高三数学总复习教程（第16讲）
一、本讲内容
平面向量的数量积及其应用
本讲进度，向量的数量积，数量积的应用
二、学习指导
要深刻理解向量数量积的定义：、=cos＜、＞.它是数（可正、可负，也可以为零），但不是向量，因此，·=·，λ（·）=·λ，·（+）=·=·，·=0（而不是！）特别地，（·）≠·（·），因为左边是与共线的向量，而右边是与共线的向量，除特殊情况外，两者不相等。
我们利用向量的数量积（又称为点积）可以解决向量的夹角问题，特别地，利用向量的数量可以很方便地解决垂直问题，：⊥·=0，（，非零向量）
cos ＜、＞是在上的射影，值得注意的是它仍是一个数（可正，可负，可以为0）而不是向量。
特别地，·=2cos＜·=2，由此，可把点积与模长（距离）挂上钩。
三、典型的例题讲解
例1．证明三角形中的射影定理：a=bcosC+ccosB用向量证明一些三角问题，如正弦定理，余弦定理等很方便，但同学们却觉得不好掌握，这里我们再看一个例子。
=+，两边同等， 2=·+·=cosB+cosC
两边约去，可得=cosB+cosC，即a=ccosB+bcosC
例2．平面内有四点，O、A、B、C，记=， =， =若++=且·=·=·=－1，试判断△ABC的形状，并求其面积.
千万不能由·=·约得到=，一是过程差无根据，二是合得到A、B、C当同一点的荒谬结论。
也不能由·=·+=·=－1得到===1，从而===1，圆为≠·，前者=|+cos<·＞|≤，等号当且仅当，共线且同面或，中有当者
其他条件当然不是可有可无的，故应出现向量和，于是我们想到·=·和·=·相加，得到了2·=（+）=－(+)2，进而有2=2= 4·=0如无·=－1的条件就做不下去了，故在此时引入有2=2= 4，因原来的条件都是、、的轮换对称式，当然想到2=2= 4和2=2= 4，至此距解决问题已经不远了。
例3．设、分别为方向与x轴，y轴的正向相同的单位向量，A、B、C为同一直线上的三点，O为坐标原点，已知=－2tm， =n+， =5－，又知⊥，求m、n的值.
求m、n两个未知数，有⊥及A、B共线两个条件，代入计算即可.
例4．求证：三角形三角高线交于一点.
设三顶点后，表示出三边向量、、，设a、b两边的高线交点为H，表示、=0和·=0去证·=0，从而说明三高共点.
为减少计算量，当然应当选取合适的坐标系，以一边及其上的高所在直线上为两坐标轴较好。
例5．已知三不共线向量、、两两所成角相等，
且=1， =2， =3，求++的模长及已知三向量间的夹角.
要想把、、两两所成角相等体现出来，我们以同一点O为始点作三有向线段、、两两夹角相等，均为π.
于是要求，只要先求(++)2即可.
例6．已知、是两个非零向量，求证：当⊥(+x)时，|+x|最小.
要求 |+x|最小，等价于求何(+x)2最小.
∵(+x)2=x22+2x·+2三项均为实数且平方项系数2=2＞0，故当x=－时原式有最小值，此处，向量竟与二次函数挂上了钩.
例7．设、为相互垂直的两个单位向量，问是滞存在整数k，使得向量=k+与向量=+k夹角为比？证明你的结论.
已知夹角应使用向量的数量积：cos600=其中===
(因⊥，∴·=0，因、为单位向量，∴2=1， 2=1)，如求出k合整值或k无解或无整数解，问题均告解决.
例8．已知、均为非零向量，且==的夹角.
根据公式cos<， +＞==应先求与·的值.
==，也归纳到、上了，且、应通过==，故2=2=(－)2=2+2―2·求出.
例9．求证：菱形的两条对角线互相垂直.
菱形是边长都相等的平行四边形“边长相等”怎么用？对菱形ABCD，记=·=，则=+， =－，·=(+)·(－)=2－2，到此，可看出边长相等的作用了.
例10．单位向量、夹角为1200，求向量=2+3和向量=－2的夹角.
求·，，时，都需用到、应先行计算出来.
四、巩固练习
1．已知向量=(－1)， =（，）
（1）求证：⊥；
（2）若存在不同时为零的实数k和t，使=+(t2－3)， =－k+t，且⊥，写出函数关系式k=f(t)；
（3）在（2）中，确定函数k=f(t)的单调区间.
2．已知向量=(cosα，sinα)， =(cosβ，sinβ)又知=其中k＞0（1）用k表示、.
（2）、的最小值，并求此时与的夹角。
3．已知O是△ABC所在平面内一点，且满足2+2=2+2=2+2，求证：O是△ABC的垂足.
4．已知、为两个非零向量，且+3与7－5互相垂直，－4与7－2互相垂直，求与的夹角.
5．（1）已知=2， =1，与夹角为，求+与－2的夹角
（2）已知=4， =3，且（3－）(－2)为最小.
7．A、B、C、D为平面内任意四点，证明2+2+2+2≥2+2
8．a1、a2、b1、b2∈R，求证：·≥.又等号何时成立？
9．△ABC中，AB=AC，D为AB中点，E为△ADC的重心，O为△ABC的外心，求证：OE⊥CD
10．在平面四边形ABCD中，记=， =， =， =，若·=·=·=·试判断此四边形形状，并说明理由。
五、参
1．（1）∵·=（，－1），（，）=－=0，∴⊥
（2）∵⊥，∴[+(t2—3)]·[－k+t]=0
―k2+t(t2―3) 2+[t―k(t2―3)]·=0
―4k+t(t2―3)=0. ∴k=t(t2―3)
（3）令k/=t2－＞0，t＞1或t＜－1.
故f(t)的单调递增区间为和 单调递减区间为[－1，1]
2．（1）由已知(k+)2=3(－k)2，即(k2－3) 2+(1－3k2) 2+(2k+bk)·=0，整理解得k2―3+1―3k2+8k·=0 ∴·=
（2）k＞0，故·≥=，此时. cosθ== ∴θ=
3．记=，·， =，则=―， =―， =―，则已知条件可表为2+(―)2=2+(－)2=2+(－)2，从而·=·=·
∴·(―)=0，即⊥(－) ⊥
同理，⊥, ∴O为△ABC的垂心.
4．∵(+3)⊥(7－5) ∴(+3)·(7－5)=0
即72－152+16·=0 ①
∵(－3)⊥(7－2) ∴(－4)·(7－2)=0
即72+82－302·=0 ②
②－①23=46·=46cos＜· ③
把·=代入①，知2=2， =，代回③
232=462cos＜，＞ cos(2，)=
∴与夹角为
5．(1)（+2）·(－2)=2－22－·=4―2―2·1cos=1
==， ==2
∴cos＜+，－2＞
∴夹角为arccos
（2）由已知0=32+2－7·=66－7·
∴cos＜，＞===.
夹角为arccos
6．记=， =, =，则=－， =－
PA2+PB2+PC2=2+2=2
=32－2 (+)+2+2
当=时,上式有最小值,此时P点恰为重心.
7．记=， =， =则=－， =－， =－，原式中2+(－)2+2+ (－)2≥2+2(－)－2 (－)+2≥0. 亦即(－－)2≥0 . 2≥0. 显然成立.
∴原命题成立.
8． =1≤=等号当且仅当＞共线时成立.
记=（a1，a2） =（b1 ，b2）
则左， 右=,∴左≥右.
9．以O为原点，底BC上的高为y轴建立直
角坐标系，记A：（O，R），B：（Rcosθ，Rεθ）
C：（－Rcsoθ，Rsinθ）则D（cosθ，
(1+sinθ) E：（－cosθ， (1+sinθ)）
=(－cosθ， (1+sinθ))
=(Rcosθ， (1+sinθ)
∵·=－cos2θ+ (1－sinθ)=0 ∴OE⊥CD
10．∵ABCD为四边形 ∴+++=.
记·=·=·=·=k，则·+·=·+·=2k，即·（+）=·（+）移项，有(－)(+)=0，∴(－)(+)=0， 2=2==，同理可证=，∴ABCD为平形四边形，从而k=cos＜，＞=cos＜，＞=∴cos＜，＞=cos＜，＞，∴四外角相同，故ABCD为矩形.
六、附录，
∵=+，两边同乘以，有2=·+·=|||| cosB+||||cosC 即=|| cosB+|| cosC，亦即a=ccosB+bcosC.
例2．·=·，·=·，两式相加得
2·= (+) 又++=. 故有
(+)2=2·=0， 2+2+4·=0
由已知·=－1 ∴||2+||2=4
同理||2=||2=4，||2+||2=4，∴||2=||2=||2=2
∴||2=||2=||2=，△ABC为正三角形
S△= ()2=.
例3．∵⊥，∴[－2+m]·(n+)=－2n+m=0 ①
又=－7+(m+1)， =(n－5) +22， = ②
由①、②解得或
例4．以AB边所在直线为x轴，AB边上的高所在直线为y轴建立直角坐标系.
记A：（a，0），B（b，0），C（0，c）并记BC边上的
高与y轴交点为H（0，h），则=（－b，h），
=（－b，c） =（－a，c）
∵·=（－b，h）（－a，c）=ab+ch=0..
∴⊥
∴三高AH，CH，BH交于一点.
例5．在平面内取定一点O，作有向线较=， =， =，则，，两两夹角相等，均π，
∵(++)2=2+2+2+2·+2·+2·
=12+22+32+2·1·2cosπ+2·2·3cosπ+2·1·3cosπ=3
∴|++|=
例6．要使最小，即要使(+x)2最小.( +x)2=2+x22+2x·，三项均为实数，且2=2＞0，可看作关于x的二次函数，当x=－亦即∴·+x2=0,·(a+x)=0，也就是⊥(a+x)时有最小值.
例7． Cos600=cos∠，＞===，
k2－4k+1=0，k=2±， Z
所求整数k不存在.
例8．∵== ∴2=2=(－)2=2+2－2·
故·=2
∴===
cos＜， +＞====
∴与+的夹角为300
例9．对菱形ABCD，记=， =，则=+. =－其中=.
∵·=（+）·（－）=2－2=2－2=0.
∴⊥即对角钱互相垂直.
例10．·=cos1200=－
·=2（2+3）(－2)=2―6―=－
===
∴cos＜，＞==－.故与夹角为π.下载本文
