专题06 利用结构相同构造函数

【方法精讲】

1.能够识别出、或适当变形后得到已知中出现的“两个变量”，然后利用同构，构造出一个函数，最后利用函数的性质解题；

2.构造函数的策略是：左右形式相当，一边一个变量，取左或取右，构造函数妥当.

【典型例题】

例1已知，且，设，，试比较，的大小.

【分析】思路一：作差、作商是大小比较的常用方法；思路二：注意到，的结构完全相同，故也可构造函数，利用函数的单调性解决.

【解法一】（作差法）.

1当时，

∵，∴，即；∴，即.

故，即.

2当时，

∵，∴，即；∴，即.

故，即.

综上，.

【解法二】（作商法），讨论方法同上（略）. 

【解法二】（构造函数）

设，易知是偶函数，再根据对称性，不妨设，下面讨论当，时函数的单调性.

令，则，易知在单增

由复合函数单调性知：函数在单增，

∵，∴，即.

点评：

    进入高中数学学习之后，在幂函数、指数函数、对数函数的学习过程中，为了比较幂值的大小，同底的构造指数函数、同指的构造幂函数，对数值大小比较也如此.究其实质，都是找到数式中的“结构”相同之处，将变数视为“变量”，从而构造出函数.这是我们首次接触利用构造函数，然后利用函数的单调性解题，应与好好把握、体会数学之精妙神奇！

例2   （2020·新课标卷Ⅱ文数·12）若，则（    ）

A．    B．     C．       D．

【答案】A

【分析】将已知按照“左右形式形式相当，一边一个变量”的目的变形，然后逆用函数的单调性.

【解析】由移项变形为

设 

因为、单增，易知是定义在R上的增函数，故由，可得，所以 从而，故选A．

【巩固练习】

1.（2020·新课标Ⅰ理数·12）若，则（    ）

A.     B.     C.     D. 

2.若 （其中），则（    ）

A．       B．        C．          D．

3.（2012·辽宁竞赛）不等式的解集是______________.

 4.已知实数a，b(0，2)，且满足，则a＋b的值为_______．

5.已知函数，，则t的取值范围是       ．

【答案与提示】

1. 【答案】B

【分析】方程中出现两个变量，往“一边一个变量，左右结构相同”方向变形，这里右化左.因为，所以原方程即为，设，利用作差法结合的单调性即可得到答案.

【解析】∵

∴，故

设，则为增函数，

所以，所以.

，

当时，，此时，有

当时，，此时，有，所以C、D错误.

故选B.

2.【答案】D

【解析】由移项变形为

设 （）

易知是定义在（0，+∞）上的减函数，

即，可得，故．

3.【答案】

【解析】原不等式可化为：

构造函数，

因为、均单增，故在上单增

所以，解之得

所以原不等式解集是.

4. 【答案】2

【分析】将化为：，设，则在上递增，由，得a＋b的值.

【解析】由，化简为：，即，

设，则在上递增，因为a，b(0，2)，所以2-b(0，2)，

且，所以，即.

5.【答案】

【分析】这里 可以发现,将移项变形为，易知是奇函数，，故进一步变形为，此时,得到一个“左右形式相当，一边一个变量”的不等式，令，问题转化为，只需研究的单调性，逆用该函数的单调性即可.

【解析】∵

∴可变形为：

∵是奇函数   ∴

∴

令，

因为、、均单增，所以单增

∴，即，解之得

所以t的取值范围是．下载本文