1.
(2012·高考广东卷)如图，圆O的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，满足∠ABC＝30°，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，则PA＝________.
解析：
如图，连接OA.由∠ABC＝30°得∠AOC＝60°，在直角三角形AOP中，OA＝1，于是PA＝OAtan60°＝.
答案：
2．(2011·高考天津卷)如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，
E是AB延长线上一点，且DF＝CF＝，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE与圆相切，则线段CE的长为________．
解析：设BE＝a，
则AF＝4a，FB＝2a.
∵AF·FB＝DF·FC，∴8a2＝2，∴a＝，
∴AF＝2，FB＝1，BE＝，∴AE＝.
又∵CE为圆的切线，∴CE2＝EB·EA＝×＝，
∴CE＝.
答案：
3．(2012·高考陕西卷)
如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB＝6，AE＝1，则DF·DB＝________.
解析：由相交弦定理可知
ED2＝AE·EB＝1×5＝5，
又易知△EBD∽△FED，得DF·DB＝ED2＝5.
答案：5
4.
如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝，点E，F分别为线段AB，AD的中点，则EF＝________.
解析：如图，连接BD，DE，由题意知DE⊥AB，DE＝a，
即BC＝DE＝a，
∴BD＝＝a，
∴EF＝BD＝.
答案：
5.
如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝45°，则圆O的面积等于________．
解析：∵点A，B，C是圆O上的点，∴圆O是△ABC的外接圆，设圆O的半径为R，则由正弦定理得：2R＝＝＝4，解得R＝2，
∴圆O的面积为πR2＝8π.
答案：8π
6．(2012·高考广东卷)
如图所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∠PBA＝∠DBA，若AD＝m，AC＝n，则AB＝__________.
解析：因为直线PB是圆的切线，所以∠ABP＝∠C，又因为∠ABP＝∠ABD，所以∠ABD＝∠C，又因为∠A＝∠A，所以△ABD∽△ACB，所以＝，所以AB＝＝.
答案：
7.
(2012·高考课标全国卷)如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：
(1) CD＝BC；
(2)△BCD∽△GBD.
证明：(1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC.又已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD＝AD.而
CF∥AD，连接AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CD＝AF.
因为CF∥AB，所以BC＝AF，
故CD＝BC.
(2)因为FG∥BC，故GB＝CF.
由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD，
所以∠BGD＝∠BDG.
由BC＝CD知∠CBD＝∠CDB，又因为∠DGB＝∠EFC＝∠DBC，所以△BCD∽△GBD.
8．(2011·高考江苏卷)
如图，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2(r1>r2)．圆O1的弦AB交圆O2于点C(O1不在AB上)．求证：AB∶AC为定值．
证明：如图，连接AO1并延长，分别交两圆于点E和点D.连接BD，CE.因为圆O1与圆O2内切于点A，所以点O2在AD上，故AD，AE分别为圆O1，圆O2的直径．
从而∠ABD＝∠ACE＝.
所以BD∥CE，
于是＝＝＝.
所以AB∶AC为定值．
9.
如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.
(1)证明：△ABE∽△ADC；
(2)若△ABC的面积S＝AD·AE，求∠BAC的大小．
解：(1)证明：由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD.
因为∠AEB与∠ACD是同弧所对的圆周角，
所以∠AEB＝∠ACD.
故△ABE∽△ADC.
(2)因为△ABE∽△ADC，所以＝，
即AB·AC＝AD·AE.
又S＝AB·ACsin∠BAC，且S＝AD·AE，
故AB·ACsin∠BAC＝AD·AE.
则sin ∠BAC＝1.又∠BAC为△ABC的内角，
所以∠BAC＝90°.
10.
如图所示，以直角三角形ABC的直角边AC为直径作⊙O，交斜边AB于点D，E为BC边的中点，连接DE.请判断DE是否为⊙O的切线，并证明你的结论．
解：DE是⊙O的切线．
证明如下：
如图，连接OD、CD，则OD＝OC，
∴∠OCD＝∠ODC.
又AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°.
∴三角形CDB为直角三角形．
又E为BC的中点，∴DE＝BC＝CE，
∴∠ECD＝∠EDC.
又∠OCD＋∠ECD＝90°，∴∠ODC＋∠EDC＝90°，
即∠ODE＝90°，∴DE为⊙O的切线．下载本文
