9分）（2007•长春）如图①，将一组对边平行的纸条沿EF折叠，点A，B分别落在A′，B′处，线段FB′与AD交于点M．
（1）试判断△MEF的形状，并证明你的结论；
（2）如图②，将纸条的另一部分CFMD沿MN折叠，点C，D分别落在C′，D′处，且使MD′经过点F，试判断四边形MNFE的形状，并证明你的结论；
（3）当∠BFE= 60 度时，四边形MNFE是菱形．
| 考点： | 翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定．菁优网版权所有 |
| 专题： | 综合题． |
| 分析： | （1）由AD∥BC，得∠MEF=∠EFB．由折叠的性质知∠MFE=∠EFB，所以∠MEF=∠MFE⇒ME=MF，即△MEF为等腰三角形． （2）由（1）知ME=MF，同理NF=MF，∴ME=NF．即ME与NF平行且相等，故四边形MNFE为平行四边形． （3）若平行四边形MNFE是菱形，则等腰三角形△MEF应为等边三角形，故∠MEF=∠BFE=60度． |
| 解答： | 解：（1）△MEF为等腰三角形． 证明：∵AD∥BC，∴∠MEF=∠EFB． ∵∠MFE=∠EFB，∴∠MEF=∠MFE． ∴ME=MF，即△MEF为等腰三角形． （2）四边形MNFE为平行四边形． 证法一：∵ME=MF，同理NF=MF，∴ME=NF． 又∵ME∥NF，∴四边形MNFE为平行四边形． 证法二：∵AD∥BC，∴∠EMF=∠MFN． 又∵∠MEF=∠MFE，∠FMN=∠FNM，∴∠FMN=∠MFE，∴MN∥EF． ∴四边形MNFE为平行四边形． 注：其他正确证法同样得分． （3）60． |
| 点评： | 本题利用了：①折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；②平行线的性质，等角对等边，平行四边形和菱形的判定及性质． |
19．（9分）（2015•郑州模拟）住在郑东新区的小明知道“中原第一高楼”有多高，他登上了附近的另一座高层酒店的顶层某处．已知小明所处位置距离地面有160米高，测得“中原第一高楼”顶部的仰角为37°，测得“中原第一高楼”底部的俯角为45°，请你用初中数学知识帮小明解决这个问题．（请你画出示意图，并说明理由）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
| 考点： | 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．菁优网版权所有 |
| 分析： | AB代表小明所处位置到地面的距离，即AB=160米，CD代表“中原第一高楼”，作AE⊥CD于点E，在直角△AEC和直角△ADE中，分别利用三角函数求得EC和DE，即可求解． |
| 解答： | 解：如图所示， AB代表小明所处位置到地面的距离，即AB=160米， CD代表“中原第一高楼”， 作AE⊥CD于点E． 由题意可知，四边形ABDE是矩形，所以AB=DE=160米． 在Rt△ADE中， ∵，DE=160， ∴， ∴AE=160． 在Rt△AEC中， ∵，AE=160， ∴， ∴CE=120， ∴CD=CE+DE=120+160=280（米）， ∴“中原第一高楼”高280米． |
| 点评： | 此题考查了仰角与俯角的知识．此题难度适中，注意能借助仰角或俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键． |
20．（9分）（2015•郑州模拟）如图，已知反比例函数y1=（k1＜0）与一次函数y2=k2x+1（k2≠0）相交于A、B两点，AC⊥x轴于点C，若△OAC的面积为1，且tan∠AOC=2．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）请直接写出B点的坐标，并指出当x为何值时，反比例函数y1的值小于一次函数y2的值．
| 考点： | 反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有 |
| 分析： | （1）根据△OAC的面积为1，得出k1，即可得出反比例函数的表达式；再由tan∠AOC=2，设出点A坐标，即可求出A点坐标，从而得出一次函数的表达式； （2）由图象即可得出B点的坐标，以及x的取值范围． |
| 解答： | 解：（1）∵点A在的图象上，S△ACO=1， ∴|k1|=2×1=2， 又∵k1＜0， ∴k1=﹣2． ∴反比例函数的表达式为． 设点A（a，），a＜0， ∵在Rt△AOC中，， ∴， ∵a＜0， ∴a=﹣1． ∴A（﹣1，2）． ∵点A（﹣1，2）在y2=k2x+1上， ∴2=﹣k2+1， ∴k2=﹣1． ∴一次函数的表达式为y2=﹣x+1． （2）点B坐标为（2，﹣1）， 观察图象可知，当x＜﹣1或0＜x＜2时， 反比例函数y1的值小于一次函数y2的值． |
| 点评： | 本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，以及用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，是基础知识要熟练掌握． |
21．（10分）（2015•郑州模拟）某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元，每天都客满．旅馆装修后要提高租金，经市场调查，如果一间客房日租金每增加10元，则客房每天少出租6间，不考虑其他因素，旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？比装修前日租金的总收入增加多少元？
| 考点： | 二次函数的应用．菁优网版权所有 |
| 分析： | 首先设每间客房的日租金提高10x元，则每天客房出租数会减少6x间，进而表示出出租的房间数以及每间客房的利润，进而得出y与x的函数关系，即可得出答案． |
| 解答： | 解：设每间客房的日租金提高10x元，则每天客房出租数会减少6x间．设装修后客房日租金总收入为y， 则y=（160+10x）（120﹣6x）， 即y=﹣60（x﹣2）2+19440． ∵x≥0，且120﹣6x＞0， ∴0≤x＜20． 当x=2时，ymax=19 440． 这时每间客房的日租金为160+10×2=180（元）． 装修后比装修前日租金总收入增加19 440﹣120×160=240（元）． 答：每间客房的日租金提高到180元时，客房日租金的总收入最高；装修后比装修前日租金总收入增加240元． |
| 点评： | 此题主要考查了二次函数的应用，得出y与x的函数关系是解题关键． |
22．（10分）（2015•郑州模拟）如图①，正方形AEFG的边长为1，正方形ABCD的边长为3，且点F在AD上．
（1）求S△DBF；
（2）把正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转45°得图②，求图②中的S△DBF；
（3）把正方形AEFG绕点A旋转一周，在旋转的过程中，S△DBF存在最大值与最小值，请直接写出最大值 ，最小值 ．
| 考点： | 几何变换综合题．菁优网版权所有 |
| 分析： | （1）首先求出AF和BD的长，进而求出DF的长，利用三角形面积公式即可得到答案； （2）连接AF，判断出△DFB与△ABD同底等高，求出△ABD的面积即可； （3）F点的轨迹是以点A为圆心，AF为半径的圆，进而作出图形，故当F点到BD的距离取得最大、最小值时，S△BFD取得最大、最小值，结合图形求出最大值和最小值． |
| 解答： | 解：（1）∵正方形ABCD的边长为3， ∴BD=3， ∵正方形AEFG的边长为1，点F在AD上， ∴AF=， ∴DF=3﹣， ∴S△DBF=×DF×AB=×（3﹣）×3=﹣． （2）连接AF， ∵AF是正方形AEFG的对角线， BD是正方形ABCD的对角线， ∴AF∥BD， ∴△DFB与△ABD同底等高， ∴． （3）正方形AEFG在绕A点旋转的过程中， F点的轨迹是以点A为圆心，AF为半径的圆， 因为△BFD的边BD=3， 故当F点到BD的距离取得最大、最小值时，S△BFD取得最大、最小值． 如图②当F点位于F1点时，S△BFD的最大值，最大值为×（+）×3=， 当F点位于F2点时，S△BFD取得最小值，最小值为×（﹣）×3=． |
| 点评： | 本题考查了几何变换综合题的知识，涉及到旋转的性质、勾股定理及正方形的性质等中山市，解答本题要充分利用正方形的特殊性质，注意在正方形中的特殊三角形的应用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三边关系，解答第（3）问需要作出图形，数形结合很容易解决问题． |
23．（11分）（2015•郑州模拟）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OB=2，OC=8，抛物线的对称轴是直线x=﹣2．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E做EF∥AC交线段BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）在（2）的基础上说明S是否存在最大值？若存在，请求出S的最大值，并求出此点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．
| 考点： | 二次函数综合题．菁优网版权所有 |
| 分析： | （1）首先求得A和B的坐标，然后代入函数解析式，利用待定系数法即可求得函数的解析式； （2）易证△BEF∽△BAC，根据相似三角形的性质利用m表示出EF的长，过点F作FG⊥AB，垂足为G，利用三角函数即可利用m表示出FG的长，根据S=S△BCE﹣S△BFE求解； （3）利用二次函数的性质即可求解． |
| 解答： | 解：（1）∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OB=2，OC=8， ∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8）． 又∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=﹣2， ∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为（﹣6，0）． ∵点C（0，8）在抛物线y=ax2+bx+c的图象上， ∴c=8，将A（﹣6，0）、B（2，0）分别 代入y=ax2+bx+c，得 ∴所求抛物线的表达式为y=﹣x2﹣x+8． （2）依题意，AE=m，则BE=8﹣m， ∵OA=6，OC=8，由勾股定理得AC=10， ∵EF∥AC， ∴△BEF∽△BAC． ∴=． 即=． ∴EF=． 过点F作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG=sin∠CAB=． ∴=． ∴FG=×=8﹣m． ∴S=S△BCE﹣S△BFE=（8﹣m）×8﹣（8﹣m）（8﹣m）=﹣m2+4m． 自变量m的取值范围是0＜m＜8． （3）存在． 理由：∵S=﹣m2+4m=﹣（m﹣4）2+8，且﹣＜0， ∴当m=4时，S有最大值，S最大值=8． 此时，点E的坐标为（﹣2，0）． 则OE=OB， 又∵OC⊥BE． ∴EC=BC， 则△BCE是等腰三角形． |
| 点评： | 本题是二次函数的待定系数法求函数解析式以及二次函数的性质和相似三角形的判定与性质的综合应用，利用m表示出EF和FG的长是关键． |
参与本试卷答题和审题的老师有：2300680618；zcl5287；zjx111；星期八；sjzx；73zzx；CJX；蓝月梦；sd2011；XX茶嫣云；gsls；gbl210；zhjh；zxw；zhehe；bjy；733599（排名不分先后）
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2015年5月13日下载本文
