数学

（满分120分，时间120分钟）

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分）

1．（2018山东省日照市，1，3分）|-5|的相反数是（  ）

A.-5        B.5        C.         D. － 

【答案】A

【解析】|-5|的相反数是-5。数a的相反数是-a。

【知识点】绝对值  相反数

2．（2018山东省日照市，2，3分）在下列图案中，既是轴对称又是中心对称图形的是（  ）

     A             B          C        D 

【答案】C

【解析】A图案既不是轴对称又不是中心对称图形；B图案只是轴对称图形；C图案既是轴对称又是中心对称图形；D图案只是中心对称图形，故选C。

【知识点】轴对称图形  中心对称图形

3．（2018山东省日照市，3，3分）下列各式中，运算正确的是（  ）

A．(a2)3=a5         B．(a-b)2=a2-2ab+b2         C．a5÷a3=a2         D．a3+a2=2a5,

【答案】C

【解析】因为(a2)3=a6,(a-b)2=a2-2ab+b2,a5÷a3=a2，a3+a2不能合并，故选C。

【知识点】积的乘方  完全平方公式  同底数幂的险法  同类项

4．（2018山东省日照市，4，3分）若式子有意义，则实数m的取值范围是（  ）

A.m>-2        B. m>-2且m≠1        C.m≥-2        D. m≥-2且m≠1  

【答案】D

【解析】因为有意义，所以m+2≥0且m-1≠0，解得m≥-2且m≠1，故选D

【知识点】二次根式   分式

5．（2018山东省日照市，5，3分）学校为了了解学生课外阅读情况，随机抽取了一个班级的学生，对他们一周的读书时间进行了统计，统计数据如下表所示：

A.9，8        B. 9，9        C. 9.5，9        D. 9.5，8  

【答案】A

【解析】观察统计表可以看到共调查了40名学生，中位数为第20和21名学生读书时间的平均数，第20和21名学生读书时间均为9小时，所以中位数为9；读书时间为8小时的人数是10人，为最多，所以众数是8小时，故选A.

【知识点】众数   中位数

6．（2018山东省日照市，6，3分）如图，将一副直角三角板按图中所示位置摆放，保持两条斜边互相平行，则∠=（  ）

A.30°        B.25°        C.20°        D.15°  

【答案】D

【解析】如图，过点C作CD∥AF于，则∠BCD=∠B=45°,∠ACD=∠A=30°,所以∠BCA=45°-30°=15°,故选D。

【知识点】三角形  平行线的性质

7．（2018山东省日照市，7，3分） 计算：（）-1+tan30°·sin60°=（  ）

A.-         B.2        C.         D.  

【答案】C

【解析】因为原式=2+×=2+=，故选C。

【知识点】负指数幂  三角函数

8．（2018山东省日照市，8，3分） 如图，在四边形BCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO=CO，BO=DO，添加下列条件，不能判定四边形ABCD是菱形的是（ ）

A.AB=AD  B.AC=BD   C.AC⊥BD  D.∠ABO=∠CBO.

【答案】B

【解析】∵AO=CO，BO=DO，∴四边形ABCD是平行四边形.

当AB=AD，根据邻边相等的平行四边形是菱形，能判定四边形ABCD是菱形；

当AC=BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形，不能定四边形ABCD是菱形；

当AC⊥BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，能判定四边形ABCD是菱形；

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.

∴∠ADB=DBC.

∵∠ABO=∠CBO，∴∠ABO=∠ADO.

∴AB=AD，∴四边形ABCD是菱形.

故选B.

【知识点】平行四边形的判定  菱形的判定

9．（2018山东省日照市，9，3分）已知反比例函数y=-,下列结论：①图象必经过（-2，4）；②图象在二、四象限内；③y随x的增大而增大；④当x>-1时，则y>8.其中错误的结论有（  ）个 

A.3        B.2        C.1        D.0  

【答案】B

【解析】将（-2，4）代入y=-成立，①正确；k=-8<0,所以反比例函数的图象在二、四象限,②正确；双曲线在每一象限内y随x的增大而增大，③错误；当-1＜x＜0时，则y>8，④错误，所以正确的结论有2个，故选B.

【知识点】反比例函数性质

10．（2018山东省日照市，10，3分）如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠BED的正切值等于（  ）

A.  B.    C.2   D.

【答案】D

【解析】如图，在RtABC中，AB=2，BC=1，∴tan∠BAC==.∵∠BED=∠BAD，∴tan∠BED=.故选D.

【知识点】正方形网格  三角函数

11．（2018山东省日照市，11，3分）已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 图象如图所示.下列结论：①abc<0；②2a－b<0；③b2>(a+c)2；④点（－3，y1），（1，y2）都在抛物线上，则有y1>y2.

其中正确的结论有（   ）

A.4个        B.3个        C.2个        D. 1个  

【答案】B

【解析】观察图象知抛物线开口向上，所以a>0，对称轴在x轴负半轴，所以a，b同号，所以b>0，抛物线与y轴交于负半轴，所以c<0，所以abc<0，故①正确；因为对称轴位于0和-1之间，所以－>－1，所以<1，b>2a，2a-b<0，故 ②正确；当x=1时，a+b+c>0，a+c>－b，因为－b<0，所以b2>(a+c)2不一定成立，故③错误；设抛物线与x轴两交点横坐标分别为x1，x2且x1在x2左边，因为x1-3>1-x2，所以y1>y2，④正确，所以正确的个数是3，故选B.

【知识点】二次函数图象  数形结合  

12．（2018山东省日照市，12，3分）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n是奇数时，F(n)=3n+1；当n为偶数时，F(n)=（其中k是使为奇数的正整数）……，两种运算交替重复进行. 例如，取n=24，则：

若n=13，则第2018次“F运算”的结果是（  ）

A.1   B.4   C.2018   D.42018

【答案】A

【解析】根据题意，得

第一次：当n=13时，F①=3×13+1=40，

第二次：当n=40时，F②==5，

第三次：当n=5时，F①=3×5+1=16，

第四次：当n=16时，F②==1，

第五次：当n=1时，F①=3×1+1=4，

第六次：当n=4时，F②==1，

……，

从第四次开始，每2次循环运算一个循环，

因为(2018－3)÷2=1007……1，

第2018次“F运算”的结果是1.

故选A.

【知识点】程序运算  规律探究

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，满分16分)

13．（2018山东省日照市，13，4分） 一个角是70°39′，则它的余角的度数是     。

【答案】19°21′

【解析】90°-70°39′=19°21′.

【知识点】余角   角度计算

14．（2018山东省日照市，14，4分）为创建“国家生态园林城市”某小区在规划设计时，在小区设置一块面积为1 200平方米的矩形绿地，并且长比宽多40米.设绿地宽为x米，根据题意，可列方程为     . 

【答案】x(x+40)=1 200

【解析】设绿地宽为x米，则绿地长为（x+40）米. 根据矩形的面积公式，可列方程为x(x+40)=1 200.

【知识点】一元二次方程的应用

15．（2018山东省日照市，15，4分）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），根据图中所示数据计算这个几何体的表面积是        .

【答案】4πcm2

【解析】观察三视图确定此几何体为圆锥，由左视图知此圆锥的底面半径为1，圆锥高为2，由勾股定理计算母线长为3，所以此圆锥的表面积=侧面积+底面积=πrl+πr2=π×1×3+π×12=3π+π=4πcm2.

【知识点】圆锥  三视图  展开图

16．（2018山东省日照市，16，4分）在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标均为整数的点叫做整点.已知反比例函数y=(m<0)与y=x2－4在第四项象限内围成的封闭图形（包括边界）内的整点的个数为2，则实数m的取值范围为         .

【答案】－2≤m<-1

【解析】当x=1时，y=x2－4=1－4=－3.

所以在第四象限内在二次函y=x2－4的图象上和图象上方的整点有3个，坐标为（1，－1）、（1，－2）、（1，－3）．

当反比例函数y=(m<0)的图象经过点（1，－2），

即m=xy=－2时，在第四项象限内围成的封闭图形（包括边界）内的整点的个数为2个，

当反比例函数y=(m<0)的图象经过点（1，－1），

即m=xy=－1时，在第四项象限内围成的封闭图形（包括边界）内的整点的个数为3个，

∵在第四项象限内围成的封闭图形（包括边界）内的整点的个数为2，

∴m的取值范围为－2≤m<-1.

【知识点】反比例函数  二次函数  整点

三、解答题：本大题共6小题，满分68分，请在答题卡指定区域内作答，解答时就写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（2018山东省日照市，17（1），5分） 

（1）实数x取哪些整数时，不等式2x-1>x+1与x-1≤7-x都成立？

【思路分析】将两个不等式组成不等式组，解不等式组确定解集，再确定整数值.

【解题过程】解：解不等式组，

解不等式①，得x>2.

解不等式②，得x≤4.

所以不等式组的解集为2＜x≤4.

所以x可取的整数值是3，4．

【知识点】不等式组  整数解

（2018山东省日照市，17（2），5分）（2）化简：（-）÷，并从0≤x≤4中选取合适的整数代入求值.

【思路分析】先将分式的分母因式分解，约分化简，再在0≤x≤4中选取合适的整数代入求值，注意x的取值要保证原式有意义．

【解题过程】解：原式=（-）·=[-]·

=·=·=

∵，∴∴当0≤x≤4时，可取的整数为x=1或x=3.

当x=1时，原式==1；当x=3时，原式==1.

【知识点】分式化简求值

18．（2018山东省日照市，18，10分）“低碳生活，绿色出行”的理念已深入人心，现在越来越多的人选择骑自行车上下班或外出旅游.周末，小红相约到郊外游玩，她从家出发0.5小时后到达甲地，游玩一段时间后按照原速前往乙地，刚到达乙地，接到妈妈电话，快速返回家中.小红从家出发到返回家中，行进路程y(km)随时间x(h)变化的函数图象大致如图所示.

(1)小红从甲地到乙地骑车的速度为         km/h；

(2)当1.5≤x≤2.5时，求出路程y(km)关于时间x（h）的函数解析式，并求出乙地离小红家多少千米？

 【思路分析】(1)由图象可知，小红0.5小时行驶了10千米，可求得小红由家到甲地的骑车速度，即为从甲地到乙地骑车的速度；(2)求得点C的坐标，用待定系数法，求得y与x的函数解析式.

【解题过程】解：(1)10÷0.5=20(km/h).

所以小红从甲地到乙地骑车的速度为20km/h.

(2)解法1：20×(2.5－1.5)=20，20+10=30，

∴点C的坐标为（2.5，30）.

当1.5≤x≤2.5时，设路程y(km)关于时间x（h）的函数解析式为y=kx+b.

把点B（1.5，10），点C（2.5，30）代入y=kx+b，得

解得

∴当1.5≤x≤2.5时，路程y(km)关于时间x（h）的函数解析式为y=20x－20，乙地离小红家30千米.

解法2：当1.5≤x≤2.5时，设路程y(km)关于时间x（h）的函数解析式为y=20x+b.

把点B（1.5，10）代入y=kx+b，得10=20×1.5+b，解得b=－20.

所以当1.5≤x≤2.5时，路程y(km)关于时间x（h）的函数解析式为y=20x－20.

当x=2.5时，y=20×2.5－20=30.

所以乙地离小红家30千米.

【知识点】一次函数的应用

19．（2018山东省日照市，19（1），4分）（1）某校招聘教师一名，现有甲、乙、丙三人通过专业知识、讲课、答辩三项测试.他们各自的成绩如下表所示：

【思路分析】（1）根据加权平均数法计算三名应聘者的平均成绩，比较大小即可；

【解题过程】解：（1）甲的平均成绩为：=77（分）；

甲的平均成绩为：=86.5（分）； 

甲的平均成绩为：=84.5（分）. 

因为乙的平均成绩最高，所以应录取乙.

【知识点】统计的应用  加权平均数

（2018山东省日照市，19（2），6分）（2）我市举行了某学科实验操作考试，有A，B，C，D四个实验，规定每位学生只参加其中一个实验的考试，并由学生自己抽签决定具体的考试实验.小王、小张、小厉都参加了本次考试.

①小厉参加实验D考试的概率是     ；

②有列表或画树状图的方法求小王、小张抽到同一个实验的概率.

【思路分析】可用列表或画树状图求出所有可能出现的结果，然后再根据图表中的信息计算概率.

【解题过程】解：①；

②解：列表法如下：

    小王

由列表或树状图可知，所有出现等可能的情况共有16种结果，其中小王、小张抽到同一个实验的的结果有4种，所以小王、小张抽到同一个实验的概率=.         

【知识点】概率的计算

20．（2018山东省日照市，20，12分）如图所示，⊙O的半径为4，点A是⊙O上一点，直线l经过点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l于点B，交⊙O于点E，直径PD延长线交直线l于点F，点A是的中点.

(1)求证：直线l是⊙O的切线；

(2)若PA=6，求PB的长.

【思路分析】(1)连接OA，根据半径相等、圆周角的性质只要证得OA⊥l即可；(2)连接AD，证明△PAD∽△PBA，根据相似三角形的对应边成比例，求得PB的长

【解题过程】解：(1)连接OA..

∵OA=OP，∴∠OAP=∠OPA.

∵点A是的中点，

∴=.

∴∠DPA=∠APB.

∴∠OAP=∠APB.

∵PB⊥l，∴∠ABP=90°.

∴∠PAB+∠APB=90°.

∴∠PAB+∠OAP=90°.

即OA⊥l，

∴直线l是⊙O的切线.

(2)连接AD，

∵PD是直径，∴∠PAD=90°.

∵PB⊥l，∴∠PBA=90°.

∴∠PAD=∠PBA.

∵∠DPA=∠APB，∴△PAD∽△PBA.

∴，即.

∴PB=.

【知识点】切线的判定  相似三角形的判定和性质

21．（2018山东省日照市，21，13分）如图，已知点A（－1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y=ax2+bx+c上.

（1）求抛物线解析式；

（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；

（3）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC=∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由.

【思路分析】（1）由待定系数法求抛物线解析式；

（2）作PD⊥x轴交直线BC于D，将△PBC转化为S△PDC+S△PDB列方程求解；

（3）由∠BQC=∠BAC推出点Q在△ABC外接圆上，外接圆圆心是弦AC与对称轴的交点，从而确定外接圆圆心坐标及半径长，进而求得点Q坐标.

【解题过程】（（1）把点A（－1，0），B（3，0），C（0，1）代入y=ax2+bx+c，得，

解得，所以抛物线的解析式为y=－x2+x+1.

（2）∵B（3，0），C（0，1）, ∴直线BC的解析式为y=－x+1，过点P作PD⊥x轴交直线BC于D，设P(x, －x2+x+1)易得D(x, -x+1). 

∴PD=－x2+x+1－(－x+1)= －x2+x.

∴S△PBC=S△PDC+S△PDB=PD(xB－xC)=(－x2+x)(3－0)=－x2+x.

又∵S△PBC=1，∴－x2+x=1，∴x2-3x+2=0，解得x1=1,x2=2.

∴P1（1，），P2（2，1）.

（3）答：存在.

理由：如图 ，∵A（－1，0），C（0，1），

∴OC=OA=1，∴∠BAC=45°.

∵∠BAC=∠BQC，∴∠BQC=45°.

∴点Q为△ABC外接圆与抛物线对称轴在x轴下方的交点.

设△ABC外接圆圆心为M，∵线段AC的垂直平分线为直线：y=－x，线段AB的垂直平分线为：x=1.

∴点M为直线y=－x与直线x=1的交点，即M（1，－1），

∴∠BMC=2∠BQC=90°，又∵MQ=MB=R=，

∴yQ=－（1+）=－1－，

∵Q在直线x=1上，

∴xQ=1，

∴Q（1，－1－）.

【知识点】待定系数法  三角形外接圆  线垂直平分线  三角形面积

22．（2018山东省日照市，22，13分）问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，即：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，则：AC=AB.

      图1

（1）由CE=AB，BE=AB，可得BE=CE；

探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究.

(1)如图1，连接AB边上中线CE，由于CE=AB，易得结论：①△ACE为等边三角形；②BE与CE之间的数量关系为         .

(2)如图2，点D是边CB上任意一点，连接AD，作等边△ADE，且点E在∠ACB的内部，连接BE，试探究线段BE与DE之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明.

             图2   

(3)当点D为边CB延长线上任意一点时，在(2)条件的基础上，线段BE与DE之间存在怎样的数量关系？请直接写出你的结论        .

拓展应用：如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（－，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等边△ABC.当C点在第一象限内，且B（2，0）时，求C点的坐标.

         图3

【思路分析】(1) 由CE=AB，BE=AB，可得BE=CE；

(2)取AB的中点P，连接EP，由等边△CPA、等边△ADE的性质，可证得△ACD≌△APE，根据全等三角形的性质，可得EP⊥AB，进而由线段垂直平分线的性质证得BE=DE.

(3)先由点A的坐标求得∠AOH=30°，再由探究结论（3）可知，CO=CB.

设点C的坐标为（1，m），在Rt△ABH、Rt△BCD中，根据勾股定理以及等边三角形的性质可得关于m的方程，即可求得m的值.

【解题过程】(1)BE=CE.

（2）BE=ED.

证明：如图，取AB的中点P，连接EP，

由（1）结论可知，△CPA为等边三角形.

∴∠CAP=60°，CA=PA.

∵△ADE为等边三角形，

∴∠DAE=60°，AD=AE.

∴∠CAP=∠DAE.

∴∠CAP－∠DAB=∠DAE－∠DAB.

∴∠CAD=∠PAE.

∴△ACD≌△APE(SAS).

∴∠APE=∠ACD=90°.

∴EP⊥AB.

∵P为AB的中点，

∴AE=BE.

∵DE=AE，

∴BE=DE.

(3)BE=DE.

拓展应用：解：如图，连接OA，OC.

过点A作AH⊥x轴于点H.

∵A的坐标为(－，1)，∴∠AOH=30°.

由探究结论（3）可知，CO=CB.

∵O（0，0），B（2，0），

∴点C的横坐标为1.

设C（1，m）.

∵CO2=CB2=12+m2，AB2=12+(2+)2，AB=CB，

∴12+m2=12+(2+)2，

∴m=2+.

∴C点的坐标是(1，2+).

【知识点】阅读理解  归纳探究  猜想证明  动点  下载本文