期末考试数学试题

一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.

1．已知集合，，则（）

A．                        B．

C．                    D．

2．已知向量，，且，则（）

A．    B．        C．D．

3．下列函数中，既是奇函数又在上是增函数的是（）

A．                        B．        

C．                        D．

，则是（）

5．已知，，则（）

A．        B．        C．        D．

6．若角的终边经过点，则下列三角函数值恒为正的是（）

A．        B．        C．            D．

7．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有点（）

A．向左平移个单位长度        B．向左平移个单位长度

C．向右平移个单位长度        D．向右平移个单位长度

8．如图，在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆相交于点.过点的圆的切线交轴于点，点的横坐标关于角的函数记为. 则下列关于函数的说法正确的是（）

A．的定义域是

B．的图象的对称中心是

C．的单调递增区间是

D．对定义域内的均满足

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.

9.已知，则.

10.已知，，则______；______.

11.已知集合，，集合满足，.则一个满足条件的集合是.

12.已知是定义域为的偶函数，当时，，则不等式的解集是.

13.如图，扇形中，半径为1，的长为2，则所对的圆心角的大小为弧度；若点是上的一个动点，则当取得最大值时，.

14.已知函数

（1）若函数没有零点，则实数的取值范围是________；

（2）称实数为函数的包容数，如果函数满足对任意，都存在，使得.

在①；②；③；④；⑤中，函数的包容数是______．（填出所有正确答案的序号）

三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.（本小题共11分）已知函数. 

（1）求的最小正周期；

（2）求的单调递增区间；

（3）在给定的坐标系中作出函数的简图，并直接写出函数在区间上的取值范围. 

16.（本小题共10分）已知函数，存在不等于1的实数使得.

（1）求的值；

（2）判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明；

（3）直接写出与的大小关系.

17.（本小题共11分）如图，在四边形中，，，，且.

（1）用表示；

（2）点在线段上，且，求的值. 

18.（本小题共12分）设函数定义域为，对于区间，如果存在，，使得，则称区间为函数的ℱ区间.

（1）判断是否是函数的ℱ区间;

（2）若是函数（其中）的ℱ区间，求的取值范围;

（3）设为正实数，若是函数的ℱ区间，求的取值范围.

--☆ 参 考 答 案 ☆--

一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.

9．             10．；           11．（或或12．或        13．；0        14．或；②③

三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15．（本小题满分11分）

解：（1）.……………………2分

（2）由，得，……………………4分

，. 

所以函数的单调递增区间是：

，.                  ……………………6分

（3）函数的简图如图所示.……………………8分

函数在区间上的取值范围是.             ……………………11分

16．（本小题满分10分）

解：（1）因为实数使得，

所以，……………………1分

即.

因为，

所以，即.                                  ……………………3分

经检验，满足题意，所以.

（2）函数在上单调递增，证明如下：……………………4分

任取，，当时，.

所以.                                ……………………6分

所以……………………7分

，即.

所以函数在上单调递增.……………………8分

（3）当时，；

当时，.                            ……………………10分

17．（本小题满分11分）

解：（1）因为，

所以.                                         ……………………1分

因为，

所以……………………3分

.……………………5分

（2）因为，

所以.            ……………………6分

因为，

所以点共线.

因为，

所以.

以为坐标原点，所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系.

因为，，，

所以.

所以，.                              ……………………7分

因为点在线段上，且，

所以.                                 ……………………8分

所以.……………………9分

因为，

所以.……………………11分

18．（本小题满分12分）

解：（1）不是函数的ℱ区间，理由如下：……………………1分

因为对，，

所以.……………………2分

所以均有，

即不存在，，使得.

所以不是函数的ℱ区间.………………………3分

（2）由是函数（其中）的ℱ区间，可知

存在，，使得.

所以.……………………4分

因为

所以，即.……………………5分

又因为且，

所以. ……………………6分

（3）因为是函数的ℱ区间，

所以存在，，使得.

所以……………………7分

所以存在，使得

不妨设. 又因为，

所以.

所以.

即在区间内存在两个不同的偶数.……………………8分

当时，区间的长度，

所以区间内必存在两个相邻的偶数，故符合题意.

……………………9分

当时，有，

所以.

（）当时，有即.

所以也符合题意.……………………10分

（）当时，有即.

所以符合题意.

（）当时，有即此式无解.

综上所述，的取值范围是.                  ……………………12分下载本文