(1)以客观题形式考查两条直线平行与垂直的关系判断，常常是求参数值或取值范围，有时也与命题、充要条件结合，属常考点之一．

(2)与三角函数、数列等其他知识结合，考查直线的斜率、倾斜角、直线与圆的位置关系等，以客观题形式考查．

(3)本部分内容主要以客观题形式考查，若在大题中考查，较少单独命制试题，常常与圆锥曲线相结合，把直线与圆的位置关系的判断或应用作为题目条件的一部分或一个小题出现，只要掌握最基本的位置关系，一般都不难获解．

1．直线方程

(1)直线的倾斜角与斜率的关系

倾斜角α的取值范围：0°≤α<180°.

倾斜角为α(α≠90°)的直线的斜率k＝tanα，倾斜角为90°的直线斜率不存在．

当0°<α<90°时，k>0且k随倾斜角α的增大而增大．

当90°<α<180°时，k<0且k随倾斜角α的增大而增大．

(2)直线方程

名称方程适用范围

点斜式y－y1＝k(x－x1)不能表示与x轴垂直的直线

斜截式y＝kx＋b 不能表示与x轴垂直的直线

两点式y－y1

y2－y1

＝

x－x1

x2－x1

不能表示与坐标轴垂直的直线

截距式x

a

＋

y

b

＝1不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线

一般式

Ax＋By＋C＝0

(A2＋B2≠0)

适合所有的直线

(3)两直线的位置关系

位置关系

l 1：y ＝k 1x ＋b 1

l 2：y ＝k 2x ＋b 2

l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0 l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0

平行

k 1＝k 2，且b 1≠b 2

A 1

B 2－A 2B 1＝0，且B 1

C 2－B 2C 1≠0

相交 k 1≠k 2特别地，l 1⊥l 2⇒k 1k 2＝－1 A 1B 2≠A 2B 1特别地，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0

重合 k 1＝k 2且b 1＝b 2 A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1＝0

(4)距离公式

①两点P 1(x 1，y 1)，P (x 2，y 2)间的距离 |P 1P 2|＝

x 1－x 2

2

＋y 1－y 2

2

.

②点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离

d ＝

|Ax 0＋By 0＋C |

A 2＋

B 2

.

2．圆的方程 (1)圆的方程

①标准方程：(x －a )2

＋(y －b )2

＝r 2

，圆心坐标为(a ，b )，半径为r .

②一般方程：x 2

＋y 2

＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2

＋E 2

－4F >0)，圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2

，－E 2，半径r ＝D 2＋E 2－4F 2.

(2)点与圆的位置关系

①几何法：利用点到圆心的距离d 与半径r 的关系判断：d >r ⇔点在圆外，d ＝r ⇔点在圆上；d ②代数法：将点的坐标代入圆的标准(或一般)方程的左边，将所得值与r 2

(或0)作比较，大于r 2

(或0)时，点在圆外；等于r 2

(或0)时，点在圆上；小于r 2

(或0)时，点在圆内．

(3)直线与圆的位置关系

直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2

＋B 2

≠0)与圆：(x －a )2

＋(y －b )2

＝r 2

(r >0)的位置关系如下表. 方法位置关系 几何法：根据d ＝

|Aa ＋Bb ＋C |

A 2＋

B 2

与r 的大小关系 代数法：⎩

⎪⎨⎪⎧

Ax ＋By ＋C ＝0

x －a 2

＋y －b 2

＝r

2

消元得一元二次方程，根据判别式Δ的符号 相交

d Δ>0

相切 d ＝r Δ＝0 相离

d >r

Δ<0

(4)圆与圆的位置关系

表现形式

位置关系 几何表现：圆心距d 与r 1、

r 2的关系 代数表现：两圆方程联立组成的方程组的解的情况 相离 d >r 1＋r 2 无解 外切 d ＝r 1＋r 2

一组实数解 相交 |r 1－r 2|两组不同实数解 内切 d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2)

一组实数解 内含 0≤d <|r 1－r 2|(r 1≠r 2)

无解

【误区警示】

1．应用点斜式或斜截式求直线方程时，注意斜率不存在情形的讨论，应用截距式求直线方程时，注意过原点的情形．

2．判断两直线平行与垂直时，不要忘记斜率不存在的情形．

考点一 直线及其方程

例1. 【2017江苏，13】在平面直角坐标系xOy 中,(12,0),(0,6),A B -点P 在圆2250O x y +=：上,若

20,PA PB ⋅≤则点P 的横坐标的取值范围是 ▲ .

【答案】[2,1]-

【解析】设(,)P x y ，由20PA PB ⋅≤，易得250x y -+≤，由22

25050x y x y -+=⎧⎨+=⎩，可得5

:5x A y =-⎧⎨=-⎩或1

:7x B y =⎧⎨=⎩

，由250x y -+≤得P 点在圆左边弧AB 上,结合条件5252x -≤≤，可得点P 横坐标的取值范围为[2,1]-.

【变式探究】【2016高考新课标3文数】已知直线l ：330mx y m ++=与圆2212x y +=交于,A B

两点，过,A B 分别做l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，若3AB =||CD =__________________.

【答案】4

【变式探究】已知点A (－1，0)，B (1，0)，C (0，1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )

A ．(0，1) B.⎝ ⎛⎭

⎪⎫1－

22，12 C.⎝ ⎛⎦

⎥⎤

1－

22，13 D.⎣⎢⎡⎭

⎪⎫13，12 【答案】B

【解析】(1)当直线y ＝ax ＋b 与AB 、BC 相交时(如图①)，由⎩

⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋b ，x ＋y ＝1得y E ＝a ＋b a ＋1，又易知x D ＝－b

a ，

∴|BD |＝1＋b a ，由S △DBE ＝12×a ＋b a ×a ＋b a ＋1＝1

2

得b ＝

1

1＋1

a

＋1

∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.

图① 图②

(2)当直线y ＝ax ＋b 与AC 、BC 相交时(如图②)，由S △FCG ＝12(x G －x F )·|CM |＝12得b ＝1－221－a

2

∈⎝ ⎛

⎭

⎪⎫1－

22，1 (∵0∵对于任意的a >0恒成立 ，

∴b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∩⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，1，即b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，12.故选B. 考点二 两直线的位置关系

例2、【2016高考上海文数】已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离___________.

【答案】

25

5

【解析】利用两平行线间距离公式得1222

22

|c c ||11|25

d 5

a b 21---=

=

=

++. 已知点O (0，0)，A (0，b )，B (a ，a 3

)．若△OAB 为直角三角形，则必有( ) A ．b ＝a

3

B ．b ＝a 3

＋1a

C ．(b －a 3)(b －a 3－1a )＝0

D ．|b －a 3|＋|b －a 3

－1a

|＝0

【答案】C

【变式探究】设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，

y )，则|PA |·|PB |的最大值是________．

【答案】5

【解析】易求定点A (0，0)，B (1，3)．当P 与A 和B 均不重合时，不难验证PA ⊥PB ，所以|PA |2

＋|PB |

2

＝|AB |2

＝10，所以|PA |·|PB |≤|PA |2

＋|PB |

2

2＝5(当且仅当|PA |＝|PB |＝5时，等号成立)，当P 与A 或B

重合时，|PA |·|PB |＝0，故|PA |·|PB |的最大值是5.

考点三 圆的方程

例3．【2017课标3，文20】在直角坐标系xOy 中，曲线2

2y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题：

（1）能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；

（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值. 【答案】（1）不会；（2）详见解析

【解析】

（1）不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下：

设1,0A x （）, 2,0B x （）,则12x x ，满足220x mx +-=，所以122x x =-.

又C 的坐标为（0，1），故AC 的斜率与BC 的斜率之积为

12111

2

x x --=-，所以不能出现AC ⊥BC 的情况.

【变式探究】【2016高考新课标2文数】圆2

2

28130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a=（ ）

（A ）43-

（B ）3

4

- （C 3 （D ）2 【答案】A

【解析】圆的方程可化为2

2

(x 1)(y 4)4-+-=，所以圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得：

241

11

a d a +-=

=+，解得4

3a =-，故选A ．

【变式探究】(2015·新课标全国Ⅰ，14)一个圆经过椭圆x 2

16＋y 2

4＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正

半轴上，则该圆的标准方程为________．

【解析】由题意知圆过(4，0)，(0，2)，(0，－2)三点，(4，0)，(0，－2)两点的垂直平分线方程为y ＋1＝－2(x －2)，

令y ＝0，解得x ＝32，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，半径为52.故圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2

＝254.

【答案】⎝ ⎛⎭

⎪⎫x －322

＋y 2

＝254

考点四 直线与圆、圆与圆的位置关系 例4．【2016高考江苏卷】

如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆2

2

:1214600M x y x y +--+=及其上一点

(2,4)A

（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程； （2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且BC OA =,求直线l 的方程；

（3）设点(,0)T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ,使得,TA TP TQ +=,求实数t 的取值范围。

【答案】（1）22(6)(1)1x y -+-=（2）:25215l y x y x =+=-或（3）22212221t -≤+【解析】

26755

5

m

m d ⨯-++=

=

因为222425,BC OA ==+=

而222

,2

BC MC d =+（

） 所以()2

52555

m +=

+，解得m=5或m=-15.

【变式探究】(2015·新课标全国Ⅱ，7)过三点A (1，3)，B (4，2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M 、N 两点，则|MN |＝( )

A ．2 6

B ．8

C ．4 6

D ．10

【答案】C

【解析】由已知，得AB →＝(3，－1)，BC →＝(－3，－9)，则AB →·BC →

＝3×(－3)＋

(－1)×(－9)＝0，所以AB →⊥BC →，即AB ⊥BC ，故过三点A 、B 、C 的圆以AC 为直径，得其方程为(x －1)2

＋(y ＋2)2

＝25，令x ＝0得(y ＋2)2

＝24，解得y 1＝－2－26，y 2＝－2＋26，所以|MN |＝|y 1－y 2|＝46，选C.

1.【2017江苏，13】在平面直角坐标系xOy 中, (12,0),(0,6),A B -点P 在圆2250O x y +=：上,若

20,PA PB ⋅≤则点P 的横坐标的取值范围是 ▲ .

【答案】[2,1]-

2.【2017课标3，文20】在直角坐标系xOy 中，曲线2

2y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题：

（1）能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；

（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值. 【答案】（1）不会；（2）详见解析 【解析】

（1）不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下：

设1,0A x （）, 2,0B x （）,则12x x ，满足220x mx +-=，所以122x x =-.

又C 的坐标为（0，1），故AC 的斜率与BC 的斜率之积为

12111

2

x x --=-，所以不能出现AC ⊥BC 的情况.

（2）BC 的中点坐标为（

2122x ，），可得BC 的中垂线方程为22

x 1

22

y x x -=-（）. 由（1）可得12x x m +=-，所以AB 的中垂线方程为2

m

x =-.

联立222{ 122m x x y x x =-

-=-，

又2

2

220x mx +-=，可得2{ 1

2

m x y =-=-， 所以过A 、B 、C 三点的圆的圆心坐标为（1

22

m --，）

，半径29

m r += 故圆在y 轴上截得的弦长为2

2

232

m r -

=（），即过A 、B 、C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值. 1.【2016高考新课标2文数】圆2

2

28130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则

a=（ ）

（A ）43-

（B ）3

4

- （C ）3 （D ）2 【答案】A

【解析】圆的方程可化为2

2

(x 1)(y 4)4-+-=，所以圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得：

241

11

a d a +-=

=+，解得4

3a =-，故选A ．

2.【2016高考上海文数】已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离___________.

【答案】

25

5

【解析】利用两平行线间距离公式得1222

22

|c c ||11|25

d 5

a b 21---=

=

=

++. 3.【2016高考新课标3文数】已知直线l ：330mx y m ++-=与圆22

12x y +=交于,A B 两点，过

,A B 分别做l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，若23AB =，则||CD =__________________.

【答案】4

4.【2016高考新课标1卷】（本小题满分12分）设圆2

2

2150x y x ++-=的圆心为A ,直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合,l 交圆A 于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E .

（I ）证明EA EB +为定值,并写出点E 的轨迹方程；

（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围.

【答案】（Ⅰ）13

42

2=+y x （0≠y ）（II ）)38,12[

3

41112||||212++==

k PQ MN S . 可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[.

当l 与x 轴垂直时，其方程为1=x ，3||=MN ，8||=PQ ，四边形MPNQ 的面积为12. 综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[. 5.【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）

如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆2

2

:1214600M x y x y +--+=及其上一点

(2,4)A

（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程； （2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且BC OA =,求直线l 的方程；

（3）设点(,0)T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ,使得,TA TP TQ +=,求实数t 的取值范围。

【答案】（1）22(6)(1)1x y -+-=（2）:25215l y x y x =+=-或（3）22212221t -≤≤+ 【解析】

【答案】(x－1)2＋y2＝2

【解析】直线mx－y－2m－1＝0恒过定点(2，－1)，由题意，得半径最大的圆的半径r＝（1－2）2＋（0＋1）2＝ 2.

故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.

2．(2015·重庆，8)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝( )

A．2 B．4 2 C．6 D．210

【答案】C

【解析】圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心为C(2，1)，半径为r＝2，因此2＋a×1－1＝0，

a ＝－1，即A (－4，－1)，|AB |＝|AC |2－r 2＝

（－4－2）2

＋（－1－1）2

－4＝6，选C.

3．(2015·山东，9)一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2

＋(y －2)2

＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )

A ．－53或－35

B ．－32或－2

3

C ．－54或－4

5

D ．－43或－34

【答案】D

【解析】圆(x ＋3)2＋(y －2)2

＝1的圆心为(－3，2)，半径r ＝1.(－2，－3)关于y 轴的对称点为(2，－

3)

．

如

1. 【2014高考江苏卷第9题】在平面直角坐标系xoy 中，直线230x y +-=被2

2

(2)(1)4x y -++=圆截得的弦长为 .

255

【解析】圆2

2

(2)(1)4x y -++=的圆心为(2,1)C -，半径为2r =，点C 到直线230x y +-=的距离为22

22(1)3

5

12d +⨯--=

=

+，所求弦长为22

9255245l r d =-=-=

【考点定位】直线与圆相交的弦长问题．

2. 【2014全国2高考文第16题】设点M （0x ,1），若在圆O:221x y +=上存在点N ，使得∠OMN=45°，则0x 的取值范围是________.

【答案】[1,1]-

【解析】由题意知：直线MN 与圆O 有公共点即可，即圆心O 到直线MN 的距离小于等于1即可，如图，

过OA ⊥MN ，垂足为A ，在Rt OMA ∆中，因为∠OMN=45，所以||||sin 45OA OM ==

2

||12

OM ≤， 解得||2OM ≤，因为点M （0x ,1），所以2

0||12OM x =+≤，解得011x -≤≤，故0x 的取值范

围是

[1,1]-.

【考点定位】直线与圆的位置关系

3.【2014四川高考文第14题】设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线

30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB ⋅的最大值是 .

【答案】5

【考点定位】直线与圆

4. 【2014重庆高考文第13题】已知直线02=-+y ax 与圆心为C 的圆()()412

2

=-+-a y x 相交于

B A ，两点，且AB

C ∆为等边三角形，则实数=a _________.

【答案】415±【解析】由题设圆心到直线20ax y --=3

2

23,1

a a a +-∴

=+解得：415a =±

所以答案应填：415±

【考点定位】直线与圆的位置关系

5.【2014陕西高考第12题】若圆C 的半径为1，其圆心与点)0,1(关于直线x y =对称，则圆C 的标准方程为_______.

【答案】2

2

(1)1x y +-=

【考点定位】圆的标准方程.

6. 【2014高考湖北卷文第12题】直线1:l y x a =+和2:l y x b =+将单位圆22

:1C x y +=分成长度

相等的四段弧，则22

a b += .

【答案】2

【解析】依题意，设1l 与单位圆相交于B A ,两点，则∠90=AOB °.如图，当1,1-==b a 时满足题

意，所以22

2=+b a .

【考点定位】直线与圆

7. 【2014大纲高考文第15题】直线1l 和2l 是圆2

2

2x y +=的两条切线，若1l 与2l 的交点为()1,3，则

1l 与2l 的夹角的正切值等于 .

【答案】

43

． 【解析】显然两切线1l ，2l 斜率都存在．设圆2

2

2x y +=过()1,3的切线方程为()31y k x -=-，则圆

心()0,0到直线30kx y k -+-=

的距离等于半径，=解得127, 1.k k =-=由夹角公式得1

l 与2l 的夹角的正切值：12124

tan 13

k k k k θ-==+．

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