一、选择题

1．如图所示的物体有两个紧靠在一起的圆柱体组成，它的主视图是（　　）

A．    B．    C．    D．

2．抛掷一枚均匀的骰子，所得的点数能被3整除的概率为（　　）

A．    B．    C．    D．

3．已知x=2是一元二次方程x2+mx﹣2=0的一个解，则m的值是（　　）

A．1    B．﹣1    C．﹣3    D．0或﹣1

4．依次连接菱形的四边中点得到的四边形一定是（　　）

A．矩形    B．菱形    C．正方形    D．三角形

5．在Rt△ABC中，∠C=90°，a=4，b=3，则sinA的值是（　　）

A．    B．    C．    D．

6．如果两个相似多边形的周长比为1：5，则它们的面积比为（　　）

A．1：2.5    B．1：5    C．1：25    D．1：

7．把抛物线y=（x+1）2向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是（　　）

A．y=（x+2）2+2    B．y=（x+2）2﹣2    C．y=x2+2    D．y=x2﹣2

8．在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（　　）

A．    B．    C．    D．

9．如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F，若=，DE=4，则DF的长是（　　）

A．    B．    C．10    D．6

10．如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔40海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为（　　）海里．

A．40+40    B．80    C．40+20    D．80

11．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列判断中错误的是（　　）

A．图象的对称轴是直线x=1

B．当x＞1时，y随x的增大而减小

C．一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是﹣1，3

D．当﹣1＜x＜3时，y＜0

12．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，下面四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④tan∠CAD=，其中正确的结论有（　　）

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

二、填空题

13．抛物线y=x2﹣2x+1的顶点坐标是　　．

14．计算：|1﹣tan60°|﹣（﹣sin30°）﹣2+tan45°=　　．

15．如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（﹣3，4），顶点C在x轴的负半轴上，函数y=（x＜0）的图象经过顶点B，则k的值为　　．

16．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点，若AM=4，则线段ON的长为　　．

三、解答题（共52分）

17．解方程：（x+3）2=2x+6．

18．（6分）晚上，小亮在广场乘凉，图中线段AB表示站立在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯

（1）请你在图中画出小亮在照明灯P照射下的影子BC（请保留作图痕迹，并把影子描成粗线）；

（2）如果小亮的身高AB=1.6m，测得小亮影长BC=2cm，小亮与灯杆的距离BO=13m，请求出灯杆的高PO．

19．（7分）某商场为了吸引顾客，设计了一种促销活动：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”和“30元”的字样．规定：顾客在本商场同一日内，每消费满200元，就可以在箱子里先后摸出两个球（第一次摸出后不放回），商场根据两小球所标金额的和返还相应价格的购物券，可以重新在本商场消费，某顾客刚好消费200元．

（1）该顾客至少可得到　　元购物券，至多可得到　　元购物券；

（2）请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于30元的概率．

20．（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作▱ABDE，连接AD，EC．

（1）求证：△ADC≌△ECD；

（2）若BD=CD，求证：四边形ADCE是矩形．

21．（8分）某商场试销一种商品，成本为每件100元，一段时间后，发现销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如下表：

（2）设商场所获利润为w元，将商品销售单价定为多少时，才能使所获利润最大？最大利润是多少？

22．（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（a，﹣）在直线y=﹣上，AB∥y轴，且点B的纵坐标为1，双曲线y=经过点B．

（1）求a的值及双曲线y=的解析式；

（2）经过点B的直线与双曲线y=的另一个交点为点C，且△ABC的面积为．

①求直线BC的解析式；

②过点B作BD∥x轴交直线y=﹣于点D，点P是直线BC上的一个动点．若将△BDP以它的一边为对称轴进行翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为正方形，直接写出所有满足条件的点P的坐标．

23．（9分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，线段AD=6，二次函数y=﹣x2﹣x+4与y轴交于A点，与x轴分别交于B点、E点（B点在E点的左侧）

（1）分别求A、B、E点的坐标；

（2）连接AE、OD，请判断△AOE与△AOD是否相似并说明理由；

（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出F点的坐标，若不存在，请说明理由．

2016-2017学年广东省深圳市福田区九年级（上）期末数学试卷

参与试题解析

一、选择题

1．如图所示的物体有两个紧靠在一起的圆柱体组成，它的主视图是（　　）

A．    B．    C．    D．

【考点】简单组合体的三视图．

【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．

【解答】解：主视图是从正面看，圆柱从正面看是长方形，两个圆柱，看到两个长方形．

故选A．

【点评】此题主要考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．

2．抛掷一枚均匀的骰子，所得的点数能被3整除的概率为（　　）

A．    B．    C．    D．

【考点】概率公式．

【分析】根据概率公式可得．

【解答】解：抛掷一枚骰子有1、2、3、4、5、6种可能，

其中所得的点数能被3整除的有3、6这两种，

∴所得的点数能被3整除的概率为=，

故选：B．

【点评】此题主要考查了概率公式，要熟练掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．

3．已知x=2是一元二次方程x2+mx﹣2=0的一个解，则m的值是（　　）

A．1    B．﹣1    C．﹣3    D．0或﹣1

【考点】一元二次方程的解．

【分析】根据一元二次方程的解的对应，把x=2代入一元二次方程得到关于m的一次方程，然后解一次方程即可．

【解答】解：把x=2代入x2+mx﹣2=0得4+2m﹣2=0，

解得m=﹣1．

故选B．

【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．

4．依次连接菱形的四边中点得到的四边形一定是（　　）

A．矩形    B．菱形    C．正方形    D．三角形

【考点】中点四边形．

【分析】作出图形，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半判定出四边形EFGH是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直可得EF⊥FG，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判断．

【解答】解：如图，∵E、F分别是AB、BC的中点，

∴EF∥AC且EF=AC，

同理，GH∥AC且GH=AC，

∴EF∥GH且EF=GH，

∴四边形EFGH是平行四边形，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

又根据三角形的中位线定理，EF∥AC，FG∥BD，

∴EF⊥FG，

∴平行四边形EFGH是矩形．

故选A．

【点评】本题主要考查了三角形的中位线定理，菱形的性质，以及矩形的判定，连接四边形的中点得到的四边形的形状主要与原四边形的对角线的关系有关，原四边形的对角线相等，则得到的四边形是菱形，原四边形对角线互相垂直，则得到的四边形是矩形，连接任意四边形的四条边的中点得到的四边形都是平行四边形．

5．在Rt△ABC中，∠C=90°，a=4，b=3，则sinA的值是（　　）

A．    B．    C．    D．

【考点】锐角三角函数的定义．

【分析】先由勾股定理求出斜边c的长，再根据锐角三角函数的定义直接解答即可．

【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，a=4，b=3，

∴c==，

∴sinA==．

故选A．

【点评】本题利用了勾股定理和锐角三角函数的定义，比较简单．

6．如果两个相似多边形的周长比为1：5，则它们的面积比为（　　）

A．1：2.5    B．1：5    C．1：25    D．1：

【考点】相似多边形的性质．

【分析】根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算．

【解答】解：相似多边形的周长的比是1：5，

周长的比等于相似比，因而相似比是1：5，

面积的比是相似比的平方，因而它们的面积比为1：25；

故选C．

【点评】本题考查相似多边形的性质；熟记相似多边形的性质是关键．

7．把抛物线y=（x+1）2向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是（　　）

A．y=（x+2）2+2    B．y=（x+2）2﹣2    C．y=x2+2    D．y=x2﹣2

【考点】二次函数图象与几何变换．

【分析】先写出平移前的抛物线的顶点坐标，然后根据向下平移纵坐标减，向右平移横坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式解析式写出即可．

【解答】解：抛物线y=（x+1）2的顶点坐标为（﹣1，0），

∵向下平移2个单位，

∴纵坐标变为﹣2，

∵向右平移1个单位，

∴横坐标变为﹣1+1=0，

∴平移后的抛物线顶点坐标为（0，﹣2），

∴所得到的抛物线是y=x2﹣2．

故选D．

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数图象的变化求解更加简便，且容易理解．

8．在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（　　）

A．    B．    C．    D．

【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．

【分析】本题主要考查一次函数和二次函数的图象所经过的象限的问题，关键是m的正负的确定，对于二次函数y=ax2+bx+c，当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下．对称轴为x=，与y轴的交点坐标为（0，c）．

【解答】解：解法一：逐项分析

A、由函数y=mx+m的图象可知m＜0，即函数y=﹣mx2+2x+2开口方向朝上，与图象不符，故A选项错误；

B、由函数y=mx+m的图象可知m＜0，对称轴为x===＜0，则对称轴应在y轴左侧，与图象不符，故B选项错误；

C、由函数y=mx+m的图象可知m＞0，即函数y=﹣mx2+2x+2开口方向朝下，与图象不符，故C选项错误；

D、由函数y=mx+m的图象可知m＜0，即函数y=﹣mx2+2x+2开口方向朝上，对称轴为x===＜0，则对称轴应在y轴左侧，与图象相符，故D选项正确；

解法二：系统分析

当二次函数开口向下时，﹣m＜0，m＞0，

一次函数图象过一、二、三象限．

当二次函数开口向上时，﹣m＞0，m＜0，

对称轴x=＜0，

这时二次函数图象的对称轴在y轴左侧，

一次函数图象过二、三、四象限．

故选：D．

【点评】主要考查了一次函数和二次函数的图象性质以及分析能力和读图能力，要掌握它们的性质才能灵活解题．

9．如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F，若=，DE=4，则DF的长是（　　）

A．    B．    C．10    D．6

【考点】平行线分线段成比例．

【分析】利用平行线分线段成比例定理列出比例式，求出EF，结合图形计算即可．

【解答】解：∵l1∥l2∥l3，

∴==，又DE=4，

∴EF=6，

∴DF=DE+EF=10，

故选：C．

【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．

10．如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔40海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为（　　）海里．

A．40+40    B．80    C．40+20    D．80

【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．

【分析】首先由题意可得：PA=40海里，∠A=45°，∠B=30°，然后分别在Rt△PAC中与Rt△PBC中，利用三角函数的知识分别求得AC与BC的长，继而求得答案．

【解答】解：根据题意得：PA=40海里，∠A=45°，∠B=30°，

∵在Rt△PAC中，AC=PC=PA•cos45°=40×=40（海里），

在Rt△PBC中，BC===40（海里），

∴AB=C+BC=40+40（海里）．

故选A．

【点评】此题考查了方向角问题，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键．

11．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列判断中错误的是（　　）

A．图象的对称轴是直线x=1

B．当x＞1时，y随x的增大而减小

C．一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是﹣1，3

D．当﹣1＜x＜3时，y＜0

【考点】二次函数的性质．

【分析】根据二次函数的图象与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）可求出抛物线的对称轴，再根据二次函数的性质对各选项进行逐一判断即可．

【解答】解：∵二次函数的图象与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0），

∴抛物线的对称轴直线为：x==1，故A正确；

∵抛物线开口向下，对称轴为x=1，

∴当x＞1时，y随x的增大而减小，故B正确；

∵二次函数的图象与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0），

∴一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是﹣1，3，故C正确；

∵当﹣1＜x＜3时，抛物线在x轴的上方，

∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，故D错误．

故选：D．

【点评】本题考查的是二次函数的性质，能利用数形结合求出抛物线的对称轴及当﹣1＜x＜3时y的取值范围是解答此题的关键．

12．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，下面四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④tan∠CAD=，其中正确的结论有（　　）

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形．

【分析】①正确．只要证明∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°即可；

②正确．由AD∥BC，推出△AEF∽△CBF，推出=，由AE=AD=BC，推出=，即CF=2AF；

③正确．只要证明DM垂直平分CF，即可证明；

④正确．设AE=a，AB=b，则AD=2a，由△BAE∽△ADC，有=，即b=a，可得tan∠CAD===；

【解答】解：如图，过D作DM∥BE交AC于N，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，

∵BE⊥AC于点F，

∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，

∴△AEF∽△CAB，故①正确；

∵AD∥BC，

∴△AEF∽△CBF，

∴=，

∵AE=AD=BC，

∴=，

∴CF=2AF，故②正确；

∵DE∥BM，BE∥DM，

∴四边形BMDE是平行四边形，

∴BM=DE=BC，

∴BM=CM，

∴CN=NF，

∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，

∴DN⊥CF，

∴DM垂直平分CF，

∴DF=DC，故③正确；

设AE=a，AB=b，则AD=2a，

由△BAE∽△ADC，有=，即b=a，

∴tan∠CAD===故④正确；

故选D．

【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算以及解直角三角形的综合应用，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．解题时注意：相似三角形的对应边成比例

二、填空题

13．抛物线y=x2﹣2x+1的顶点坐标是　（1，0）　．

【考点】二次函数的性质．

【分析】用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，确定顶点坐标即可．

【解答】解：∵y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，

∴抛物线顶点坐标为（1，0）．

故答案为：（1，0）．

【点评】本题考查了抛物线解析式与顶点坐标的关系，求顶点坐标可用配方法，也可以用顶点坐标公式．

14．计算：|1﹣tan60°|﹣（﹣sin30°）﹣2+tan45°=　﹣4　．

【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．

【分析】直接利用绝对值的性质结合负整数指数幂的性质化简进而得出答案．

【解答】解：原式=﹣1﹣+1

=﹣1﹣4+1

=﹣4．

故答案为：﹣4．

【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．

15．如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（﹣3，4），顶点C在x轴的负半轴上，函数y=（x＜0）的图象经过顶点B，则k的值为　﹣32　．

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；菱形的性质．

【分析】根据点C的坐标以及菱形的性质求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出k的值即可．

【解答】解：∵A（﹣3，4），

∴OC==5，

∴CB=OC=5，

则点B的横坐标为﹣3﹣5=﹣8，

故B的坐标为：（﹣8，4），

将点B的坐标代入y=得，4=，

解得：k=﹣32．

故答案是：﹣32．

【点评】本题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是根据菱形的性质求出点B的坐标．

16．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点，若AM=4，则线段ON的长为　2　．

【考点】正方形的性质．

【分析】作MH⊥AC于H，如图，根据正方形的性质得∠MAH=45°，则△AMH为等腰直角三角形，再求出AH，MH，MB，CH/CO，然后证明△CON∽△CHM，再利用相似比可计算出ON．

【解答】解：作MH⊥AC于H，如图，

∵四边形ABCD为正方形，

∴∠MAH=45°，

∴△AMH为等腰直角三角形，

∴AH=MH=，

∵CM平分∠ACB，

∴BM=MH=，

∴AB=4+2，

∴AC=AB=4+4，

∴OC=AC=+2，CH=AC﹣AH=4+4﹣2=2+4，

∵BD⊥AC，

∴ON∥MH，

∴△CON∽△CHM，

∴，即，

∴ON=2，

故答案为：2

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了角平分线的性质和正方形的性质．

三、解答题（共52分）

17．解方程：（x+3）2=2x+6．

【考点】解一元二次方程-因式分解法．

【分析】先变形得到（x+3）2﹣2（x+3）=0，然后利用因式分解法解方程．

【解答】解：（x+3）2﹣2（x+3）=0，

（x+3）（x+3﹣2）=0，

x+3=0或x+3﹣2=0，

所以x1=﹣3，x2=﹣1．

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．

18．晚上，小亮在广场乘凉，图中线段AB表示站立在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯

（1）请你在图中画出小亮在照明灯P照射下的影子BC（请保留作图痕迹，并把影子描成粗线）；

（2）如果小亮的身高AB=1.6m，测得小亮影长BC=2cm，小亮与灯杆的距离BO=13m，请求出灯杆的高PO．

【考点】相似三角形的应用；中心投影．

【分析】（1）直接根据题意得出影子BC的位置；

（2）根据题意得出△POC∽△ABC，进而利用相似三角形的性质得出PO的长．

【解答】解：（1）如图所示：BC即为所求；

（2）由题意可得：PO⊥OC，AB⊥OC，

∴∠POC=∠ABC=90°，且∠OCP=∠BCA，

∴△POC∽△ABC，

∴=，

又∵AB=1.6，BC=2，OB=13，

∴=，

解得：PO=12，

答：灯杆的高PO为12m．

【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出△POC∽△ABC是解题关键．

19．某商场为了吸引顾客，设计了一种促销活动：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”和“30元”的字样．规定：顾客在本商场同一日内，每消费满200元，就可以在箱子里先后摸出两个球（第一次摸出后不放回），商场根据两小球所标金额的和返还相应价格的购物券，可以重新在本商场消费，某顾客刚好消费200元．

（1）该顾客至少可得到　10　元购物券，至多可得到　50　元购物券；

（2）请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于30元的概率．

【考点】列表法与树状图法．

【分析】（1）如果摸到0元和10元的时候，得到的购物券是最少，一共10元．如果摸到20元和30元的时候，得到的购物券最多，一共是50元；

（2）列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．

【解答】解：（1）10，50；

（2）解法一（树状图）：

从上图可以看出，共有12种可能结果，其中大于或等于30元共有8种可能结果，

因此P（不低于30元）=；

解法二（列表法）：

第二次

【点评】本题主要考查概率知识．解决本题的关键是弄清题意，满200元可以摸两次，但摸出一个后不放回，概率在变化．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

20．如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作▱ABDE，连接AD，EC．

（1）求证：△ADC≌△ECD；

（2）若BD=CD，求证：四边形ADCE是矩形．

【考点】矩形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质．

【分析】（1）根据平行四边形的性质、等腰三角形的性质，利用全等三角形的判定定理SAS可以证得△ADC≌△ECD；

（2）利用等腰三角形的“三合一”性质推知AD⊥BC，即∠ADC=90°；由平行四边形的判定定理（对边平行且相等是四边形是平行四边形）证得四边形ADCE是平行四边形，所以有一个角是直角的平行四边形是矩形．

【解答】证明：（1）∵四边形ABDE是平行四边形（已知），

∴AB∥DE，AB=DE（平行四边形的对边平行且相等）；

∴∠B=∠EDC（两直线平行，同位角相等）；

又∵AB=AC（已知），

∴AC=DE（等量代换），∠B=∠ACB（等边对等角），

∴∠EDC=∠ACD（等量代换）；

∵在△ADC和△ECD中，

，

∴△ADC≌△ECD（SAS）；

（2）∵四边形ABDE是平行四边形（已知），

∴BD∥AE，BD=AE（平行四边形的对边平行且相等），

∴AE∥CD；

又∵BD=CD，

∴AE=CD（等量代换），

∴四边形ADCE是平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）；

在△ABC中，AB=AC，BD=CD，

∴AD⊥BC（等腰三角形的“三合一”性质），

∴∠ADC=90°，

∴▱ADCE是矩形．

【点评】本题综合考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定以及矩形的判定．注意：矩形的判定定理是“有一个角是直角的‘平行四边形’是矩形”，而不是“有一个角是直角的‘四边形’是矩形”．

21．某商场试销一种商品，成本为每件100元，一段时间后，发现销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如下表：

（2）设商场所获利润为w元，将商品销售单价定为多少时，才能使所获利润最大？最大利润是多少？

【考点】二次函数的应用．

【分析】（1）根据表格中的数据可以判断出y与x的函数关系，从而可以解答本题；

（2）根据题意可以得到w与x的函数关系，然后化为顶点式，从而可以解答本题．

【解答】解：（1）由表格可知y与x成一次函数关系，设y与x的函数关系式为y=kx+b，

，

解得，，

即y关于x的函数关系式是y=﹣2x+500；

（2）由题意可得，

w=（x﹣100）（﹣2x+500）=﹣2（x﹣175）2+11250，

∴当x=175时，w取得最大值，此时w=11250，

即将商品销售单价定为175元时，才能使所获利润最大，最大利润是11250元．

【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．

22．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（a，﹣）在直线y=﹣上，AB∥y轴，且点B的纵坐标为1，双曲线y=经过点B．

（1）求a的值及双曲线y=的解析式；

（2）经过点B的直线与双曲线y=的另一个交点为点C，且△ABC的面积为．

①求直线BC的解析式；

②过点B作BD∥x轴交直线y=﹣于点D，点P是直线BC上的一个动点．若将△BDP以它的一边为对称轴进行翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为正方形，直接写出所有满足条件的点P的坐标．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．

【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征可得到﹣a﹣=，解得a=2，则A（2，﹣），再确定点B的坐标为（2，1），然后把B点坐标代入y=中求出m的值即可得到反比例函数的解析式；

（2）①设C（t，），根据三角形面积公式得到×（2﹣t）×（1+）=，解得t=﹣1，则点C的坐标为（﹣1，﹣2），再利用待定系数法求直线BC的解析式；

②先确定D（﹣1，1），根据直线BC解析式的特征可得直线BC与x轴的夹角为45°，而BD∥x轴，于是得到∠DBC=45°，根据正方形的判定方法，只有△PBD为等腰直角三角形时，以它的一边为对称轴进行翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为正方形，分类讨论：若∠BPD=90°，则点P在BD的垂直平分线上，易得此时P（，﹣）；若∠BDP=90°，利用PD∥y轴，易得此时P（﹣1，﹣2）．

【解答】解：（1）∵点A（a，）在直线y=﹣上，

∴﹣a﹣=，解得a=2，

则A（2，﹣），

∵AB∥y轴，且点B的纵坐标为1，

∴点B的坐标为（2，1）．

∵双曲线y=经过点B（2，1），

∴m=2×1=2，

∴反比例函数的解析式为y=；

（2）①设C（t，），

∵A（2，﹣），B（2，1），

∴×（2﹣t）×（1+）=，

解得t=﹣1，

∴点C的坐标为（﹣1，﹣2），

设直线BC的解析式为y=kx+b，

把B（2，1），C（﹣1，﹣2）代入得，

解得，

∴直线BC的解析式为y=x﹣1；

②当y=1时，﹣ =1，解得x=﹣1，则D（﹣1，1），

∵直线BCy=x﹣1为直线y=x向下平移1个单位得到，

∴直线BC与x轴的夹角为45°，

而BD∥x轴，

∴∠DBC=45°，

当△PBD为等腰直角三角形时，以它的一边为对称轴进行翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为正方形，

若∠BPD=90°，则点P在BD的垂直平分线上，P点的横坐标为，当x=时，y=x﹣1=﹣，此时P（，﹣），

若∠BDP=90°，则PD∥y轴，P点的横坐标为﹣1，当x=﹣1时，y=x﹣1=﹣2，此时P（﹣1，﹣2），

综上所述，满足条件的P点坐标为（﹣1，﹣2）或（，）．

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式和正方形的判定方法．

23．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，线段AD=6，二次函数y=﹣x2﹣x+4与y轴交于A点，与x轴分别交于B点、E点（B点在E点的左侧）

（1）分别求A、B、E点的坐标；

（2）连接AE、OD，请判断△AOE与△AOD是否相似并说明理由；

（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出F点的坐标，若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）分别将x=0和y=0代入可求得A、B、E点的坐标；

（2）根据坐标求出AO和OE的长，将两个直角三角形对应小直角边计算比值为，对应大直角边计算比值也是，所以根据两边对应成比例，且夹角相等，所以两三角形相似；

（3）只需要满足△ACF为等腰三角形，即可找到对应的菱形，所以构建△ACF为等腰三角形有四种情况：①以A为圆心画圆，交直线AB于F1、F2，②作AC的中垂线交直线AB于F3，③以C为圆心，以AC为半径，画圆交直线AB于F4，利用勾股定理列式可求得点F的坐标．

【解答】解：（1）当x=0时，y=4，

∴A（0，4），

当y=0时，﹣ x2﹣x+4=0，

2x2+x﹣24=0，

（x+3）（3x﹣8）=0，

x1=﹣3，x2=，

∴B（﹣3，0），E（，0）；

（2）△AOE与△AOD相似，理由是：

∵A（0，4），

∴OA=4，

∵E（，0），

∴OE=，

∴==， =，

∴，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∵BC⊥AO，

∴AD⊥AO，

∴∠OAD=∠AOE=90°，

∴△AOE∽△DAO，

（3）如图2，在Rt△AOC中，AC=4，OC=3，

∴AC=5，

同理AB=5，

∴△ABC是等腰三角形，

∴当F与B重合时，存在A、C、F、M为顶点的四边形为菱形，

即F1（﹣3，0），

当AF2=AB=5时，△AF2C是等腰三角形，存在A、C、F、M为顶点的四边形为菱形，

此时F2与B关于点A对称，

∴F2（3，8），

设直线AB的解析式为：y=kx+b，

把A（0，4），B（﹣3，0）代入得：，

解得：，

∴直线AB的解析式为：y=x+4，

如图2，作AC的中垂线l，交直线AB于F3，连接F3C，分别过A、F3作x轴、y轴的平行线，交于H，HF3交x轴于G，

则AF3=F3C，

设F3（x， x+4），

则=，

（﹣x）2+（4﹣x﹣4）2=（﹣x﹣4）2+（﹣x+3）2，

x=﹣，

当x=﹣时，y=×+4=﹣，

∴F3（﹣，﹣）；

如图3，以C为圆心，以AC为半径，画圆交直线AB于F4，过F4作F4P⊥x轴于P，则AC=F4C，

设F4（x， x+4），

则，

=0，

25x2+42x=0，

x（25x+42）=0，

x1=0（舍），x2=﹣，

当x=﹣时，y=，

∴F4（﹣，），

综上所述，F点的坐标为：F1（﹣3，0），F2（3，8），F3（﹣，﹣），F4（﹣，）．

【点评】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数与两坐标轴的交点、平行四边形、菱形和等腰三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定，在构建等腰三角形时，分三种情况进行讨论，根据腰长相等并与勾股定理相结合列式解决问题．

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